“La divina proporzione: tassello di un Universo dominato da leggi

Liceo Scientifico “G. Galilei”
Davide Cavaliere
Classe V C
Anno scolastico 2005/2006
“La divina proporzione: tassello di un
Universo dominato da leggi
matematiche”
M. C. Escher, “Ordine e caos”
INTRODUZIONE
Dall’infinitamente piccolo all’infinitamente grande, tutto sembra regolato da precise regole
matematiche, da calcoli predefiniti applicati sin dalla piccola chiocciola che vive nel
sottobosco, fino all’immensa galassia a spirale che contiene miliardi di stelle. Lo stesso
Galilei affermava: "io veramente stimo il libro della filosofia esser quello che
perpetuamente ci sta aperto innanzi agli occhi; ma perché è scritto in caratteri diversi da
quelli del nostro alfabeto, non può esser da tutti letto: e sono i caratteri di tal libro triangoli,
quadrati, cerchi, sfere, coni, piramidi ed altre figure matematiche, attissime per tal lettura".
Egli intendeva dire che l’armonia del mondo si manifesta nella forma e nel numero.
L’anima e la poesia della filosofia naturale s’incarnano nel concetto di bellezza
matematica: ciò che è aggraziato e regolare è utile e perfetto. Già nelle antiche culture la
perfezione ha destato curiosità ed ammirazione stimolando lo studio dei segreti nascosti
dall’incredibile bellezza. Osservando la natura si scoprono espressioni d’eleganza e
d’armonia: il tratto comune che definisce gli oggetti attraenti è generato da forze rigorose
ed inequivocabili, che obbediscono a precise leggi matematiche. Le forme sono il primo
aspetto intuitivo della realtà che l’occhio umano percepisce. Fin dall'antichità, gli studiosi
hanno cercato di ricondurre la bellezza e la perfezione della natura a rapporti armonici.
Servendosi di riga e compasso, i geometri greci erano in grado di dividere una linea in due
segmenti, in modo che il rapporto fra il segmento più lungo e quello più corto fosse
identico al rapporto fra l'intera linea e il segmento più lungo. Ma l’aspetto stupefacente è
che tale rapporto non è circoscritto unicamente alla geometria: la natura sembra gradire
particolarmente questo numero, che ormai è diventato simbolo di perfezione. Ogni oggetto
che compone l’Universo, infatti, tende all’equilibrio, che si astrae in perfezione matematica,
e tale tendenza contribuisce a delineare la bellezza di tutto ciò che ci circonda.
IL NUMERO AUREO IN MATEMATICA E GEOMETRIA
1) Phi da un segmento.
Il modo più semplice, e forse anche il più noto, per ottenere il numero aureo, è quello di
dividere un segmento (a+b) in due parti, a e b, tali che a sia medio proporzionale tra b e il
segmento stesso (a+b). L’immagine sottostante chiarisce il caso in esame.
In termini matematici, tale relazione è sintetizzabile con l’uguaglianza:
Operando un semplice passaggio algebrico otteniamo:
Imponiamo che la lunghezza del segmento iniziale (a+b) sia 1. Si ottiene:
Sappiamo inoltre che, se a+b=1, allora b=1-a. La relazione precedente si trasforma in:
Portiamo tutto da una parte, ottenendo un’equazione di secondo grado nell’incognita a:
L’equazione, poiché di secondo grado con delta positivo, dà due soluzioni. Dobbiamo
tuttavia scartare la soluzione negativa, poiché sappiamo che un segmento non può avere
lunghezza minore di zero.
Tale valore, approssimato, risulta essere: 0,618033988. Esso prende il nome della lettera
greca ! (minuscola). Il suo reciproco, invece (1/!), viene chiamato sempre con la lettera
greca phi, ma questa volta maiuscola ("). Questo numero corrisponde
approssimativamente a:
"#1,618033988
e viene chiamato, a seconda dei testi: “numero aureo”, “rapporto aureo”, “costante di
Fidia”, e “divina proporzione”. D’ora in poi tale numero, che troveremo moltissime volte nel
corso del testo, verrà approssimato con il valore 1,618.
Esso è anche esprimibile attraverso una serie di frazioni continue:
oppure attraverso una serie di radici comprese una nell’altra:
2) Phi da un triangolo rettangolo.
