Integrali ellittici Lezione pubblica tenuta presso il Dipartimento di

Integrali ellittici
Lezione pubblica tenuta presso
il Dipartimento di Matematica F. Enriques
dell’Università degli Studi di Milano
Mark Andrea A. de Cataldo∗
1 Giugno 2006
Il testo di questa lezione è disponibile sul sito
http://www.math.sunysb.edu/∼mde/papers/integraliellittici.pdf
La struttura di questa lezione è ispirata in gran parte dal trattato di Siegel [9].
∗
Partially supported by N.S.F. Grants DMS 0202321 and 0501020
1
Contents
1 Gli integrali ellittici: loro importanza
3
2 La lemniscata e le formule di addizione di Eulero
2.1 L’arco di lemniscata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 La formula di duplicazione di Fagnano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Formule di addizione per gli integrali lemniscatici ed ellittici di prima specie
4
4
5
6
3 Le formule di addizione per le funzioni trigonometriche
3.1 Le formule di addizione per sin x . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Interpretazione geometrica e funzionale . . . . . . . . . .
3.3 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Riassunto per le funzioni arcsin e sin . . . . . . . . . . . .
3.5 Riassunto per gli integrali ellittici . . . . . . . . . . . . . .
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7
8
8
9
9
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11
12
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14
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4 Le curve ellittiche
4.1 La forma normale di una curva ellittica C . . . . . . . . . . .
4.2 Il toro associato alla curva ellittica C di equazione y 2 = P (x)
4.3 La struttura di gruppo su C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Il toro associato a C via integrazione . . . . . . . . . . . . . .
4.5 La funzione P di Weierstrass: C/Λ ' C . . . . . . . . . . . . .
4.6 La funzione inversa σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Digressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Il Teorema di Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Derivazione geometrica dele formule di
5.1 Le formule di addizione per P . . . . . .
5.2 Le formule di addizione di Eulero per gli
5.3 Gli integrali lemniscatici . . . . . . . . .
2
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addizione
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
integrali ellittici . . . . . . . . . . 21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
Gli integrali ellittici: loro importanza
Sia P (x) un polinomio di grado 3 o 4 senza radici ripetute.
Gli integrali della forma
Z
x
s(x) :=
a
p
A(t) + B(t) P (t)
p
dt,
C(t) + D(t) P (t)
con A, B, C, e D polinomi, sono detti integrali ellittici.
Gli integrali ellittici sono funzioni trascendenti non elementari, i.e. non si possono
ottenere a partire da funzioni razionali via le operazioni
+, −, ×, : , exp, log .
La terminologia proviene dal fatto che l’arco di un’ ellisse in forma canonica si esprime
mediante un integrale funzione dell’ascissa x della forma
Z x√
1 − k 2 t2
√
s(x) =
dt.
1 − t2
0
Tale integrale si riconduce ad uno ellittico e, nella classificazione di Legendre, è detto
ellittico di seconda specie (cf. [1]).
Lo studio di questi integrali, ha portato grandi matematici come
Eulero, Legendre, Liouville, Abel, Jacobi, Riemann, Weierstrass . . .
a scoperte fondamentali.
Uno degli aspetti più profondi ed interessanti di queste scoperte è che in questi studi
l’interesse si sposta dai valori espliciti degli integrali s(x) verso lo studio delle
proprietà funzionali e geometriche delle funzioni di variabile complessa s(x)
e delle loro inverse.
3
2
La lemniscata e le formule di addizione di Eulero
La lunghezza di un arco di curva, grafico di una funzione y = f (x) su [a, x] è
Z
xq
1 + [f 0 (t)]2 dt.
a
Per la circonferenza di raggio 1, y =
√
1 − x2 , si ha
Z
x
√
0
1
dt
1 − t2
che si integra elementarmente mediante la sostituzione
t =
2.1
2τ
,
1 + τ2
√
dt
2dτ
=
.
2
1
+τ
1−t
L’arco di lemniscata
La curva reale piana di equazione
(x2 + y 2 )2 = x2 − y 2
è detta lemniscata.
La curva somiglia al simbolo ∞ centrato nell’origine degli assi del piano (cf. [4], [9]).
