Un p`o di esercizi.

Un pò di esercizi.
La seguente raccolta di esercizi è destinata agli studenti che si preparano
per la prova scritta di “Istituzioni ed Esercitazioni di Matematica 1” del
corso di studio in Chimica dell’Università di Cagliari. Esercizi molto simili a
quelli qui proposti son stati svolti in classe (sia durante le lezioni che durante
le esercitazioni). Molti di essi sono simili a quelli che si presentano in sede
d’esame. Gli studenti dopo aver provato a svolgerli, nel caso in cui avessero
dubbi, possono contattarmi.
Grafici di funzioni. Studiare e tracciare il grafico delle seguenti funzioni:
√
x
|x + 4| + x
3
√
,
y
=
,
y
=
x3 + 3x2
y = |x2 − 2| + x − |x|, y =
2
4−x
x−1
x−1
cos x
y = arctan
, y = x , y = ln (cos x),
y = cos (ln x),
x+1
e
p
p
y = 2 + ln |x|, y = e−x |x|, y = sin x2 .
Integrali indefiniti. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
a.
b.
Z
2 + arctan x
dx,
1 + x2
Z
Z
2
tan xdx,
c.
Z
√
Z
sin2 x
dx,
1 + cos x
ex
dx,
1 + ex
x
dx,
1+x
1
√
dx
√
x+a+ x+b
Z
Z
cos 5x sin 2xdx,
(porre
1
Z
√
1 + x = t)
sin2 xdx
d.
Z r
e.
Z √
1+x
dx (porre x = sin t)
1−x
sin x(cos x)3 dx,
provate a indovinare la sostituzione....
f.
Z
3 x
x e dx,
Z
x4 − 2
dx,
x2 − 3x + 2
Z
x3 − 6
dx,
x2 + 12x + 36
Z
x4
dx
x2 + 8x + 18
Nota bene: Gli integrali ai punti [a.] e [b.] sono tutti immediati o al più
richiedono un’opportuna riscrittura della funzione integranda.
Sistemi di equazioni lineari. Discutere e risolvere i seguenti sistema
di equazioni lineari dipendenti dal parametro a ∈ R.
•


(1 − a)x + z = 0
2x + (2 − a)y + 2z = 0


x + y + (1 − a)z = 0
•

x − ay − z = 0



ax − y − z = 0

x − ay − 2z = 0



3x + ay − z = 0
•

x − ay − z = 1



ax − y − z = 0

x − ay − 2z = 1



3x + ay − z = 0
2
•


x − y = a
x + ay = 0


x − ay = 1
•


ax + y + z = 1
x + ay + z = a


x + y + az = a2
Ancora sui sistemi di equazioni lineari. Utilizzando il metodo di
Gauss, risolvere i seguenti sistemi di equazioni lineari:
I

x − 3y + 5z − 2t = 1



−2x + 6y − 10z + 4t = 2

3x − y + 3z − 10t = 1



x − y + 2z − 3t = 0
II


x + 2y + 4z = 31
5x + y + 2z = 29


3x − y + z = 10
•
(
2x + 6y + z = −3
x + 3y − z = 2
• Risolvere i sistemi I e II anche con il metodo di Cramer e dell’inversa
di matrice.
3
Algebra lineare.
a Fissato nello spazio un riferimento cartesiano ortogonale levogiro Oxyz,
si considerino i vettori v 1 , v 2 che, rispetto a Oxyz, hanno componenti
v 1 = (2, k, k−2) e v 2 = (k, 1, 3) essendo k un parametro reale. Stabilire:
a) per quali valori di k i due vettori sono linearmente indipendenti, b)
per quali valori di k essi sono ortogonali e c) per quali valori di k
risultano essere paralleli. Dopo aver posto k = 5 calcolare il prodotto
scalare v 1 · v 2 e il prodotto vettoriale v 1 ∧ v 2 .
b Stabilire se le seguenti matrici sono invertibili e, nel caso in cui lo siano,
determinare la loro inversa:


1 2 3
1 2
1 2


A=
, B= 2 1 2 , C=
.
2 1
2 4
0 1 2
4