Nella foto seguente è possibile osservare come, preso un segmento AB, sia possibile
costruire su di esso un punto C tale che il rapporto tra le lunghezze di AB ed AC dia il
numero aureo (1,618).
Procediamo in questo modo: dato il segmento AB, costruiamo lungo la perpendicolare ad
AB in B, il segmento OB, lungo metà di AB. Tracciamo quindi OA. Si viene così a creare
un triangolo rettangolo in B. Puntiamo allora il compasso in O, riportando su OA la
lunghezza del segmento OB. Si crea così un segmento OE tale che OE=OB. Quindi,
analogamente, riportiamo AE sul segmento AB, creando AC=AE. Il rapporto tra AC ed AB
corrisponde a !$%ossia circa 0,618. Il suo reciproco è quindi ", che corrisponde al numero
aureo (1,618).
3) Triangoli aurei (armonici).
Fra i triangoli che nella storia furono definiti “sacri” troviamo il triangolo equilatero, simbolo
di perfezione per i suoi lati e angoli congruenti. C’è inoltre il triangolo sacro di Pitagora,
triangolo rettangolo con i lati che misurano 3,4,5: esso è l’unico caso in cui i tre lati sono
dati da numeri naturali successivi. Ci sono inoltre due triangoli, definiti triangoli armonici,
entrambi isosceli. In entrambi si rispecchia l’armonia del numero aureo. Essi sono:
Questo primo triangolo isoscele è costituito da un angolo di 36° e due angoli alla base di
72°. In esso il cateto e la base sono in rapporto aureo, ovvero la base è sezione aurea del
cateto. Si ha la seguente proprietà:
(AB + BC) : AB = AB : BC
Quindi si ha che il rapporto:
AB : BC = "%
Dalla figura precedente, inoltre, possiamo notare che tracciando la bisettrice di uno dei
due angoli alla base, possiamo costruire un nuovo triangolo identico al primo, ossia con gli
angoli di 36° e 72°. Questo processo si può ripetere all’infinito, e ciò permette, come
vedremo, di costruire, grazie ai triangoli, una buona approssimazione della spirale
logaritmica.
Il secondo triangolo armonico è invece il seguente, e prende il nome di gnomone aureo:
In esso, gli angoli alla base misurano 36°, mentre il terzo è di 108°. Anche in questo
triangolo sono rispettati principi aurei. Infatti, la base e il cateto sono in rapporto aureo:
(BE + BD) : BE = BE : BD
BE : BD = "%
E’ da notare il fatto che, se dividiamo l’angolo di 108° in due angoli di 36° e 72°, possiamo
suddividere il triangolo di partenza in due triangoli, entrambi triangoli armonici.
4) Il pentagono regolare.
La figura rappresenta un pentagono regolare, poligono a cinque lati di uguale lunghezza,
in cui è inserito un pentagramma, ossia la comune “stella a cinque punte”. Tale figura
contiene molte proprietà matematiche. Come possiamo osservare, nel pentagramma
troviamo entrambi i triangoli che abbiamo visto in precedenza. Le punte della stella
corrispondono a triangoli con angoli di 36° e 72°, e ogni punta è separata da un’altra da
uno gnomone aureo. Quindi, oltre alle particolari proprietà viste precedentemente, se ne
aggiunge un’altra: in un pentagono regolare, le diagonali e il lato del poligono stanno tra
loro in rapporto aureo. Infatti la diagonale divisa per il lato non dà altro che ". Il pentagono
regolare, e quindi il pentagramma, inoltre, sono alla base del pentacolo, antico simbolo
sacro di perfezione.
L’etimologia del nome “pentacolo” non è certa, anche se secondo alcune teorie
deriverebbe dal greco panta (“tutto”) e kleos (“azione gloriosa”). Nella tradizione pagana,
ciascuna punta del pentagramma corrisponde ad un elemento metafisico: terra, fuoco,
acqua, aria, spirito (la sommità). Esso è inoltre simbolo di perfezione, poiché il cerchio è
simbolo del divino e della ciclicità. Ha invece significato negativo se girato al contrario,
poiché rappresenta le persone che sacrificano lo spirito, privilegiando l’aspetto terreno
(terra e fuoco).
5) La successione di Fibonacci.
