Applicazioni delle serie numeriche al calcolo di aree

Applicazioni delle serie numeriche al calcolo di aree
Esercizio 1. Si consideri un quadrato Q0 di lato L > 0 e si denoti con Q1 il quadrato
avente per vertici i punti medi dei lati di Q0 . Sia Ω1 la figura geometrica ottenuta
togliendo dal quadrato Q0 il quadrato Q1 , cioè Ω1 = Q0 \ Q1 . Successivamente si
considerino i quadrati Q2 e Q3 tali che i vertici di Q2 sono i punti medi dei lati del
quadrato Q1 e i vertici di Q3 sono i punti medi dei lati del quadrato Q2 . Sia Ω2 la
figura geometrica ottenuta togliendo dal quadrato Q2 il quadrato Q3 , cioè Ω2 = Q2 \ Q3 .
Procedendo in questo modo si definiscono una successione (Qn ) di quadrati tali che i
vertici del quadrato Qn sono i punti medi del quadrato Qn−1 , e una successione di figure
geometriche Ωn = Q2n \ Q2n+1 (vedi figura).
Sia Ω l’unione di tutte queste (infinite) figure
geometriche, cioè
Ω = Ω1 ∪ Ω2 ∪ · · · ∪ Ωn ∪ · · · =
[
Ωn ,
n≥1
siano A l’area di Ω e An l’area di Ωn , per
ogni n ≥ 1. Si calcoli A.
h
R. A = 23 L2
i
L
Esercizio 2. Si consideri un triangolo equilatero T0 di lato L > 0 e si denoti con T1
il triangolo equilatero avente per vertici i punti medi dei lati di T0 . Sia Ω1 la figura
geometrica ottenuta togliendo dal triangolo T0 il triangolo T1 , cioè Ω1 = T0 \ T1 . Successivamente si considerino i triangoli equilateri T2 e T3 tali che i vertici di T2 sono i punti
medi dei lati del triangolo T1 e i vertici di T3 sono i punti medi dei lati del triangolo
T2 . Sia Ω2 la figura geometrica ottenuta togliendo dal triangolo T2 il triangolo T3 , cioè
Ω2 = T2 \ T3 . Procedendo in questo modo si definiscono una successione (Tn ) di triangoli
equilateri tali che i vertici del triangolo Tn sono i punti medi del triangolo Tn−1 , e una
successione di figure geometriche Ωn = T2n \ T2n+1 (vedi figura).
Sia Ω l’unione di tutte queste (infinite) figure
geometriche, cioè
Ω = Ω1 ∪ Ω2 ∪ · · · ∪ Ωn ∪ · · · =
[
Ωn ,
n≥1
siano A l’area di Ω e An l’area di Ωn , per
ogni n ≥ 1. Si calcoli A.
h
R. A =
√
3 2
5 L
i
L
1
Esercizio 3. Si consideri un quadrato Q1 di lato L > 0 e si denoti con C1 il cerchio
inscritto in Q1 . Sia Ω1 la figura geometrica ottenuta togliendo dal quadrato Q1 il cerchio
C1 , cioè Ω1 = Q1 \ C1 . Successivamente si considerino il quadrato Q2 incritto nel cerchio
C1 e il cerchio C2 inscritto nel quadrato Q2 . Sia Ω2 la figura geometrica ottenuta
togliendo dal quadrato Q2 il cerchio C2 , cioè Ω2 = Q2 \ C2 . Procedendo in questo modo
si definiscono una successione (Qn ) di quadrati, una successione Cn di cerchi tali che
Qn è inscritto in Cn−1 e Cn è inscritto in Qn , e una successione di figure geometriche
Ωn = Qn \ Cn (vedi figura).
Sia Ω l’unione di tutte queste (infinite) figure
geometriche, cioè
Ω = Ω1 ∪ Ω2 ∪ · · · ∪ Ωn ∪ · · · =
[
Ωn ,
n≥1
siano A l’area di Ω e An l’area di Ωn , per
ogni n ≥ 1. Si calcoli A.
h
R. A = 2 1 −
π 2
4 L
i
L
Esercizio 4. Si consideri un triangolo equilatero T1 di lato L > 0 e si denoti con C1 il
cerchio inscritto in T1 . Sia Ω1 la figura geometrica ottenuta togliendo dal triangolo T1 il
cerchio C1 , cioè Ω1 = T1 \ C1 . Successivamente si considerino il triangolo equilatero T2
incritto nel cerchio C1 e il cerchio C2 inscritto nel triangolo T2 . Sia Ω2 la figura geometrica
ottenuta togliendo dal triangolo T2 il cerchio C2 , cioè Ω2 = T2 \C2 . Procedendo in questo
modo si definiscono una successione (Tn ) di triangoli equilateri, una successione Cn di
cerchi tali che Tn è inscritto in Cn−1 e Cn è inscritto in Tn , e una successione di figure
geometriche Ωn = Tn \ Cn (vedi figura).
Sia Ω l’unione di tutte queste (infinite) figure
geometriche, cioè
Ω = Ω1 ∪ Ω2 ∪ · · · ∪ Ωn ∪ · · · =
[
Ωn ,
n≥1
siano A l’area di Ω e An l’area di Ωn , per
ogni n ≥ 1. Si calcoli A.
h
R. A =
√
3
3
−
π
9
L2
i
L
2
Esercizio 5. Si consideri un esagono regolare E1 di lato L > 0 e si denoti con E2 l’esagono regolare avente per vertici i punti medi dei lati di E1 . Sia Ω1 la figura geometrica
ottenuta togliendo dall’esagono E1 l’esagono E2 , cioè Ω1 = E1 \ E2 . Successivamente si
considerino l’esagono regolare E3 avente per vertici i punti medi dei lati di E2 e l’esagono
regolare E4 avente per vertici i punti medi dei lati di E3 . Sia Ω2 la figura geometrica ottenuta togliendo dall’esagono E3 l’esagono E4 , cioè Ω2 = E3 \ E4 . Procedendo in questo
modo si definiscono una successione (En ) di esagoni regolari tali che i vertici di En sono
i punti medi dei lati di En−1 , e una successione di figure geometriche Ωn = E2n−1 \ E2n
(vedi figura).
Sia Ω l’unione di tutte queste (infinite) figure
geometriche, cioè
Ω = Ω1 ∪ Ω2 ∪ · · · ∪ Ωn ∪ · · · =
[
Ωn ,
n≥1
siano A l’area di Ω e An l’area di Ωn , per
ogni n ≥ 1. Si calcoli A.
h
R. A =
6
7
√
3L2
i
L
3