Usando la parametrizzazione in coordinate polari (r, θ) :
2x2 = r2 + r4 ,
2y 2 = r2 − r4 ,
r =
q
x2 + y 2 ,
si ottiene che l’arco di lemniscata dall’origine O al punto P con |P O| = r si esprime
mediante l’integrale ellittico
Z
r
√
s(r) =
0
4
1
dt.
1 − t4
2.2
La formula di duplicazione di Fagnano
Nel 1718 Fagnano scopre una formula per la duplicazione dell’arco della lemniscata.
Osservata la similarità con l’integrale per l’arco di cerchio e tenuto conto della sostituzione
dt
2τ
2τ
√
t =
,
=
2
1 + τ2
1
+τ
1−t
che lo razionalizza, egli propone la sostituzione analoga
2τ 2
,
1 + τ4
t2 =
√
√
dt
dτ
= 2√
.
4
1−t
1 + τ4
Ciò porta alla relazione
Z
0
r
√
√ Z ρ
1
1
√
dt = 2
dτ ,
4
1−t
1 + τ4
0
r2 =
2ρ2
.
1 + ρ4
Questo procedimento non porta alla razionalizzazione dell’integranda.
Il punto, però, è che ripetendo questo procedimento con la sostituzione
τ2 =
si ottiene
Z
0
r
2ν 2
1 − ν4
1
√
dt = 2
1 − t4
u
Z
√
0
1
dν,
1 − ν4
cioè:
s(r) = 2s(u),
con
r2 =
4u2 (1 − u4 )
.
(1 + u4 )2
Fagnano ottiene dunque un metodo per duplicare (e dimezzare) l’arco di lemniscata s(u) usando riga e compasso.
Si tenga presente che fino alla fine del ’700, il problema dell’integrazione era prettamente di natura geometrica:
in quei tempi un’interpretazione geometrica chiara di un certo integrale costituiva una soluzione del problema d’integrazione.
5
2.3
Formule di addizione per gli integrali lemniscatici ed ellittici di
prima specie
Nel 1753 Eulero generalizza la formula di duplicazione di Fagnano e scopre la formula di
addizione per le lemniscate
Z
u
0
√
dt
+
1 − t4
Z
v
√
0
dt
=
1 − t4
i.e.
s(u) + s(v) = s(r)
Z
0
r
√
dt
,
1 − t4
√
√
u 1 − v 4 + v 1 − u4
,
r =
1 + u2 v 2
con
i.e.
due archi lemniscatici possono essere sommati usando metodi geometrici elementari.
Studiando gli integrali
Z
s(r) :=
0
r
dt
,
P (t)
p
Eulero perviene alla formula di addizione
p
s(u) + s(v) = s(r),
p
u P (v) + v P (u)
r =
.
1 + u2 v 2
Riassumendo:
Eulero dimostra le formule di addizione per i cosidetti integrali ellittici di prima specie.
La dimostrazione di Eulero, benché elegante, non fornisce una spiegazione concettuale
delle formule di addizione.
Domanda: è possibile che uno studio degli integrali ellittici come funzioni sul
loro dominio completo di definizione porti ad una dimostrazione concettuale
delle formule di addizione?
Risposta : sı̀: le formule di addizione per gli integrali ellittici esprimono una
proprietà geometrica della curva algebrica complessa y 2 = P (x) : tale curva
ammette una struttura di gruppo e le formule di addizione riflettono la legge
di composizione gruppale.
Per arrivare a questa spiegazione è necessario considerare la variabile d’integrazione
come variabile complessa.
6
3
Le formule di addizione per le funzioni trigonometriche
La sostituzione
t =
2τ
,
1 + τ2
√
dt
2dτ
.
=
2
1+τ
1−t
razionalizza l’integrale
1
dt
1 − t2
in questione, che si integra dunque elementarmente, nel senso del teorema di Liouville
(1835) (cf. [6]). E comunque è arcsin .
Z
√
Dunque, quanto segue non è logicamente necessario per una comprensione delle formule di addizione trigonometriche, ma è un esempio semplice di come si possa meglio
comprendere una formula integrale, al di là della sua dimostrazione, quando essa venga
interpretata in termini di legami funzionali associati alle funzioni inverse delle funzioni
integrali.
