La sezione aurea

Roberto Solci – Analisi delle forme compositive I- Biennio- Strumenti antichi – Parte III
Conservatorio “A. Pedrollo” di Vicenza
Dipartimento di musica antica
A.A. 2012 – 2013
Corso di:
Analisi delle forme compositive I
(Biennio- primo anno - Strumenti antichi)
Prof. ROBERTO SOLCI
PARTE III
PROPORZIONI MATEMATICHE E MUSICA
“...le proporzioni delle voci sono armonia delle orecchie, così quelle delle misure sono armonia
degli occhi nostri...”
A. Palladio
Elemento essenziale di questa concezione artistica è il principio dell’unità, “ tutte le parti di una
melodia vengono a trovarsi raccolte in un sol punto in grazia dei rapporti armonici che si
stampano nella memoria.
“Divina proporzione; opera a tutti gli ingegni perspicaci e curiosi necessaria ove ciascun studioso
di prospettiva, pittura, architettura, musica e altre matematiche soavissima sottile e ammirabile
dottrina conseguirà e dilettarassi con varie questioni di segretissima scienza”
De divina proporzione, Luca Pacioli
"La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l'altro è la sezione aurea di un
segmento. Il primo lo possiamo paragonare ad un oggetto d'oro; il secondo lo possiamo definire un
prezioso gioiello. "
Johannes Kepler
LA SEZIONE AUREA
La sezione aurea è quella parte di un segmento che è la media proporzionale fra il
segmento intero e la parte restante di esso.
Su questa equazione l'architettura classica e rinascimentale fondava il principio compositivo della
sua armonia proporzionale. In tutti i canoni classici dell'architettura la sezione aurea costituisce lo
strumento principe con cui furono concepiti e proporzionati le basi, le colonne, i capitelli e le
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trabeazioni. Nell'architettura rinascimentale veniva comunemente usato il rapporto aureo sia per
suddividere e ripartire armonicamente sia le facciate dell'edificio che per proporzionare
volumetricamente gli ambienti. Un largo contributo alla conoscenza ed alla divulgazione di questo
metodo di suddivisione armonica è stato dato dal matematico Luca Pacioli con la pubblicazione del
libro De divina Proportione, testo illustrato con disegni di Leonardo Da Vinci.
La sezione aurea (nota anche come rapporto aureo, numero aureo, costante di Fidia e
proporzione divina), indicata abitualmente con la lettera greca Φ (phi), corrisponde al numero
irrazionale:
Graficamente, la sezione aurea può essere rappresentata da un segmento diviso in due parti a e b,
tali che il rapporto tra l'intero segmento a+b e la parte più lunga a sia uguale al rapporto tra la parte
più lunga a e la parte più corta b:
Anche le due parti a e b così ottenute sono tra loro in rapporto aureo, così come la parte più
piccola con la differenza tra le due parti:
Dato un segmento di lunghezza 1, la sezione aurea può essere rappresentata algebricamente con la
seguente proporzione:
1:x = (x - 1):1
Questa equazione ha un'unica soluzione positiva:
La sezione aurea è legata alla sequenza di Fibonacci Il rapporto tra due termini consecutivi di tale
sequenza tende a Φ.
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IL RETTANGOLO AUREO
Nel rettangolo aureo, i lati a e b sono in proporzione aurea:
|.......... a..........|
+-------------+--------+
|
|
|
|
|
|
|
B
|
A
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+-------------+--------+
.
.
b
.
.
.
-
|......b......|..a-b...|
Ripetendo questo procedimento, si ottiene una serie di rettangoli aurei sempre più piccoli.
Tracciando un quarto di cerchio in ogni quadrato scartato, si ottiene una figura che assomiglia alla
spirale logaritmica
θ = (π/2log(φ)) * log r.
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La costante φ appare in geometria, soprattutto nelle figure che richiamano la simmetria pentagonale.
Il Partendone di Atene, con suoi rettangoli aurei.
La sezione aurea emerge in natura come risultato della dinamica di alcuni sistemi.
È stato ritrovato, tra l'altro, nella struttura delle conchiglie, nella dimensione delle foglie, nella
distribuzione dei rami negli alberi, nella disposizione dei semi di girasole, e nel corpo umano.
Nell'antichità già gli egizi conoscevano questo numero (utilizzato per grandi piramidi di Giza).
Anche il pentagramma dei pitagorici contiene la sezione aurea.
IL PENTAGRAMMA
La sezione aurea è anche legata al pentagono regolare in quanto la diagonale ed il lato del poligono
hanno come rapporto proprio detta sezione.
Un triangolo isoscele con gli angoli alla base pari a 72° è aureo.
Ogni pentagono contiene un pentagramma, la stella a cinque punte che si ottiene collegando tutti i
vertici del pentagono tramite diagonali.
( pentagono e pentagramma)
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La forma del pentagramma è riscontrabile molto spesso in natura:
( un esemplare di Astrophitum myriostgma)
I pitagorici attribuirono a questa figura geometrica, «pentalfa», particolari proprietà magiche,
severamente e gelosamente custodite nell'ambito delle «dottrine esoteriche»
I NUMERI DI FIBONACCI
La successione di Fibonacci è una sequenza di numeri interi naturali definibile assegnando i valori
dei due primi termini,
F0:=0 ed F1:=1,
e chiedendo che per ogni successivo sia
Fn := Fn-1 + Fn-2.
La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci e i termini
di questa successione sono chiamati numeri di Fibonacci.
I primi 41 numeri di Fibonacci sono:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 (=F10),
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89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 (=F20),
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 32040(=F30),
1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169,
63245986, 102334155 (=F40)
I numeri di Fibonacci godono di una gamma stupefacente di proprietà, si incontrano nei modelli
matematici di svariati fenomeni e sono utilizzabili per molti procedimenti computazionali; essi
inoltre posseggono varie generalizzazioni interessanti.
PROPORZIONI
ARITMETICA
Quando le differenze fra le tre grandezze sono costanti:
c–a=b-c
1,2,3,4,5 ecc…
GEOMETRICA
Quando i quozienti sono costanti:
c=b
a c’
1.2.4.ecc…
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