Esercizi 1. Il candidato fornisca la definizione di momento teorico di

Esercizi
1. Il candidato fornisca la definizione di momento teorico di origine m ed ordine r per una generica
variabile aleatoria discreta.
2. Il candidato fornisca la definizione di valore atteso di una generica variabile aleatoria.
3. Il candidato fornisca la definizione di momento teorico centrato di ordine r per una generica
variabile aleatoria discreta.
4. Il candidato fornisca la definizione di varianza di una generica variabile aleatoria discreta.
5. Il candidato fornisca la definizione di momento teorico di ordine r per una generica variabile
aleatoria discreta.
6. Quali momenti teorici di una generica variabile aleatoria X vengono utilizzati per la costruzione
degli indici di asimmetria e curtosi?
7. Sia X una variabile aleatoria discreta con funzione di distribuzione di probabilità p(x). Quando
la p(x) è definita simmetrica? Quando è definita asimmetrica positiva? Quando è definita
asimmetrica negativa?
8. Come viene definito l’indice di asimmetria di Fisher e come vengono interpretati i suoi valori?
9. Il candidato fornisca la definizione di prova di Bernoulli.
10. Quali condizioni devono soddisfare le prove di Bernoulli affinché si possa definire la variabile
aleatoria Binomiale?
11. Il candidato spieghi la derivazione teorica della funzione di distribuzione di probabilità della
variabile aleatoria Binomiale.
12. Quali sono i parametri di una funzione di distribuzione binomiale?
13. Il candidato riporti le formule del valore atteso e della varianza di una variabile aleatoria
binomiale.
14. Il candidato riporti la formula dell’indice di asimmetria di Fisher per una funzione di distribuzione Binomiale. Quando una funzione di distribuzione binomiale è simmetrica, asimmetrica
positiva e asimmetrica negativa?
15. Sotto quali condizione la variabile aleatoria Binomiale converge alla variabile aleatoria di
Poisson?
16. Il candidato dimostri che, sotto le opportune condizioni, la funzione di distribuzione della
variabile aleatoria Binomiale converge alla funzione di distribuzione della variabile aleatoria di
Poisson.
17. Il candidato riporti la formula del valore atteso e della varianza di una variabile aleatori di
Poisson.
18. Il candidato riporti la formula dell’indice di asimmetria di Fisher nel caso di una variabile
aleatoria di Poisson.
19. Il candidato dimostri che la funzione di distribuzione di una variabile aleatoria di Poisson è un
modello probabilistico.
20. Sia X una variabile aleatoria continua. Il candidato spieghi la relazione esistente tra la
probabilità intervallare P (x0 ≤ X < x1 ) e la funzione di densità di probabilità di X.
21. Sia X una variabile aleatoria continua. Il candidato spieghi la relazione esistente tra la
probabilità intervallare P (x0 ≤ X < x1 ) e la funzione di ripartizione di X.
22. Il candidato fornisca la definizione di momento teorico di origine m ed ordine r di una generica
variabile aleatoria continua X.
23. Il candidato fornisca la definizione di funzione di densità di probabilità simmetrica.
24. Quando una funzione di densità di probabilità si definisce asimmetrica positiva? Quanto
asimmetrica negativa?
25. Il candidato riporti la funzione di densità di probabilità della variabile aleatoria Gaussiana.
Quali sono i suoi parametri e quali relazioni li legano al valore atteso e alla varianza di X?
26. Si consideri un mazzo di 52 carte e l’esperimento casuale consistente nell’estrarre con reinserimento 10 carte. Sulla base della descrizione dell’esperimento il candidato calcoli la probabilità
che:
(a) delle 10 carte estratte 2 siano di cuori;
(b) delle 10 carte estratte almeno 2 siano di cuori;
(c) delle 10 carte estratte al più 2 siano di cuori.
27. Si consideri una slot-machine costituita da cinque rulli i quali forniscono risultati stocasticamente indipendenti tra loro. Ogni rullo è costituito da dieci settori raffiguranti gli interi da uno
a dieci. Utilizzando un volta soltanto la slot-machine, il candidato calcoli la probabilità che:
(a) la slot-machine visualizzi tre volte un valore minore o uguale a 2;
(b) la slot-machine visualizzi due volte un valore compreso tra sei ed otto, estremi compresi.
28. Si consideri l’esperimento casuale consistente nel lancio di cinque dadi. Il candidato calcoli la
probabilità di osservare:
(a) tre volte un valore pari;
(b) al più due volte un valore compreso tra quattro e sei, estremi compresi;
(c) almeno due volte un valore compreso tra uno e tre, estremi compresi.
29. Si consideri un mazzo di dieci carte raffiguranti i valori interi da uno fino a dieci. Il candidato
calcoli la probabilità che, estraendo con reinserimento cinque carte:
(a) si osservi tre volte un valore pari;
(b) si osservi almeno tre volte il valore uno;
30. Si consideri l’esperimento casuale consistente nel lancio di dieci dadi. Determinare la probabilità
che, dei dieci dadi lanciati:
(a) 3 dadi mostrino una faccia riportante un valore pari;
(b) almeno 5 dadi mostrino una faccia riportante un valore inferiore o uguale a 3.
31. Si consideri una roulette con 37 settori numerati da 0 a 36 colorati alternativamente. Supponendo che il croupier ripeta il lancio di una pallina 10 volte, calcolare la probabilità di osservare
almeno 9 volte un valore minore o uguale a 30.
32. Il campionato di formula 1 è costituito da 19 gran premi. Si consideri una vettura la cui
probabilità di vittoria in un gran premio è pari a 0.3. Assumendo che gli esiti dei gran premi
siano stocasticamente indipendenti, il candidato calcoli la probabilità che la vettura vinca:
(a) otto gran premi;
(b) un numero di gran premi compreso tra 5 e 7, estremi compresi;
(c) almeno tre gran premi.
33. Si considerino dieci corse di cavalli. Sulla base dell’esperienza passata è noto che la probabilità
che il cavallo Varenne vinca una corsa è 0.87. Il candidato calcoli la probabilità che il cavallo
Varenne:
(a) vinca 8 delle prossime 10 gare;
(b) vinca almeno 9 delle prossime 10 gare;
(c) vinca un numero di gare compreso tra 5 ed 8, estremi compresi.