I Numeri • Trova il MCD e il mcm tra 136 e 72: 1. Scomponi in

I Numeri (1M)
• Trova il MCD e il mcm tra 136 e 72:
1. Scomponi in fattori 136
2. Scomponi in fattori 72
3. Il mcm è il prodotto di tutti i fattori primi con l’esponente più alto.
Il mcm tra 136 e 72 è:
4. Il MCD è il prodotto SOLO dei fattori primi IN COMUNE, con l’esponente più basso.
Il MCD tra 136 e 72 è:
5. Adesso trova il mcm tra 15 e 24
6. Trova il MCD tra 75 e 20
7. Trova il MCD e il mcm tra 55 e 250
8. Trova il mcm tra 15 e 20
9. Trova il mcm tra 5 e 24
• Operazioni tra numeri razionali (tra frazioni):
1. SOMME E SOTTRAZIONI: si trova il mcm tra i denominatori e si trasformano le frazioni
in frazioni equivalenti con lo stesso denominatore.
3
8
+
4 14
I denominatori sono 4 e 14. Il loro mcm è 28 (perché?).
3
8
3·7+8·2
37
+
=
=
4 14
28
28
2 1 1
1 1
2+ − = + −
4 5
1 4 5
I denominatori sono 1, 4 e 5. Il loro mcm è 20 (perché?).
1 1
2 1 1
2 · 20 + 1 · 5 − 1 · 4
41
2+ − = + − =
=
4 5
1 4 5
20
20
Adesso svolgi i seguenti calcoli:
3 4
(a) + =
4 5
(b)
6 2
+ =
8 3
(c)
6 4
− =
7 5
(d) 1 +
5 1
− =
2 3
(e)
4
+2=
3
(f)
5 7 1
− + −1=
3 6 2
2. MOLTIPLICAZIONI: Si moltiplicano i numeratori tra di loro e i denominatori tra di loro.
RIDUCO AI MINIMI TERMINI
3 8
3·8·3
72
9
·
·3=
=
= dividendo per il MCD tra 72 e 56 =
4 14
4 · 14 · 1
56
7
3
che è 2 = 8
Adesso svolgi i seguenti calcoli:
3 4
(a) · =
4 5
(b)
6 2
· =
8 3
6
4
(c) · −
=
7
5
5
1
(d) 2 · · −
=
2
3
3. DIVISIONI: Si moltiplica il dividendo per il reciproco del divisore.
3 9
3 12
3 · 12
36
:
= ·
=
=
=1
4 12
4 9
4·9
36
Adesso svolgi i seguenti calcoli:
3 4
(a) : =
4 5
6 2
(b) − : =
8 3
6
(c) :
7
4
−
=
5
4. Svolgi le seguenti espressioni e ricorda:
Si svolgono per prime le operazioni più interne alle parentesi.
Si svolgono per prime le moltiplicazioni e le divisioni, poi le somme e le sottrazioni.
Il prodotto di due numeri concordi è sempre positivo.
Il prodotto di due numeri discordi è sempre negativo.
5
4 2
5
2
−
− ·
(a) · 3 −
7
4
2
5 3
1
1
3
5
3 2
17
(b)
1− · 1−
· +
:
−
:
2
2
4 12
2 3
8
(c)
1 1 1
+ −
2 3 7
1
7
9
1 1 1
1
5
11
·
+
+
−
− +
·
+
+
3 21 27
2 7 3
3 15 33
• POTENZE: sono un modo compatto per scrivere prodotti tra numeri uguali:
23 = 2 · 2 · 2 = 8
2 è la base della potenza, 3 è l’esponente che dice quante volte va moltiplicata la base per se
stessa.
Ricorda: (+7)0 = 1, (−5)0 = 1.
Le potenze non possono avere base =0.
I risultati delle potenze non sono mai =0.
Le potenze sono moltiplicazioni, quindi il SEGNO (+ oppure -) del risultato dipende dal segno
della base e da quante volte eseguo la moltiplicazione:
Se la base è positiva, la potenza è sempre positiva (per tutti gli esponenti)
Se la base è negativa, la potenza è positiva se l’esponente è pari: (−5)2 = (−5) · (−5) = +25
Se la base è negativa, la potenza è negativa se l’esponente è dispari: (−5)3 = (−5)·(−5)·(−5) =
−125
Senza svolgere i calcoli, scrivi se la potenza che risulta è positiva o negativa. Sfrutta le regole
che hai appena studiato.
(−3)7685
(−3)658
(+2)7
(−3)10
(−1)37
(−3)1
(−5)−6
(+4)432
(−4)−2
(−5)−1
(−35)−124
(−45237949273)0
Operazioni tra potenze:
(a) prodotto di potenze con la stessa base: il risultato è la potenza con quella base elevata
alla somma degli esponenti.
(+2)5 · (+2)7 = (+2)5+7 = (+2)12
(b) divisione tra potenze con la stessa base: il risultato è la potenza con quella base
elevata alla differenza degli esponenti.
(−2)8 : (−2)7 = (−2)8−1 = (−2)1 = −2
Un occhio al segno: (−2)8 è positivo, (−2)7 è negativo, quindi il risultato è negativo.
Può essere utile per una verifica del risultato.
(c) prodotto/divisione di potenze con base diversa ed esponente uguale: il risultato è il
prodotto/divisione tra le due basi, il tutto elevato all’(unico) esponente.
(−3)6 · (+5)6 = [(−3) · (+5)]6 = (−15)6
8
−10
8
8
= (+2)8
(−10) : (−5) =
−5
È utile anche per calcolare le potenze delle frazioni:
4
−
3
2
=
(−4)2
16
=
2
3
9
(d) potenza di una potenza: il risultato è una potenza con la stessa base elevata al
prodotto degli esponenti.
7
(+2)5 = 25·7 = 235
(e) potenze con esponente intero negativo: sono la potenza del reciproco della base elevato all’opposto
dell’esponente.
+1
+2
1
1
1
1
−1
−2
(+2) =
=
(3) =
=
2
2
3
9
+1
−3 +3
1
1
2
5
125
=−
=
=
(−3)−1 = −
3
3
5
2
8
−2 +2
−1 +1
3
4
16
2
3
3
−
= −
=+
−
= −
=−
4
3
9
3
2
2
Adesso svolgi i seguenti calcoli, utilizzando tutte le proprietà delle potenze che conosci ed eventualmente svolgendo la potenza solo alla fine (nelle espressioni), altrimenti lascia finché è possibile la
potenza in forma compatta.
(−3)2 =
73 · 7 =
(−5)−1 · (−5)−2 =
(+4)2 : (+4)2 =
(−5)−2 =
(+4)3 =
(−5)−3 · (−5)+3 =
73 : 72 =
3
[(−5)−1 ] =
4 " 3 #3
12
−3 8
1
1
1
·
=
: (2)
−
2
2
2
" #2 " #3 9
4
5
3
2
5
5
5
5
3
·
:
·
−
=
4
4
4
4
4
(−5)−1 =
(+4)3 · (+4)2 =
(−5)5 : (−5)2 =
1 −1 −2
(2)
=
3
1
+
20 5
1
1
1
1
1 1
3
·
+
+
−
:
−
− =
2 13
3 12
2 4
8
1 1
3 47
9
1+ +
·
−
+
: (2)−1 =
2 5
2 34
5
31
1 3
6
2
− 3−
+ −
−
=
10
5 2
4 10