3.1
Le formule di addizione per sin x
Dato un angolo espresso in radianti, sia r il seno di questo angolo.
La funzione arcsin r è data integrando l’elemento d’arco del cerchio:
r
Z
√
arcsin r = s(r) : =
0
1
dt.
1 − t2
Posto
p
r = 2u 1 − u2 ,
e integrando per sostituzione si ha la formula di duplicazione dell’arco
r
Z
√
0
1
dt = 2
1 − t2
Z
0
u
√
1
dt.
1 − t2
Dunque,
arcsin r = 2 arcsin u
ovvero
r = sin 2 arcsin u.
Posto
u = sin x,
si ha
p
2u 1 − u2 = 2 sin x cos x
e dunque si dimostra la formula di duplicazione.
2 sin x cos x =
p
2u 1 − u2 = r = sin (2(arcsin u)) =
sin (2x) .
La formula per sin (x + y) si dimostra in maniera analoga con le sostituzioni
u = sin x,
v = sin y,
p
p
u 1 − v 2 + v 1 − u2 = sin (x + y).
7
3.2
Interpretazione geometrica e funzionale
Dato un angolo x sul cerchio unitario si ha u = sin x.
L’angolo si duplica immediatamente col compasso.
Le formule di addizione per la funzione seno permettono una costruzione alternativa
di questa semplice operazione di raddoppiamento dell’arco:
l’arco 2x ha seno r che è tracciabile a partire da u usando riga e compasso
p
r = 2u 1 − u2 .
Supponiamo di non sapere nulla della funzione s(r) = arcsin r.
La formule di duplicazione (e di addizione) esprime una proprietà funzionale della funzione inversa r(s) della funzione s(r) :
q
r(2s) = 2r(s) 1 − [r(s)]2 .
3.3
La funzione esponenziale
√
La sostituzione r = 2u 1 − u2 , che in fondo pare fortuita, permette di dimostrare la
formula per la duplicazione dell’arco. Ma non la “spiega.”
D’altra parte, la formula di Eulero
eix = cos x + i sin x,
e le proprietà dell’ esponenziale
ei(x+y) = eix eiy
danno una spiegazione concettuale delle formule di addizione per le funzioni trigonometriche.
Si notino le periodicità:
ez = ez+2πi ,
sin z = sin (z + 2π)
ed il fatto che si ottengano funzioni olomorfe definite su C/Z2πi ' C∗ che è un gruppo.
8
3.4
Riassunto per le funzioni arcsin e sin
• La funzione arcsin è polidroma sul suo dominio di definizione.
• La funzione inversa sin è periodica, con periodo 2π.
• Vista la formula di Eulero eiθ = cos θ + i sin θ :
le formule di addizione per le funzioni trigonometriche esprimono la proprietà moltiplicativa della funzione esponenziale.
3.5
Riassunto per gli integrali ellittici
Le proprietà dell’integrale ellittico
x
Z
s(x) =
a
dt
P (t)
p
sono in un certo senso analoghe a quelle della funzione elementare
Z
arcsin x =
0
x
√
dt
.
1 − t2
• La funzione s(x) è localmente invertibile, ma polidroma.
• Il prolungamento analitico σ della funzione inversa di s è meromorfo e doppiamente
periodico.
Mediante la geometria analitica si associa all’integrale ellittico una curva algebrica C
dotata di una struttura di gruppo abeliano.
• Il Teorema di Abel per le funzioni meromorfe doppiamente periodiche implica:
le formule di addizione di Eulero per gli integrali ellittici di prima specie
esprimono le leggi di composizione del gruppo C.
9
4
Le curve ellittiche
Se P (x) ha grado 4 ci si riconduce a grado 3 portando una radice all’infinito.
L’equazione
y 2 = P (x)
è l’equazione affine di una curva algebrica liscia di grado 3 nel piano proiettivo complesso
C ⊆ CP2 .
La curva C è l’oggetto geometrico che diviene il protagonista dello studio degli integrali
ellittici ed è perciò detta ellittica.
