Problemi di rete - Matematica e Applicazioni

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Problemi di rete
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Reti elettriche, telefoniche, reti stradali e ferroviarie, reti di calcolatori... Da
un punto di vista astratto si può descrivere una rete con un insieme di linee,
che si incrociano in vari modi collegando tra loro dei punti.
Problemi di rete
Dato un certo numero di punti, può essere interessante trovare una rete che
li congiunge e che sia la più breve possibile. Se i punti fissati sono due, un
segmento di retta risolve il problema.
L =3
E se i punti sono 3 oppure 4?
SESTO 1° MAGGIO FS
O
GN
LO
CO
FS
RD
NO
BOVISA FNM
RA
ZA
CE
NT
RA
LE
FS
A
OS
RT
CE
MOLINO DORINO
L =4
L = 2+ 2 ≈ 3, 41
O
OM
DU
BISCEGLIE
C
Tr AD
ie OR
nn N
al A
e FN
M
REPUBBLICA
E
AT
SS
GE
TO
RE
LO
GARIBALDI FS
DATEO
L = 2+ 2 ≈ 3, 41
L=1+ 5 ª3,24
L =3
L =3
3
L = + 2 ≈ 2, 91
2
L = 2 2 ≈ 2, 83
È chiaro che per costruire una rete di lunghezza
minima conviene utilizzare dei tratti rettilinei. Talvolta è vantaggioso far incontrare alcuni di tali segmenti in punti diversi da quelli assegnati. Questo
fatto può sorprendere, ma risulta evidente già nel
caso dei vertici di un triangolo equilatero: una
misurazione diretta o un’applicazione del teorema di Pitagora mostrano infatti che la configurazione a forma di Y rovesciata è la più breve delle quattro reti raffigurate. Con un po’ di lavoro
in più si può provare che la Y è proprio la rete di
lunghezza minima, ovvero che è più breve di ogni
altra rete congiungente i tre punti. Per arrivare a
questa conclusione sono però necessarie ulteriori tecniche matematiche, in quanto si deve confrontare una particolare rete con le infinite altre che
è possibile immaginare (e non soltanto con un numero finito).
L =2
L =1 +
3
2
≈ 1, 87
L = 3 ≈ 1, 73
Lunghezza di alcune
reti nel triangolo
equilatero
di lato unitario
Anche i vertici di un quadrato possono essere collegati in tanti modi, alcuni dei quali sono rappresentati in figura.
Come prima, le lunghezze
possono essere determinate usando il teorema di
Pitagora o mediante misurazioni dirette.
Lunghezza di alcune reti nel quadrato
di lato unitario
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A
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A
B
B
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In realtà, per riordinare queste otto reti, dalla più lunga alla più corta, non
sarebbe necessario calcolare tutte le lunghezze. Ad esempio, riflettendo un
lato obliquo attorno al lato orizzontale, si può vedere che la quarta rete è
più corta della terza. In questo modo infatti, il confronto tra le due configurazioni si riduce a quello tra le due linee evidenziate in blu; si può allora concludere osservando che, per andare da A a B, la strada più breve è
diritta. Per determinare la posizione reciproca delle reti a forma di H e di X
è invece conveniente calcolarne le lunghezze. La K, composta da “mezza H
e mezza X”, si collocherà tra di esse.
Problemi di rete
La X è quindi la più breve di queste otto reti e sembra corrispondere in tutto e per tutto alla soluzione descritta sopra per il triangolo equilatero: i segmenti partono dai vertici e concorrono in un punto centrale, formando angoli uguali.
Sarà dunque la X la rete di lunghezza minima?
La risposta è no! Confrontando la X con delle configurazioni a forma di doppia Y, ci si accorge che si può risparmiare fino al 3,4 % sulla lunghezza. Il
risparmio maggiore si ottiene quando gli angoli nei due incroci sono tutti di
120°. Si può in realtà dimostrare che questa particolare doppia Y è in assoluto la più breve tra tutte le reti che congiungono i vertici del quadrato.
Non è un caso che sia per i vertici del triangolo, sia per quelli del quadrato, la soluzione presenti angoli di 120°. Anche prendendo tre punti in posizione arbitraria, il più delle volte la rete di lunghezza minima che li congiunge è costituita da tre segmenti, che si diramano da un unico punto formando angoli di 120°. In alcuni casi, precisamente quando uno degli angoli interni del triangolo supera i 120°, un punto così speciale non esiste.
La soluzione è allora formata dai due lati più corti del triangolo.
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-2,4%
120°
120°
120°
120°
120°
120°
-3,4%
L=1+ 3 ª2,73
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Che cosa succede con 4, 5 o più punti?
Le reti di lunghezza minima hanno tutte la stessa proprietà: i segmenti che le
compongono si incontrano formando angoli uguali o maggiori di 120° e da
ogni nodo, diverso dai punti assegnati, si diramano esattamente tre segmenti.
In particolare, questa proprietà è verificata da ciascuna delle tre reti che
congiungono i vertici dell’esagono regolare e che sono rappresentate in
figura.
Se si calcolano le loro lunghezze si scopre che la rete formata da cinque lati dell’esagono è più breve delle altre due; in effetti è stato dimostrato che
questa è la rete di lunghezza minima possibile.
Quindi, se da un lato è vero che ogni rete minima verifica la proprietà “dei
120°”, dall’altro non è detto che una rete avente tale proprietà sia di lunghezza
minima in assoluto. Infatti, come si è appena visto, due reti tra i vertici dell’esagono verificano la proprietà senza essere per questo le più brevi.
Tuttavia si può dire che sono minime in senso relativo: ciascuna di esse è infatti più breve di ogni altra rete che le si trova “abbastanza vicina”. Questa
espressione, piuttosto vaga e indefinita, acquista un significato matematico
ben preciso se si specifica l’opportuna nozione di “vicinanza” tra reti.
La condizione di minimo relativo si traduce in una proprietà di stabilità delle configurazioni, che può spiegare ad esempio la formazione di particolari sistemi di lamine di sapone, osservabili sperimentalmente.
L = 2 7 ≈ 5, 29
L = 3 3 ≈ 5, 20
L =5
Reti minime realizzate
con lamine di sapone
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