Oltre alle acrobazie che il numero d’oro compie nel campo geometrico, ve ne sono
altrettante nel campo aritmetico, dove presenta proprietà che non hanno altri numeri. Una
di queste è stata elaborata dal più conosciuto matematico europeo del Medioevo,
Leonardo da Pisa (1175-1240), detto Fibonacci, cioè “figlio di Bonaccio”. Immaginiamo di
partire dai numeri 0 e 1, e dover creare una successione in cui ciascun numero è uguale
alla somma dei due precedenti. Si otterrebbe la seguente successione:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 …
e così via, senza fine. Fibonacci scoprì che il rapporto tra ciascun numero e il suo
precedente si avvicina sempre di più al numero aureo (") senza mai arrivare a
raggiungere tale valore. Questo poiché "%è un numero irrazionale, cioè non è esprimibile
come rapporto tra interi. Di seguito sono rappresentati i risultati di alcuni rapporti.
3 : 2 = 1,5
5 : 3 = 1,6666666
8 : 5 = 1,6
13 : 8 = 1,625
21 : 13 = 1,615
34 : 21 = 1,619047
55 : 34 = 1,617647
89 : 55 = 1,6181818
Si noti come la successione converge sempre più lentamente a ", il cui valore
approssimato vale 1,618.
6) La spirale logaritmica.
Una figura geometrica che è collegata in modo molto stretto con la sezione aurea è la
spirale logaritmica, che si ottiene dalla rotazione del lato del quadrato contenuto nel
rettangolo armonico, e ripetendo la figura nei rettangoli più piccoli che di volta in volta
scaturiscono dalla sottrazione del quadrato.
Tale spirale è ottenibile anche dalla rotazione dei cateti degli gnomoni aurei che si
susseguono bisecando il triangolo aureo.
Le spirali logaritmiche hanno rapporto !%tra il raggio di una spira e il raggio della
successiva. Queste costruzioni geometriche sono tuttavia una approssimazione meno
accurata della curva originale, e possono essere costruite semplicemente su un foglio di
carta, anche senza il bisogno di un calcolatore.
La spirale logaritmica, detta anche spirale equiangolare o spirale di crescita, è un tipo di
spirale che si trova spesso in natura. Essa è stata descritta per la prima volta da
Descartes e successivamente studiata vastamente dal matematico Jakob Bernoulli, che la
definì spira mirabilis, ossia la “spirale meravigliosa”. Egli volle che sulla sua lapide ne
fosse incisa una, accompagnata dalla scritta in latino “eadem mutata, resurgo”, ad indicare
l’immortalità dell’anima, che sopravvive nonostante la fine della vita terrena. La spirale
logaritmica, infatti, è una delle poche curve aventi la proprietà di rinascere uguali, una
volta ingrandite. Questa proprietà è nota come “autosomiglianza”. Sfortunatamente, lo
scalpellino incaricato di eseguire l’incisione, per sbaglio incise una spirale di Archimede,
che differisce dall’altra per il fatto di avere le spire che si susseguono ad una distanza
regolare, anziché aumentare la distanza di una dall’altra mano a mano che si dirige verso
l’esterno. Stregato dalle sue proprietà, Bernoulli scrisse: “Si può usarla come simbolo sia
della forza e costanza nelle avversità, sia del corpo umano che, dopo tutti i cambiamenti, e
persino dopo la morte, è restituito al suo preciso e perfetto Sé”.
Se, infine, proviamo ad ingrandire la curva, scopriamo che essa non solo si presenta
uguale a quella di partenza, ma anche che essa non ha un punto d’inizio. Infatti,
stringendosi sempre di più, la curva converge verso un punto preciso, costituito
dall’intersezione delle diagonali di due rettangoli “genitore” e “figlio”. Ispirandosi alle
proprietà divine attribuite al rapporto aureo, il matematico Clifford A. Pickover ha suggerito
di chiamare tale punto “l’occhio di Dio”.
L’equazione generale di una spirale logaritmica è la seguente:
Tale equazione, espressa in coordinate polari, collega R, ossia il raggio, a t, l’angolo di
rotazione. Il parametro k è invece un parametro arbitrario che regola l’estensione della
curva. Ho ottenuto la curva seguente imponendo k=1, mediante l’utilizzo del software
Derive 6.