Si vedano [2], [3], [9], [8].
4.1
La forma normale di una curva ellittica C
L’equazione affine di C nel piano proiettivo può essere ricondotta alle cosidette:
y 2 = 4x3 − g2 x − g3
y 2 = x(x − 1)(x − l),
forma normale di Weierstrass,
forma normale di Legendre.
Due esempi:
y 2 = x3 − x (due componenti reali),
y 2 = x3 − x + 1 (una componente reale).
10
Il toro associato alla curva ellittica C di equazione y 2 = P (x)
4.2
C è il “grafico” di una funzione polidroma di variabile complessa:
C è la superficie di Riemann di y =
p
P (x).
C riveste 2 : 1 la sfera di Riemann
2:1
π : C −→ asse delle x (= CP1 = S 2 sfera di Riemann)
(x, y) −→ x;
{0, 1, l, ∞} ∈ S 2 sono di diramazione.
La curva C può essere vista come l’incollamento “opportuno” di due copie della sfera
lungo due tagli effettuati su ciascuna sfera.
Il risultato di questo incollamento è la superficie di una ciambella.
Si noti che tale superficie si ottiene anche incollando a due a due i lati opposti di un
rettangolo (o parallelogramma).
Una tale superficie è detta toro.
La struttura di gruppo su C
4.3
L’insieme dei punti C, incluso il punto all’infinito Y∞ = (0 : 1 : 0), che è un flesso, ammette
una struttura di gruppo abeliano con identità data da Y∞ (cf. [8], [9], [2]).
Dati P, Q ∈ C, si definisce
P ∗ Q := R0 := riflesso di R, il terzo punto di intersezione retta P Q ∩ C;
la riflessione è rispetto all’asse delle x.
Occorre fare un po’ di attenzione quando P = Q e quando P = Y∞ , ma si verifica, con
la geometria analitica, che si ottiene un gruppo abeliano con P ∗ Y∞ = P, ∀P ∈ C.
Se
P = (x1 , y1 ),
Q = (x2 , y2 ),
allora
x3 =
1
4
y1 − y2
x1 − x2
2
− x1 − x2 ,
P ∗ Q = R0 = (x3 , y3 ),
x
1
det y1
1
x2 x3 y2 y3 = 0.
1 1 Vedremo come
il Teorema di Abel traduca le leggi di composizione di gruppo abeliano sulla
curva C nelle formule di addizione per gli integrali ellittici di prima specie.
11
4.4
Il toro associato a C via integrazione
L’integrale
Z
x
s(x) =
a
1
dt
P (t)
p
lungo determinati cammini chiusi di S 2
1
dt
P (t)
I
p
produce dei numeri complessi λ chiamati periodi.
Questi numeri complessi sono, a meno di rinormalizzazione dell’integranda, tutti della
forma
λ = m + nτ,
m, n ∈ Z, τ ∈
/R
e formano un reticolo, il reticolo dei periodi
Λ = {λ ∈ C| λ = m + nτ, m, n ∈ Z} = Z ⊕ Zτ ⊆ C.
Il nome è dovuto all’operazione che li produce e al fatto che la funzione inversa di s(x)
è doppiamente periodica con periodi dati proprio da Λ.
Il toro associato a C via integrazione è definito come il quoziente
C/Λ.
Siccome il reticolo è costituito di parallelogrammi, tale quoziente è una ciambella.
In quanto quoziente del gruppo abeliano (C, +), tale toro ammette la struttura di
gruppo abeliano
(C/Λ, +).
Abbiamo due tori, ciascuno con la sua struttura di gruppo abeliano:
(C, ∗),
(C/Λ, +).
12
4.5
La funzione P di Weierstrass: C/Λ ' C
Dato il reticolo dei periodi Λ ⊆ C :
Λ = Z ⊕ Zτ,
la serie
X
1
1
1
− 2
P(s) := 2 +
2
s
(s − λ)
λ
06=λ∈Λ
definisce una funzione meromorfa e pari della variabile complessa s (cf. [5]).
La funzione P definisce una funzione meromorfa sulla superficie quoziente C/Λ :
P : C/Λ −→ C.
