Esercizi sulle serie di potenze

Esercizi sulle serie di potenze
Esercizio 1 Determinare il raggio e l’insieme di convergenza di ciascuna
delle seguenti serie di potenze.
(a)
+∞
X
2k + 2
(x − 3)k ,
(2k + 2)!
(b)
k=0
(c)
+∞
X
2
k−2 log2 k k
x ,
+∞
X
k=0
+∞
X
(d)
(k + 6)2 (x + 2)k ,
k=1
k!(x − 1)k ,
(e)
k=1
+∞ X
3k − 2 k
k=0
k+1
xk .
Esercizio 2 Determinare l’insieme diP
convergenza delle seguenti serie dopo
averle ricondotte alla forma canonica k ak (y −y0 )k con un opportuno cambio di variabile.
(a)
+∞
X
(−1)k+1
k=0
(c)
+∞
X
k=0
k2 + 1
(−1)k
(2x − 1)2k+1 ,
k −2 (x2 − 2)k
,
2k
(b)
+∞
X
(−1)k+2
k=1
(d)
+∞
X
(x − 1)3k+1
k=1
8
1
k
2
(k 5
+ 1)
,
k2 + 1
(x − 2)k−1 ,
(k + 3)6k+1
(e)
+∞
X
k=0
(k + 6)2 (sin x)k .