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Corso di laurea in “Chimica”
Matematica
Programma svolto
Nozioni preliminari. Richiamo degli insiemi numerici. Equazioni e disequazioni
algebriche. Elementi di trigonometria. Richiamo di alcune nozioni base di geometria
analitica nel piano.
Richiamo del concetto di funzione. Funzioni reali di variabile reale. Le funzioni
elementari (potenze, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche).
Vettori. Segmenti orientati e vettori liberi. Somma e prodotto per scalari; loro
proprietà. Modulo, vettori unitari; componenti scalari di un vettore. Espressione delle
operazioni sui vettori mediante le componenti.
Prodotto scalare; proprietà. Deduzione dell’espressione mediante le componenti.
Ortogonalità fra vettori.
Prodotto vettoriale; proprietà. Deduzione dell’espressione mediante le componenti.
Parallelismo fra vettori.
Cenni di geometria analitica. Equazione di una retta nel piano, equazione di un
piano nello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta nello spazio.
Matrici e sistemi lineari. Matrici, vettori riga e colonna. Matrici simili. Operazioni sulle matrici: somma, prodotto per scalari, prodotto righe per colonne. Proprietà.
Matrice identità, matrice trasposta, matrice simmetrica.
Introduzione del determinante mediante lo studio di un sistema lineare 2 × 2 e 3 × 3
(eliminazione). Definizione di determinante mediante permutazioni. Teorema di Laplace. Regola di Sarrus. Proprietà del determinante (multilinearità e alternanza). Teorema
di Binet. Applicazione al calcolo del prodotto vettoriale. Matrice inversa.
Sistemi lineari n × n : metodo di Cramer e di eliminazione. Cenno al concetto di
rango e al Teorema di Rouché–Capelli.
Numeri complessi. Somma e prodotto nel campo C dei numeri complessi. Forma
algebrica. Interpretazione geometrica della somma. Coniugato e modulo; loro proprietà.
Forma trigonometrica. Prodotto e quoziente in forma trigonometrica. Interpretazione geometrica di prodotto. Rotazioni e rotoomotetie. Formula di De Moivre.
Radici n-esime di un numero complesso. Caso delle radici quadrate. Equazioni di
secondo grado in C.
Limiti e continuità. Successioni e loro limiti. Limite di una funzione. Proprietà
algebriche e di confronto. Estensione ai casi non indeterminati. Continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità e operazioni algebriche; composizione delle
funzioni continue. Composizione dei limiti.
Il problema delle forme indeterminate. Ordini di infinito.
Il concetto di pendenza del grafico di una funzione. Limiti notevoli e pendenza del
grafico delle funzioni elementari. Limiti notevoli come risultati di approssimazione.
Proprietà delle funzioni continue su un intervallo. Teorema degli zeri. Teorema di
Weierstrass. Deduzione del Teorema dei valori intermedi.
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Serie numeriche. Convergenza di una serie. Serie geometrica
e serie armonica.
P
Serie a termini non negativi. Serie armoniche generalizzate
1/nα (dimostrazione per
α ≤ 1 e α ≥ 2).
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Derivata e pendenza del
grafico; retta tangente. Derivate fondamentali. Derivate successive. Regole algebriche
di derivazione. Derivazione delle funzioni composte.
Punti di estremo. Stazionarietà dei punti di estremo (Teorema di Fermat).
Teorema di Lagrange. Derivata prima e monotonia.
Funzioni convesse e concave (definizione per funzioni derivabili). Punti di flesso.
Approssimazione lineare e differenziale. Formula di Taylor del secondo ordine con il
resto di Lagrange. Derivata seconda e convessità.
Cenno alla formula di Taylor di ordine n con il resto di Lagrange. Serie di Taylor di
ex , sin x, cos x, log(1 + x). Cenno alla serie esponenziale complessa.
Calcolo integrale per funzioni di unaR variabile. Primitiva
R di una funzione. Integrali immediati; integrali della forma f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt con f (x) dx integrale
immediato.
Integrazione per parti e per sostituzione.
Integrale definito di una funzione continua. Significato geometrico. Linearità, monotonia e additività.
Teorema fondamentale del calcolo (giustificazione geometrica). Formula di calcolo
per gli integrali definiti.
Equazioni differenziali. Esempi di modellizzazione mediante equazioni differenziali ordinarie. Problemi di Cauchy o ai valori iniziali.
Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari
del secondo ordine. Soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea. Deduzione della struttura delle soluzioni dell’equazione completa. Caso delle equazioni lineari
del secondo ordine a coefficienti costanti: determinazione di una coppia di soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea associata; risoluzione dell’equazione
completa nel caso di termine noto di forma speciale.
Cenni allo studio delle funzioni reali di più variabili. Grafico per funzioni di
due variabili. Linee di livello.
Derivate parziali. Gradiente e derivate direzionali. Piano tangente al grafico di una
funzione di due variabili. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Regola di
derivazione delle funzioni composte.
Estensione dei concetti principali al caso di tre o più variabili.
Cenno alle equazioni differenziali a derivate parziali. Laplaciano in coordinate polari
e sferiche.
Testo di riferimento: C.D. Pagani - S. Salsa Matematica. Masson (Milano).
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