La derivata P0 ha proprietà analoghe.
Le due funzioni P e P0 sono algebricamente dipendenti, e vale
P0
2
= 4P3 − g2 P − g3 .
che è l’equazione di C!
Si ha dunque l’isomorfismo:
s −→ P(s) : P0 (s) : 1 .
W : C/Λ −→ C ⊆ CP2 ,
Il Teorema di Abel implica che si tratta di un isomorfismo di gruppi:
'
W : (C/Λ, +) −→ (C, ∗).
Si ha la formula di addizione per la funzione P :
P(s1 + s2 ) =
1
4
P0 (s1 ) − P0 (s2 )
s1 − s2
13
2
− P(s1 ) − P(s2 ).
4.6
La funzione inversa σ
Nel seguente diagramma commutativo:
• le funzioni tratteggiate s e se sono definite solo localmente vicino ad a e p;
• tutti le funzioni sono olomorfe/meromorfe;
• tutti gli spazi sono superfici: sfera o retta proiettiva complessa, tori, piano complesso.
/ (C, s)
w; M
w w e
s w
quoziente: Λ=Z⊕Zτ ⊆C
w
rivestimento universale
w
w
w
w
J / C/Λ
p∈Co
W Rx
s=
a
σ proiezione su asse x π 2:1 
{
w
t
Cb ' C
Jb
a ∈ S2
J : C → C/Λ (per Jacobi) è definita mediante integrazione ed è un isomorfismo.
W : C/Λ → C (per Weierstrass) è definita usando P e P0 ;
J e W sono isomorfismi e sono l’una l’inversa dell’altra.
s è definita localmente mediante integrazione.
se non è altro che s sollevata su C.
σ è il prolungamento analitico dell’inversa locale di s;
σ è doppiamente periodica.
14
Si definisce una funzione olomorfa in un disco centrato in a ∈ C ⊆ S 2 :
Z
x
s(x) :=
a
1
dt.
P (t)
p
Occorre scegliere la determinazione della radice quadrata.
La scelta individua in modo unico p ∈ C retroimmagine di a, e si ha la funzione olomorfa
su un disco in C di centro p :
Z
se(q) :=
q
p
1
dt.
P (t)
p
Abuso di notazione: l’integranda è su S 2 !
Esercizio (importante e divertente): dimostrare che l’integranda è una forma differenziale olomorfa (senza zeri e senza poli!) ben defnita su C.
La funzione se è definita solo localmente attorno a p ∈ C e non estende ad una
funzione C → C perché polidroma:
• l’integrale dipende dal cammino p → q sulla superficie C;
• i valori degli integrali lungo cappi centrati in p sono i periodi Λ;
• se(q) è ben definito solo modulo Λ.
La dipendenza dal cammino sparisce passando al rivestimento Cb : Jb è una funzione.
Prendendo i valori di Jb modulo Λ, si ha la funzione J : C → C/Λ .
J è un isomorfismo (Teorema di Abel e Teorema di Inversione di Jacobi).
Componendo, si ha la funzione
σ : (C, s) −→ S 2
che è meromorfa e doppiamente periodica ed è il prolungamento analitico
della funzione inversa della funzione locale s cioé dell’integrale ellittico.
15
4.7
Digressione
È difficile resistere alla tentazione di menzionare che
1) Per definizione, una funzione ellittica è una funzione meromorfa su C e doppiamente periodica.
Le funzioni con periodi Λ (reticolo fissato) formano un campo.
È il campo M(C/Λ) delle funzioni meromorfe su C/Λ.
Ogni C dà un C/Λ e viceversa; i due tori sono isomorfi.
Lo studio delle funzioni ellittiche su C è equivalente allo studio delle funzioni
meromorfe sulle curve algebriche di genere uno (i.e. tori).
2) Il campo M(C) delle funzioni meromorfe sulla curva ellittica C è isomorfo all’estensione
quadratica di Galois del campo C(x) delle funzioni razionali sulla sfera di Riemann :
M(C/Λ) ' M(C) '
C(x)[y]
(y 2
− P (x))
.