" IN NATURA
Il numero aureo è una delle costanti matematiche predilette dalla natura che ci circonda.
Sarà successo a tutti di rimanere incantati davanti alla bellezza di una rosa, o affascinati
da un girasole. Il fascino della natura è frutto della proporzione intrinseca ad essa. Infatti la
natura, seppure imperfetta, tende alla perfezione matematica. Ma perché proprio "?
Questo per il fatto che i sistemi complessi evolvono secondo il principio di “minima
energia”, cercando di raggiungere l’equilibrio. E il numero aureo, in diversi ambiti della
natura, permette questo. In particolare, esso è presente in molti esseri viventi, uomo
compreso, ma anche nei vegetali, e contribuisce a creare l’armonia del mondo che ci
circonda, dove il caos è solo un’apparenza, e tutto tende alla perfezione secondo principi
matematici. Alcuni esempi della presenza di " in natura, sono:
1) Fillotassi nelle piante.
Tra i vegetali, le foglie sui rami e lungo il tronco tendono ad occupare posizioni che
rendano massima l’esposizione delle foglie alla luce del sole. Se la disposizione delle
foglie seguisse schemi rettilinei, tuttavia, si privilegerebbero solamente le foglie più alte,
quelle esposte al sole, poiché esse nasconderebbero le altre. La natura ha introdotto
quindi una componente rotatoria, quindi le foglie successive si susseguono attorno al fusto
secondo un’ideale spirale. Tale fenomeno è noto con il nome di fillotassi, nome coniato nel
1754 dal naturalista svizzero Charles Bonnet. Piante come il pero e il salice hanno un
quoziente di fillotassi di 3/8. Significa, cioè, che sul fusto, ogni 3 giri si susseguono 8 rami.
I coefficienti di fillotassi seguono rapporti dati da numeri della successione di Fibonacci. Il
melo, alcune querce e l’albicocco, ad esempio, hanno coefficiente 2/5.
2) Struttura del girasole.
Ammirando il girasole è facile notare, al centro dell’infiorescenza, l’insieme di spirali orarie
e antiorarie che si intersecano con regolarità. Infatti gli elementi dell’infiorescenza
crescono in modo da occupare nel modo più efficiente lo spazio
circolare all’interno del fiore. Il numero di spirali presenti dipende
dalla grandezza e dal tipo di girasole. Nel caso più comune, ad
esempio, ci sono 34 spirali avvolte in un senso, e 55 avvolte nel
senso opposto. Sono stati osservati, tuttavia, anche girasoli con
rapporti diversi, ad esempio 89/55, 144/89 e, il più grande, 233/144.
Tutti i numeri in questione sono rapporti di termini consecutivi della successione di
Fibonacci, e convergono a ".
3) La rosa.
Anche la mirabile corolla della rosa è collegata alla proporzione aurea. Gli angoli che
definiscono le posizioni dei petali (in frazioni di angolo giro), sono infatti la parte decimale
di semplici multipli di ". Tale disposizione dei petali, infatti, permette la maggior densità di
petali per volume della rosa.
4) La conchiglia del nautilus.
Ritengo che la forma della conchiglia del nautilus
pompilius sia il più stupendo esempio della
presenza della sezione aurea in natura. La
conchiglia, infatti, segue l’andamento di un ipotetica
spirale aurea. Il nautilus pompilius è un mollusco di
grosse dimensioni: dalla nascita, fino alla morte,
esso cresce continuamente, e questo continuo
accrescimento genera una forma che si espande
sempre di più, creando una spirale che tende
idealmente a quella raffigurata nella parte
riguardante la matematica.
5) Volo del falcone.
Il biologo Vance A. Tucker si è chiesto per anni perché il
falco pellegrino non scelga la via più breve per
raggiungere la preda, finché ha intuito che la risposta
andava cercata nel suo apparato visivo. Gli occhi del
falcone, infatti, riescono a garantire la massima acutezza
quando guardano lateralmente, con un inclinazione di
40° rispetto alla normale. Esso quindi, per guardare
avanti acutamente, dovrebbe mantenere la testa inclinata
di 40° nel senso opposto. Ma il biologo ha dimostrato,
attraverso esperimenti in una galleria del vento, che un
tale assetto peggiorerebbe la sua aerodinamica,
rallentandolo notevolmente. Per questo il falcone
mantiene la testa dritta, percorrendo così una traiettoria a
forma di spirale logaritmica. Inoltre, grazie alle proprietà
di tale spirale, il falco ha la possibilità di non perdere di
vista la preda, e al contempo di tenere dritta la testa,
massimizzando così la velocità, che raggiunge addirittura
i trecento chilometri orari.
