La dimensione matematica dei fenomeni naturali

DIESSE FIRENZE
Didattica e Innovazione Scolastica
Centro per la formazione e l’aggiornamento
SCIENZAFIRENZE
OTTAVA EDIZIONE
Docenti e studenti a confronto su:
IL LINGUAGGIO DEL LIBRO DELLA NATURA
La dimensione matematica dei fenomeni naturali
Aula Magna
Polo delle Scienze Sociali, Università di Firenze
Firenze, 13 – 14 aprile 2011
Primo classificato – Sezione Biennio
Titolo: Se siamo belli siamo “aurei”? La sezione aurea nel corpo umano
Di: Kumar Nisha, Malpeli Chiara, Micale Lorenzo, Reale Stefano, Trombi Francesca
Scuola: Istituto Tecnico Carlo Emilio Gadda - Langhirano (Parma)
Docente: Losi stefania
Motivazione: Tra i diversi possibili approcci alla sezione aurea, questo lavoro nasce da
uno spunto originale, le proporzioni del corpo umano, e procede su una domanda
interessante: “è vero quello che sembra, che certi elementi sono tra loro in rapporto
aureo?” Gli studenti hanno dovuto sia esplorare la relazione matematica che esprime la
sezione aurea e la successione di Fibonacci, sconosciuta in prima superiore, sia
raccogliere dati ed elaborarli, discutendo i risultati. L’esperimento è stato condotto con
discreta accuratezza e presentato in modo completo.
Relazione del docente referente
Il lavoro è stato svolto in parte a scuola in orario extra scolastico e in parte a casa dagli studenti per
la raccolta dei dati e da me per la correzione della tesina.
I ragazzi sono stati selezionati sulla base delle capacità e dell'interesse.
La prima parte del lavoro ha riguardato l'inquadramento della problematica proposta dal concorso e
la scelta dell'argomento su cui lavorare. In questa fase i ragazzi hanno visionato video sul web e
ascoltato da me informazioni e spiegazioni inerenti l'applicazione della matematica alla lettura dei
fenomeni naturali. Qualcuno ha avanzato proposte alternative alle mie e insieme hanno fatto la loro
scelta sulla base della reperibilità dei dati e del loro interesse.
Il lavoro d'equipe non sempre è stato compatto, il numero delle rilevazioni effettuate non è stato
uniformemente distribuito tra gli studenti; qualcuno ha mostrato comunque serietà e partecipazione
encomiabili.
Credo che il messaggio più significativo per i ragazzi sia stato il toccare con mano il metodo
sperimentale, a partire dalla teoria per arrivare alle conclusioni basate sull'analisi e la sintesi dei dati
passando attraverso 1a raccolta dei dati, che li ha impegnati in prima persona e in autonomia,
evidenziando la necessità di una procedura rigorosa e il più possibile dettagliata e precisa.
Per la prima volta si sono trovati a dover gestire una discreta mole di dati di cui conoscevano
veramente la storia, dati reali che hanno toccato la loro esperienza.
SE SIAMO BELLI SIAMO “AUREI”?
La sezione aurea nel corpo umano
INTRODUZIONE
Navigando sul web abbiamo scoperto che il corpo umano teoricamente è costruito secondo certi
rapporti matematici. Abbiamo imparato che questi rapporti sono in relazione con la serie di
Fibonacci e la sezione aurea.
Pertanto obiettivo della nostra indagine è verificare o meno l’applicabilità reale di questa teoria,
attraverso una raccolta di dati sperimentali derivati da misurazioni di alcune lunghezze di parti o
sezioni del corpo umano di persone a noi vicine. In altre parole ci proponiamo di verificare se il
corpo dell’uomo è una pagina del libro della natura scritto con il linguaggio matematico e quindi
analizzabile con strumenti matematici.
LA TEORIA
I numeri di Fibonacci sono una sequenza matematica, i cui elementi e i cui rapporti si riscontrano in
una straordinaria varietà di fenomeni naturali e artistici.