Il gruppo di Galois dell’estensioni di campi è Z/2Z, e pertanto coincide con il
gruppo di Galois del rivestimento 2 : 1 diramato C → S 2 .
3) La storia continua:
curve algebriche di grado maggiore (ciambelle con più buchi),
varietà di dimensione maggiore,
omologia,
gruppo fondamentale,
sistemi meccanici,
equazioni differenziali,
coomologia,
disco di Poincarè,
equazioni diofantee,
congettura di Mordell (Teorema di Faltings)
forme modulari,
Teorema di Fermat (Wiles) . . .
16
4.8
Il Teorema di Abel
Esprime una proprietà fondamentale delle funzioni meromorfe E sul toro C/Λ.
Siano {ai }, {bj } gli zeri e poli di E su C/Λ, ma visti come numeri complessi.
Siano mi , ed nj le rispettive molteplicità.
Esercizio (di analisi complessa). Usando il Teorema dei Residui e il Principio dell’Argomento
si dimostri il seguente caso speciale del Teorema di Abel (cf. [9]):
X
mi ai −
X
nj bj ∈ Λ.
Per legare il Teorema di Abel alla nostra storia consideriamo una funzione meromorfa
molto particolare:
si prenda la retta all’infinito e la sua equazione u = 0;
si prenda una retta generica L di equazione ax + by + cu = 0;
E(x : y : u) :=
ax + by + cu
u
definisce una funzione meromorfa sulla curva C ⊆ CP2 con
— 1 polo triplo in Y∞ : la retta all’infinito oscula C nel punto di flesso Y∞ .
— 3 zeri semplici nei tre punti di intersezione L ∩ C.
17
Domanda: quale è il significato del Teorema di Abel per E su C?
Risposta: dà la formula di addizione per gli integrali ellittici di prima specie.
Vi sono le seguenti strutture
(C/Λ, +)
(C, ∗)
gruppo abeliano ,
gruppo abeliano ;
le formule di addizione per la funzione P di Weierstrass ,
le formule di addizione di Eulero per gli integrali ellittici di prima specie.
Queste strutture sono tutte legate fra loro tramite il Teorema di Abel!
I due gruppi sono isomorfi.
La legge di composizione dei gruppi diventa la formula di addizione per P e
per gli integrali ellittici di prima specie.
Gli integrali lemniscatici di Fagnano ed Eulero sono un caso particolare.
18
5
Derivazione geometrica dele formule di addizione
Sia dato un integrale ellittico di prima specie
Z
x
s(x) :=
a
1
dt,
P (t)
p
a è un punto fissato dell’asse delle x proiettivo complesso (un S 2 ) in cui si sceglie una
√
determinazione di
e si integra lungo un cammino a → x.
La funzione s(x) è polidroma.
Sia C la curva ellittica di equazione y 2 = P (x).
C è un rivestimento 2 : 1 di S 2 diramato in 4 punti. È un toro.
La geometria analitica del piano definisce il gruppo (C, ∗).
L’integrale s(x) si può pensare su C invece che su S 2 .
Integrando lungo i cammini chiusi di C si ottengono dei valori complessi disposti sul
reticolo dei periodi
Λ = Z ⊕ Zτ ⊆ C, τ ∈
/ R.
(C/Λ, +) è un altro toro ed un gruppo abeliano.
Usando Λ di definisce la P di Weierstrass.
I due tori W : C/Λ ' C via (P(s), P0 (s)).
La funzione s̃ : C → C è, come s, polidroma e localmente invertibile.
La sua inversa (locale) ammette una continuazione analitica σ : C → S 2 meromorfa e
doppiamente periodica con periodi Λ.
19
5.1
Le formule di addizione per P
Le equazioni che esprimono la legge di composizione del gruppo (C, ∗) sono le formule di
addizione per P enunciate in precedenza.
Prendiamo una retta L del piano e siano P, Q, S is tre punti di intersezione con C :
P = (x1 , y1 ),
Q = (x2 , y2 ),
S = (x3 , y3 ).
