M.C.D. con la scomposizione in fattori primi.

Minimo Comune Multiplo-Massimo Comun Divisore con la scomposizione i fattori primi.
Esempio 1.
Ogni 8 giorni visito la nonna Teresa, mentre ogni 6 giorni sono ospite di mio cugino Mario.
Sapendo che oggi ho visitato entrambi, quando capiterà la prossima volta?
Soluzione:
Chiaramente è un problema di m.c.m. dunque …………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
} ; M6 = {
M8 = {
M 8 ∩ M6 {
}
} = M……….
Per risolvere questo tipo di problemi possiamo anche utilizzare la scomposizione in fattori,
nel seguente modo:
8 = ………………………………….................. ; 6 = ………………………………….................. ;
Da quali fattori sarà composto il multiplo più piccolo?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Dunque l’m.c.m. (6;8) =…………………………………………………………………………………………………………………..
Esempio 2.
Dalla stazione di Lugano ogni 48 min parte un treno per Agno mentre ogni 60 min parte un
treno per Chiasso. Sapendo che 09.00 partono contemporaneamente tutti e due i treni,
tra quanti minuti capiterà la stessa situazione?
Soluzione:
Chiaramente è un problema di m.c.m. dunque …………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
} ; M60 = {
M48 = {
M48 ∩ M60 {
}
} = M……….
Per risolvere questo tipo di problemi possiamo anche utilizzare la scomposizione in fattori,
nel seguente modo:
48 = ………………………………….................. ; 60 = ………………………………….................. ;
Da quali fattori sarà composto il multiplo più piccolo?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Dunque l’m.c.m. (48;60) =…………………………………………………………………………………………………………………..
Regola per calcolare l’m.c.m con la scomposizione in fattori:
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
1
Esempio 3.
Ho 8 rose e 6 gigli, voglio confezionare il maggior numero di mazzetti uguali tra di loro,
aventi il maggior numero di fiori d’ogni qualità. Quale sarà la composizione d’ogni mazzo di
fiori?
Soluzione:
Chiaramente è un problema di M.C.D. dunque …………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
} ; D6 = {
}
D8 = {
} = D……….
D8 ∩ D6 {
Per risolvere questo tipo di problemi possiamo anche utilizzare la scomposizione in fattori,
nel seguente modo:
8 = ………………………………….................. ; 6 = ………………………………….................. ;
Da quali fattori sarà composto il divisore più piccolo?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Dunque l’M.C.D. (6;8) =…………………………………………………………………………………………………………………..
Esempio 4.
E’ necessario recintare un terreno di forma triangolare con i lati lunghi 42 m, 48 m e 60
m. Per far ciò dovranno essere sistemati dei pali di sostegno della recinzione, tutti alla
stessa massima distanza tra loro, facendo in modo che ci sia un palo in ogni vertice. A
quale distanza andranno piantati i pali? Quanti pali occorreranno?
Soluzione:
Chiaramente è un problema di M.C.D, dunque …………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
}; 𝐷48 = {
𝐷42 = {
𝐷60 = {
𝐷42 ∩ 𝐷48 ∩ 𝐷60 = {
}
}
} = 𝐷……….
Dunque l’ M.C.M ( 42; 48;60) = ………….
Per risolvere questo tipo di problemi possiamo anche utilizzare la scomposizione in fattori,
nel seguente modo:
42 = …………………………… ; 48 = ……………………………………….………; 60 = ……………………………………….……… ;
Da quali fattori sarà composto il divisore più piccolo?
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Dunque l’M.C.D. (42; 48; 60) =…………………………………………………………………………………………………………..
Regola per calcolare l’M.C.D con la scomposizione in fattori:
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2
Esercizi
1) Utilizzando la scomposizioni in fattori primi determina mcm e MCD nei seguenti
casi.
a) MCD (10; 15)
[5]
mcm (10; 15)
[30]
b) MCD (15; 45)
[15]
mcm (15; 45)
[45]
c) MCD (26; 39)
[13]
mcm (84; 105)
[420]
d) MCD (68; 85)
[17]
mcm (49; 70)
[490]
e) MCD (12; 35)
[1]
mcm (48; 36)
[144]
f) MCD (255; 306; 408)
[51]
mcm (255; 306; 408)
[6120]
g) MCD (325; 1690; 260)
[65]
mcm (325; 1690; 260)
[16900]
Problemi da risolvere con mcm o MCD.