6) " nelle proporzioni umane e degli animali.
Il numero " è presente anche nelle proporzioni umane. L’esempio più comune è quello di
dividere la propria altezza per l’altezza dai piedi all’ombelico. Il numero ottenuto,
magicamente, è ". Lo stesso rapporto si ottiene anche dividendo la distanza dalla spalla
alla punta delle dita, per la distanza dal gomito alla punta delle dita. Rapporti aurei si
trovano anche nelle dita delle mani, come mostrato qui di seguito.
Ancora provate ad osservare l’immagine seguente: essa rappresenta il grafico della
convergenza a " del rapporto tra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci. Il
grafico è simile a quello della pulsazione di un battito cardiaco a riposo.
Ma il numero d’oro non è circoscritto solamente agli esseri umani. La divina proporzione è
osservabile anche negli animali. Per esempio nei delfini e nelle farfalle, come riportato dai
seguenti disegni.
E infine, la forma della seguente pianta grassa prende spunto dalla forma del pentagono
regolare che, come abbiamo visto nella parte matematica, è simbolo di perfezione, poiché
contiene all’interno il numero aureo.
7) La divina proporzione nel DNA.
Come tutti sappiamo, il DNA racchiude l’informazione genetica di
ciascuno di noi. Esso ha una struttura a doppia elica, costituita da
due spirali che si intrecciano. Possiamo dividere la spirale in due
parti: una maggiore e una minore. Come ormai è possibile
immaginare, anche nel DNA giace nascosto il rapporto aureo. In
particolare, dividendo la lunghezza della parte maggiore per la
lunghezza della parte minore, otteniamo sempre il rapporto ". Più
precisamente, i due pezzi hanno lunghezze che sono
rispettivamente di 21 angstroms e 13 angstroms. 21 e 13 sono
inoltre numeri consecutivi della serie di Fibonacci, e il loro
rapporto dà come risultato il valore 1,615: una buona
approssimazione di ".
NUMERO E ARMONIA IN FILOSOFIA
1) Pitagora e il numero.
Pitagora di Samo (VI secolo a.C.) e i suoi discepoli avevano scoperto nei numeri
proporzioni ed armonie giungendo a dare vita ad una visione “mistica” dell’aritmetica. La
musica rappresentava l’aspetto sensibile e percepibile di questa armonia. Pitagora aveva
osservato che il tono della corda di uno strumento musicale dipendeva, a parità di
tensione, dalla sua lunghezza, e che non tutti i rapporti fra lunghezze davano suoni
armonici, bensì solo quelli che seguivano certe proporzioni numeriche. Pertanto, nelle
cose naturali era presente un’armonia che poteva essere esplicitata e determinata
mediante i numeri. Pitagora diceva: "se il numero è ordine, come accordo di elementi
illimitati e illimitanti, e se tutto è determinato dal numero, tutto è ordine". Infatti, secondo
Pitagora, il principio di tutte le cose è il numero, e tutte le cose esistono perché riflettono
un ordine e sono ordinate perché in esse si realizzano leggi matematiche che sono
insieme condizioni di esistenza e di bellezza.
2) Platone e il numero aureo.
Platone considera la sezione aurea la chiave della fisica del cosmo: nel “Timeo” cerca di
dare la sua spiegazione del mondo della natura, applicando il metodo dialettico, quello
finalistico derivato dalle sue vedute morali, suggestioni atomistiche e la concezione dei
numeri elaborata a partire dal pitagorismo. Da questa opera provengono la celebre ipotesi
(di origine pitagorica) dell’esistenza di un’anima del mondo, e la convinzione che l’ordine
della natura sia qualcosa che precede la natura. Sempre nel "Timeo", Platone sostiene
che i tre termini di una proporzione divina - la più grande (la linea intera), quella di mezzo
(il segmento più lungo) e la più piccola (il segmento più corto) - siano "tutti di necessità gli
stessi, e poiché sono gli stessi, non sono che uno". In una progressione di divine
proporzioni, ogni parte è un microcosmo, cioè un modello minuscolo, di tutto l'insieme.