A questa sequenza fu dato il nome del suo scopritore duecentesco, Leonardo Pisano, detto
Fibonacci. In una sezione del suo famoso trattato, Liber Abaci, questi poneva un problema
matematico: se una coppia di conigli rimane isolata, "quanti conigli nasceranno nel corso di un
anno, ammesso che ogni mese una coppia di conigli ne produca un'altra coppia, e che i conigli
incomincino a partorire due mesi dopo la propria nascita?".
Per arrivare alla soluzione, possiamo preparare tre liste. Su una segneremo il numero totale delle
coppie di conigli alla fine di ogni mese, su un'altra il numero delle coppie feconde, e sulla terza il
numero delle coppie immature. Le tre liste risultano identiche (ove si eccettui il fatto che la lista
delle coppie immature incomincia con 0, e alla lista di tutte le coppie manca il primo numero di
tutta la sequenza, cioè 1). La lista di tutte le coppie per ogni singolo mese si presenta così: 1, 2, 3, 5,
8, 13,21,34, 55, 89, 144, 233 e 377. L'ultima cifra della lista dà la soluzione del problema: nel corso
di dodici mesi nasceranno 376 coppie (dobbiamo sottrarre da 377 la prima coppia, che era già nata).
L'intera sequenza di Fibonacci deriva dalla lista delle coppie mature: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ecc.
Questa successione numerica ha la proprietà matematica che ogni elemento (a partire dal secondo) è
uguale alla somma dei due precedenti. Usando questa formula è possibile estendere la sequenza
all'infinito.
La sequenza ha un'altra proprietà matematica interessante, che si può notare calcolando il rapporto
di ogni elemento con quello precedente . Partendo dai primi due elementi, il rapporto è 1:1, è
semplicemente 1. Il secondo rapporto è 2:1, o 2. Il terzo è 3 : 2, o 1,5; il quarto è 5:3 o circa 1,67; il
quinto è 8:5, o 1,6. Gli altri sono 1,625, circa 1,615, circa 1,619, circa 1,618.
Nel settecento si scoprì che questi rapporti convergono su un numero irrazionale detto ϕ, i cui primi
1+ 5
termini sono 1,618034 (più precisamente, ϕ =
) Questo significa che ogni numero è circa
2
1,618034 volte più grande del numero che lo precede.
Questo stesso numero ϕ aveva già svolto una parte importante nella civiltà occidentale. Era noto
come il numero aureo che gli antichi greci chiamavano proporzione divina.
Servendosi di riga e compasso, i geometri greci erano in grado di dividere qualsiasi linea data in due
segmenti, in modo che il rapporto fra il segmento più lungo e quello più corto fosse identico al
rapporto fra l'intera linea e il segmento più lungo. La divisione della linea era detta sezione aurea, il
rapporto proporzionale era la proporzione divina, e il numero con cui era possibile esprimere tale
1
rapporto era il numero aureo o aurea mediocrità. In altre parole, l'intera linea è circa 1,618034 volte
più lunga del segmento più lungo, e il segmento più lungo è circa 1,618034 più lungo del segmento
più corto.
Gli artisti e gli architetti greci facevano libero uso dei rettangoli aurei - rettangoli cioè in cui il
rapporto fra il lato lungo e quello corto è il numero aureo. Essi ritenevano che quella figura fosse
gradita all'anima. Se da uno spigolo di rettangolo aureo si taglia un quadrato, anche il rettangolo che
rimane è un rettangolo aureo. Questi rettangoli aurei erano usati per disegnare la pianta del
pavimento e la facciata dei templi. Il Partenone, sull'Acropoli di Atene, si conforma a questa regola.
Anche i vasi greci e le statue che raffiguravano esseri umani erano costruiti secondo la proporzione
divina. L'ombelico di una statua, per esempio, divideva l'altezza del corpo in due segmenti aurei.
Poi il segmento superiore veniva diviso all'altezza del collo in altri due segmenti dello stesso
genere. Gli occhi, infine, dividevano in maniera analoga la testa.
La sezione aurea è anche stata usata ampiamente in pittura: in molti quadri, soprattutto nel
Rinascimento, questa proporzione veniva usata moltissime volte all'interno dell'opera. Si dice, ad
esempio, che nella rappresentazione di un panorama l'orizzonte debba dividere l'altezza del quadro
secondo la sezione aurea, per ottenere un risultato più soddisfacente.