2) Giovanni, il fiorista, ha 24 rose, 60 tulipani e 84 camelie. Quanti mazzetti uguali tra
loro potrà fare e quale sarà la loro composizione?
[12;2; 5 e 7]
3) Due aerei partono contemporaneamente dall’aeroporto di Lugano - Agno e vi
ritorneranno dopo aver percorso le loro rotte: il primo ogni 12 giorni e il secondo ogni
14 giorni. Dopo quanti giorni i due aerei si troveranno di nuovo insieme a Lugano - Agno?
[84]
4) Giacomo, il cartolaio, ha 28 pennarelli, 70 matite e 84 quaderni. Quante confezioni
uguali potrà fare e quale sarà la loro composizione?
[14; 2, 5 e 6]
5) Due hostess partono dallo stesso aeroporto e vi ripassano rispettivamente ogni 35 e
ogni 25 giorni. A quando il prossimo incontro?
[175]
6) Due amiche, Anna e Bea, durante una gara di resistenza passano rispettivamente ogni
26 e ogni 39 minuti al traguardo. A quando il prossimo loro incontro rimanendo le
velocità costanti?
[1h 18m]
7) I fratelli gemelli, Giacomo e Giovanni, partono contemporaneamente su di un velodromo
e compiono un giro rispettivamente in 22 secondi e in 33 secondi. Se la gara durerà 30
minuti e i tempi restano costanti, dopo quanto i due si ritroveranno sulla linea di
arrivo?
[66]
8) Giovanni deve recintare l’orto dello zio Giuseppe, detto Bepi, con degli alberi che
risultino equidistanti tra loro. I lati dell’orto sono lunghi rispettivamente 124 m, 220
m, 44 m e 204 m. Gli alberi devono essere posti alla massima distanza e uno per ogni
angolo dell’orto. Calcola quanti alberi occorrono e quanto deve spendere se ogni albero
costa 75,00 CHF.
[11.100]
3
9) Alberto e Maria hanno un vassoio di caramelle miste sempre disponibili per gli ospiti.
Alberto, avendo 60 caramelle alla menta, 48 caramelle al miele e 36 caramelle all’anice,
quante persone potrebbero soddisfare dando a ognuno una scelta massima di caramelle
uguali?
[12; 5, 4 e 3]
10) Pierpaolo ha da sempre, che io ricordi, la passione per la fotografia. Dovresti aiutarlo
a disporre le fotografie che ha classificato in 3 diversi gruppi, paesaggi 84 fotografie,
persone 72 fotografie e 24 monumenti ticinesi, nel maggior numero di raccoglitori
possibile per fare dei regali ma in modo che questi abbiano lo stesso numero di
soggetti.
[12; 7, 6 e 2]
Calcola il valore delle seguenti espressioni nell’insieme dei numeri naturali
11) 17 + [13 + (2 + 8) + (21 - 9)] =
[52]
12) (10 - 2) – [(15 + 12 - 17) – (26 + 10 + 5 - 33)] =
[6]
13) 35 - 10 + 5 - [35 - (5+ 10 - 5)] - 1=
[4]
14) 6 : 2 + 8 · 4 – (3 + 2 + 1) · 5 =
[ 5]
15) (10 + 1 + 5) : 8 + (80 + 40) : 60 =
[4 ]
16) (34 : 2 + 3 · 3 – 5 · 2 · 2) : 6 - 1 =
[0 ]
17) (7 + 4 + 3) – (8 + 2) + (11 + 6) : 17 =
[ 5]
18) 18 · 6 : 27 - [26 - (81 : 9 · 2 : 3 + 3 · 6)] =
[2 ]
19) [12 + 3 – 11 – 3 + (18 + 7 – 5 + 3 - 9) : 7] + 10 – 2 - 8 =
20) 51 : {12 + 3 · [2 · 18 – 9 · (24 : 6 - 2) : 6] - 60} + 7 =
[3 ]
[ 8]
Svolgi le seguenti operazioni con i numeri sessagesimali.
21) 10° 20’ + 8° 15’ + 8° 15’ =
26° 50’
22) 30’ 32’’ + 40° 48” + 10° 51’ =
51° 22’ 20”
23) 47° 35’ 32” – 17° 14’ 42” =
30° 20’ 50”
24) 45° 50’ 39” – 27° 19’ 46” =
18° 30’ 53”
25) 7° 24’ 11” · 4 =
29° 36’ 44”
26) 227° 38’ 24” : 3 =
75° 52’ 48”
4