3) Luca Pacioli e la “divina proporzione”.
Fra’ Luca Bartolomeo de Pacioli, matematico e religioso italiano, entrò nell’ordine
francescano nel 1470. Viaggiò molto, finché nel 1497 accettò l’invito di Ludovico il Moro a
rimanere a Milano, dove collaborò con Leonardo da Vinci. Egli chiamò " con il nome di
“divina proporzione”, in accordo con il suo pensiero religioso. Riteneva infatti che il numero
aureo fosse l’espressione della presenza di Dio nel mondo, che appunto ne costituiva il
matematico e architetto, oltre che creatore. In particolare, dà cinque motivazioni per
spiegare la scelta del titolo “de divina proportione”, dato al trattato di tre volumi pubblicato
nel 1509; nelle prime quattro c’è uno stretto rapporto tra Dio e la sezione aurea:
1) il valore unico del rapporto aureo richiama l’unità come il maggiore epiteto di Dio
stesso;
2) le tre lunghezze del rapporto aureo richiamano la definizione di Dio uno e trino;
3) il fatto che il rapporto aureo si esprime con un numero irrazionale e il fatto che
l’intelletto umano non può comprendere la natura di Dio sono concetti equivalenti;
4) poiché il valore della sezione aurea è sempre lo stesso, indipendentemente dalla
lunghezza del segmento, è facile collegarsi all’idea dell’immutabilità di Dio;
5) il rapporto aureo è alla base dell’esistenza del dodecaedro, che ne dipende per la
propria costruzione. Inoltre è impossibile confrontare tra loro gli altri quattro poliedri
platonici senza il rapporto aureo.
4) Keplero e Galilei e il “libro”.
Come già mostrato nell’introduzione a questa tesina, Galilei (1564-1642) riteneva che il
mondo fosse paragonabile ad un libro scritto in caratteri matematici, frutto di un progetto
divino. Tale concetto è stato ripreso pochi anni dopo dall’astronomo Keplero (1571-1630).
La metafora del mondo visto come “libro” era già nota alla teologia patristica e medievale,
che Keplero e Galilei ripresero in un contesto scientifico. Galilei, ad esempio, aveva
menzionato il parallelo fra il Libro della Scrittura e il Libro della Natura nelle due lettere
“esegetiche” a Benedetto Castelli (1613) e a Cristina di Lorena (1615), facendone una
delle principali immagini sulle quali fondare l’unicità del Verbo divino, per riprendere poi nel
“Saggiatore” (1623) l’idea che la natura è un libro scritto con un linguaggio matematico.
Riferendosi allo studio dell’universo, scrive Keplero nell’”Epitome” (1621): «Questo è il
vero Libro della Natura, nel quale Dio Creatore ha proclamato e tracciato la sua essenza e
la sua volontà, in una sorta di scrittura senza uso di parole». In particolare, Keplero
riteneva anche che la matematica e la geometria avessero un’esistenza a priori, simile alle
idee di Platone. Infatti egli scrive: “la geometria ha fornito a Dio gli schemi per la creazione
del mondo, ed è stata trasmessa all’uomo insieme all’immagine divina; e infatti, non è
attraverso gli occhi che è entrata in noi”.
6) Kant e l’oggettività della bellezza.
Kant non parla direttamente di sezione aurea. Tuttavia, nell’opera “critica del giudizio”, egli
afferma che bisogna dare una definizione rigorosa del “bello”. Il sentimento, infatti, non è
relativo, ma universale. In particolare, egli dà 4 definizioni di bello, a seconda della
categoria:
1) Qualità: ciò che piace disinteressatamente;
2) Quantità: ciò che piace universalmente, sia pure senza concetto (razionalità),
indipendentemente da spazio e tempo;
3) Relazione: il bello è finalità senza scopo; è caratterizzato dall’armonia, cioè le parti
che lo compongono sono correlate tra loro in rapporto armonioso (finalità); tuttavia
questo finalismo non è in funzione di qualcosa, è “inutile”;
4) Modalità: il bello è ciò che piace necessariamente, seppure senza concetto.