La sezione aurea, in quanto legge strutturale del corpo umano, ha conosciuto in Leonardo da Vinci
(1452-1519) un geniale assertore, infatti in moltissime sue opere si può ritrovare il rettangolo aureo.
Ne “L’uomo vitruviano” Leonardo stabilì che le proporzioni umane sono perfette quando
l’ombelico divide l’uomo in modo aureo.
2
La prova più evidente di come il rapporto aureo può influenzare in modo notevole il nostro occhio è
data dal volto umano. L'uomo ha acquisito nel corso del tempo un concetto di bellezza che si
credeva fosse dovuto ad un puro istinto, ma se andiamo ad esaminare un volto che definiamo
"bello" è facile scoprire come le distanze tra gli elementi che compongono il viso sono strettamente
legati alla proporzione aurea.
Nella figura sottostante possiamo individuare numerosi rapporti aurei:
A/a= tra l'altezza e larghezza del viso.
B/b= posizione della linea degli occhi rispetto al mento ad alla fronte.
C/c= posizione della bocca rispetto al mento ed agli occhi.
D/d= altezza e larghezza del naso.
E/e= lunghezza ed altezza del profilo della bocca.
F/f= larghezza degli occhi e la loro distanza.
H/h= distanza degli occhi rispetto al centro di simmetria del viso.
Altri famosi rapporti aurei presenti nel corpo umano sono:



Lunghezza del braccio e distanza gomito-mano;
Distanza spalle-ombelico e distanza spalle-fronte
Rapporto delle falangi dell’anulare e del medio della mano.
= Misura delle falangi del dito medio =
3
DESCRIZIONE DEGLI ESPERIMENTI E RIELABORAZIONE DATI
Innanzitutto la prof. ci ha fatto calcolare la sezione aurea col foglio elettronico. Abbiamo generato
la successione di Fibonacci e calcolato i rapporti tra due termini successivi.
LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI E LA SEZIONE AUREA
successione
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
377
610
987
1597
2584
4181
6765
10946
17711
28657
46368
75025
121393
196418
317811
514229
832040
1346269
2178309
sezione aurea
2
1,5
1,666666667
1,6
1,625
1,615384615
1,619047619
1,617647059
1,618181818
1,617977528
1,618055556
1,618025751
1,618037135
1,618032787
1,618034448
1,618033813
1,618034056
1,618033963
1,618033999
1,618033985
1,61803399
1,618033988
1,618033989
1,618033989
1,618033989
1,618033989
1,618033989
1,618033989
1,618033989
1,618033989
4
φ1
φ2
φ3
φ4
φ5
φ6
φ7
φ8
φ9
φ10
1,664
1,295
1,590
1,618
1,574
1,659
1,530
1,919
1,390
1,550
1,687
1,68
1,682
1,62
1,61
1,297
1,61
1,61
1,575
1,62
1,66
1,626
1,61
1,57
1,523
1,61
1,6
1,641
1,6
1,5
1,482
1,59
1,5
1,791
1,6
1,5
1,414
1,2
1,5
1,488
1,5
1,61
1,710
1,61
MEDIA T 1,668
1,334
1,591
1,568
1,525
1,628
1,491
1,753
1,417
1,480
1,666
MODA T 1,62
1,61
1,61
1,61
1,61
1,60
1,50
1,50
1,50
1,50
1,61
MEDIA
M
MODA
M
MEDIA F
MODA F
gomito polso
φ10
Nella fase di misura -raccolta dati, ci siamo avvalsi sia di un metro rigido, per le parti lunghe tipo
statura e arti, che di un metro flessibile per le misurazioni relative soprattutto al viso.
Poi abbiamo digitalizzato i dati in nostro possesso sul foglio elettronico e li abbiamo analizzati.
Abbiamo raccolto dati su 82 persone (54 femmine e 28 maschi) di età variabile, compiendo su ogni
persona 21 misurazioni. Abbiamo compiuto sia un’analisi sul totale dei dati che distinguendo tra
maschi e femmine, anche se i due insiemi di dati non hanno la stessa numerosità. Sicuramente i
risultati sul campione femminile sono per questo motivo più significativi.