Via l’isomorfismo W : C/Λ ' C, i punti P, Q, S su C corrispondono a s1 , s2 , s3 ∈ C/Λ :
yi = P0 (si ).
xi = P(si ),
Il Teorema di Abel, applicato alla funzione meromorfa
E =
ax + by + cu
,
u
che ha
3 zeri in s1 , s2 , s3 ed
un polo triplo in 0 (la pre-immagine di Y∞ ∈ C),
dà la relazione seguente :
s1 + s2 + s3 ∈ Λ ⊆ C
e dunque
s1 + s2 = −s3 ,
in C/Λ.
Applicando la funzione pari P :
P(s1 + s2 ) = P(s3 ) = x3
Dalla geometria analitica elementare, cioè dal fatto che i tre punti P, Q, S sono allineati,
si ha:
1 y1 − y2 2
x3 =
− x1 − x2 .
4 x1 − x2
Da cui la formula di addizione per la funzione P :
1
P(s1 + s2 ) =
4
P0 (s1 ) − P0 (s2 )
s1 − s2
20
2
− P(s1 ) − P(s2 ).
5.2
Le formule di addizione di Eulero per gli integrali ellittici
Ricordiamoci il significato della variabile complessa s su C o su C/Λ :
Z
x
s = s(x) =
1
dt.
P (t)
p
a
Si sceglie un punto p su C e sia a la sua ascissa.
Si integra lungo un cammino da p ad un punto variabile q vicino a p, di ascissa x.
Se il punto q è “lontano” si deve considerare la polidromia, e l’integrale è ben definito
solo modulo i periodi Λ che sono proprio gli integrali lungo curve chiuse.
Il Teorema di Abel:
s1 + s2 + s3 = λ ∈ Λ
si può esprimere
Z
x1
∞
1
dt +
P (t)
p
Z
x2
∞
1
dt = −
P (t)
Z
p
x3
∞
1
dt +
P (t)
I
p
1
dt
P (t)
p
dove gli integrali sono definiti sulla curva C, ma calcolati sulla sfera S 2 asse delle x;
è sottinteso che i cammini di integrazione siano stati scelti con cura su C e se ne prenda
la proiezione sulla sfera tenendo conto di quale determinazione della radice vada presa di
conseguenza.
Cambiamo i cammini come segue:
– teniamo i primi due come sono;
– il terzo viene scambiato con la sua immagine speculare rispetto alla involuzione sul
toro sopra la sfera;
– al terzo aggiungiamo il cammino chiuso del quarto integrale.
Tenuto conto del cambio di segno nel terzo integrale e l’assorbimento del quarto nel
terzo, otteniamo le formule di Eulero per gli integrali ellittici di prima specie:
Z
x1
∞
p
1
dt +
P (t)
x3 =
Z
x2
∞
1
4
1
dt =
P (t)
p
y1 − y2
x1 − x2
21
Z
x3
∞
1
dt,
P (t)
p
2
− x1 − x2 .
5.3
Gli integrali lemniscatici
Non resta che verificare che le formule lemniscatiche non sono che un caso particolare!
Basta scegliere
P (x) = 4x3 − 4x.
1
Posto τ = t− 2 , si ha
Z
x
√
∞
Posto
1
dt =
3
4t − 4t
1
r = (x3 )− 2 ,
Z
u
√
0
1
dτ .
1 − τ4
1
u = (x1 )− 2 ,
1
v = (x2 )− 2 ,
si ha, come promesso, la formula di addizione di Eulero per gli integrali lemniscatici
Z
0
u
√
dt
+
1 − t4
Z
0
v
√
dt
=
1 − t4
Z
r
√
0
con
√
√
u 1 − v 4 + v 1 − u4
.
r=
1 + u2 v 2
22
dt
1 − t4
References
[1] http://www.itismeucci.it/html/corradobrogi/II/II-291.htm
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic curve
[3] http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Lemniscate
[5] http://planetmath.org/encyclopedia/WeierstrassPFunction.html
[6] http://riemann.unica.it/attivita/colloquium/greco/index.html
[7] R. Courant, H. Robbins, What is mathematics?
[8] M. Reid, Undegraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press.
[9] C.L. Siegel, Topics in Complex Function Theory, Wiley-Interscience, 1969. Si veda:
Vol.I, pag 1-85.
23