SEZIONE AUREA NELLA STORIA DELL’ARTE
1) Sezione aurea in architettura.
La sezione aurea fu ampliamente utilizzata in campo artistico. A partire dagli antichi egizi,
la costante di Fidia venne considerata il mattone fondamentale dell’armonia. In particolare,
essa venne utilizzata nella costruzione della piramide di Cheope. Infatti l’altezza dello
spigolo della piramide è pari al lato di base moltiplicato per la metà di ". Alcuni studiosi
ritengono tuttavia che gli antichi egizi non si siano basati sul numero d’oro, ma sulla
costante & (pi greco), nella progettazione della piramide. Uno di questi è Marco Livio,
autore del noto libro “La sezione aurea”, best seller dell’omonimo argomento. Secondo lui,
molte supposizioni riguardanti la presenza della sezione aurea nell’arte, sarebbero
soltanto speculazioni. Infatti non c’è modo di dimostrare che la piramide sia veramente
stata progettata secondo questo canone, poiché non vi sono documenti storici che ne
diano la certezza. C’è poi chi ritiene che la facciata del Partenone ad Atene sia stata
realizzata secondo principi aurei. Infatti alcuni vedono il rapporto aureo nel rapporto tra
l’altezza delle colonne e l’altezza totale dalla base alla sommità del timpano, oltre che
nell’inclusione dell’intera facciata in un rettangolo armonico. Altre opere architettoniche,
prese a caso, che presentano ", sono il pronao del Pantheon a Roma, la facciata della
cattedrale di Notre Dame a Parigi, il duomo e il battistero di Pisa. Al giorno d’oggi molti
edifici presentano proporzioni auree: la sede del Dipartimento della Difesa americana e
degli uffici centrali delle Forze Armate è chiamata Pentagono, per la forma della sua
pianta. Costruito dal 1941 al 1943, sorge ad Arlington, presso Washington.
2) Sezione aurea in pittura.
Capita spesso di pronunciare la parola “bello” al primo sguardo poggiato su un’opera
d’arte, prima di esaminarne i particolari. Il primo impatto positivo è dato infatti dal rispetto
delle proporzioni; le forme sono il primo aspetto intuitivo della realtà che l’occhio umano
percepisce. Per quanto riguarda la pittura, Leonardo da Vinci fu forse il pittore che più amò
inserire nei suoi dipinti le proporzioni auree. Troviamo tali proporzioni ad esempio
nell’opera “L’ultima cena”, nella quale l’unico personaggio ad essere dipinto con
proporzioni auree è Gesù, posto al centro dell’opera. Anche ne “La Gioconda” troviamo
armonia, che si rispecchia nelle dimensioni del quadro e in quelle del viso. Ne “La nascita
di Venere” di Botticelli, il corpo di Venere è strutturato secondo il numero aureo, che
delinea la posizione dell’ombelico in rapporto all’altezza della donna. Altri autori che
utilizzarono " nelle loro opere furono: Piet Mondrian, Georges Pierre Seurat, Salvador
Dalì. Quest’ultimo propose una revisione de “L’ultima cena” di Leonardo, in cui le
dimensioni del dipinto (268x167 cm) sono in rapporto molto vicino a quello aureo. La
scena, in particolare, è sovrastata da un enorme dodecaedro che fluttua sopra la tavola e
la circonda. Maurits Cornelius Escher, pittore del secolo scorso, dipinse l’opera “ordine e
caos”, dove vi è la contrapposizione tra un grande dodecaedro stellato, al centro, e una
serie di oggetti rovinati, attorno. Con quest’opera egli vuole far riflettere sulla
complementarietà di ordine e caos nel mondo che ci circonda. Il dodecaedro, infatti, è
simbolo di ordine, poiché è composto da dodici facce pentagonali, mentre gli oggetti
rovinati simboleggiano il caos.
BIBLIOGRAFIA
M. Livio, La sezione aurea, Rizzoli, Milano 2003.
R. Panzarino, Dio Sezione Aurea Bellezza, Schena Editore, Brindisi 2005.
SITI INTERNET
http://images.google.it
http://it.wikipedia.org
http://www.goldennumber.net
http://www.math.it
http://www.sectioaurea.com
http://www.studenti.it