Per ogni rapporto “aureo” ϕi abbiamo calcolato la media aritmetica e la moda . Questo secondo
indicatore centrale è stato inteso come il dato più frequente dopo aver approssimato alla seconda
cifra decimale. Riportiamo la tabella sottostante riassuntiva degli indicatori centrali di sintesi.
φ0
gomito dita
φ9
III falange medio
φ8
II falange medio
I falange medio
φ7
altezza bocca
semilung.bocca
φ6
larghezza naso
lunghezza naso
φ5
bocca mento
bocca occhi
φ4
occhi fronte
mento occhi
φ3
larghezza viso
altezza viso
φ2
capo spalle
ombelico spalla
φ1
ginocchio terra
ombelico ginocchio
φ0
ombelico terra
statura
sesso
età
ID
Successivamente insieme abbiamo stabilito il format per la raccolta dei dati e ognuno di noi, munito
della strumentazione necessaria e contrassegnato da un codice d’identificazione (ID), ha avuto il
compito di raccogliere i dati necessari misurando le parti del corpo indicate in tabella.
DISCUSSIONE E INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI
Innanzitutto abbiamo notato che non è semplice misurare la lunghezza di alcune parti del corpo a
causa della natura tridimensionale dello stesso. Di conseguenza riteniamo che alcuni dati siano stati
soggetti ad errori casuali di misura, solo in parte sanabili attraverso una maggiore accuratezza delle
procedure. Ovviamente l’errore è più importante sulle piccole lunghezze come quelle relative al
naso, alla bocca e alle falangi. E questo si ripercuote sui valori dei relativi rapporti ϕi che
maggiormente si discostano dal valore aureo 1,618…( φ6, φ7, φ8, φ9). Poi altri rapporti presentano
dei sensibili scostamenti tra la moda e la media, a significare che in questi casi la variabilità è più
alta, soprattutto per il ϕ1 .
Notiamo anche che non ci sono sostanziali differenze tra i valori di sintesi dei due sessi, anche se i
risultati volgono leggermente a favore del genere femminile che sembrerebbe più aureo di quello
maschile, ma molto probabilmente questo, come già accennato sopra, è dovuto alla maggiore
numerosità dei dati di tipo F.
Tenuto conto di queste considerazioni possiamo comunque dire che soprattutto i valori modali si
avvicinano molto al valore della sezione aurea; quindi possiamo affermare che mediamente la
5
popolazione statistica da noi analizzata prova che il rapporto aureo è riscontrabile nel corpo umano.
In particolare abbiamo trovato due unità statistiche entrambe di sesso femminile, che ci sono
sembrate particolarmente auree. Si tratta di due giocatrici di pallavolo di cui di seguito riportiamo i
dati di sintesi.
ID
età
sesso
statura
φ0
φ1
φ2
φ3
φ4
φ5
φ6
φ7
φ8
φ9
φ10
e2
22
F
171,5
1,618
1,618
1,604
1,162
1,6
1,541
1,607
1,6
1,571
1,606
1,601
e3
31
F
165
1,618
1,614
1,605
1,608
1,613
1,6
1,6
1,538
1,6
1,594
1,609
CONCLUSIONI
In questo lavoro abbiamo imparato a lavorare insieme, a raccogliere dati e ad analizzarli con il
foglio elettronico. Abbiamo potuto visitare siti web e vedere video riguardanti la natura matematica
di certi fenomeni naturali. Infine abbiamo capito che il nostro corpo è costruito secondo rapporti che
lo rendono armonico e “bello”.
Sitografia e bibliografia
http://www.youtube.com/watch?v=VehHAHOlwdA
http://www.youtube.com/watch?v=PjrK96wasDk&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=085KSyQVb-U&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=U2bAlIK4KkE&feature=related
http://www.magiadeinumeri.it/Sezione_aurea_2.htm
http://it.wikipedia.org/wiki/Angolo_aureo
La sezione aurea-il linguaggio matematica della bellezza, ed. Mondo matematico, 2011
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