Entrance Examination 1994-95

Entrance Examination 1994-95
Svolgere a scelta uno dei seguenti temi d'esame, discutendo in dettaglio gli esempi concreti richiesti:
1) Un corpo rigido con asse di simmetria (ad esempio un cubo omogeneo) che si muove nell spazio e un
sistema completamente integrabile che ammette un \grosso" gruppo di simmetrie.
Discutere, alla luce di questo esempio, il ruolo delle simmetrie e della completa integrabilia in meccanica.
2) Discutere la classicazione delle equazioni lineari alle derivate parziali del secondo ordine utilizzando gli
esempi classici della sica matematica.
3) Si derivino le espressioni per l'energia media E , l'energia quadratica media E 2 e la uttazione quadratica
media E 2 , (E = E E ) per un sistema (microscopico o macroscopico) in contatto con un bagno termico
a temperatura T . Si applichino i risultati ottenuti al caso dell'oscillatore armonico e al caso di una collezione
di N oscillatori armonici identici. Si discutano i risultati.
4) Si consideri l'operatore:
1 d2 + 1 x2 + sin jxj
H=
2 dx2 2
denito sulle funzioni due volte dierenziabili di R a supporto compatto. e un parametro reale che soddisfa
j j < 1=2.
L'operatore H e chiudibile come operatore su L2(R; dx) e la sua chiusura H e un operatore autoaggiunto.
Dimostrare che lo spettro di H e puntuale, e determinare il comportamento asintotico degli autovalori
n per n grande e la dimensione del sottospazio corrispondente ai primi n autovalori.
Dimostrare inoltre che per sucientemente grande, l'operatore (H + I ) 1 e un operatore di Hilbert{
Schmidt.
Per quali altri valori del numero complesso z l'operatore (H + zI ) 1 e di Hilbert{Schmidt?
Utilizzando la simmetria della funzione sin jxj e possibile estendere i risultati precedenti al caso < 1?.
Facoltativo
Dimostrare l'aermazione fatta qui sopra secondo cui H e chiudibile e che la sua chiusura e un operatore
autoaggiunto.
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Discuss one of the following subjects at your choice, giving a detailed treatment of the concrete examples
involved.
1) A rigid body with a symmetry axix (e.g. a homogeneous cube) moving in space is a completely integrable
system with a large symmetry group.
In this connection, discuss the role of symmetry and complete integrability in Mechanics.
2) Discuss the classication of second order linear partial dierential equations by using the classical examples
of Mathematical Physics.
3) Provide expression for the mean energy E , the mean sqaure energyE2 and the mean square energy
uctuation E 2 , (E = E E ) for a system (microscopic or macroscopic) in contact with a heat bath at
a temperature T . Apply the results to a harmonic oscillator and to a collection of N identical harmonic
oscilllators. Discuss the results.
4) Consider the operator:
1 d2 + 1 x2 + sin jxj
H=
2 dx2 2
dened on twice{dierentiable functions on R with compact support. is a real parameter satisfying
j j < 1=2.
The operator H is closable as an operator in L2 (R; dx)and its closure H is self{adjoint.
Prove that H has only point spectrum and establish the asymptotic behaviour of the eigenvalues n for
large n as well as the dimension of the eigenspace corresponding to the rst n eigenvalues. Prove moreover
that for suciently large, the operator (H + I ) 1 is of Hilbert{Schmidt class.
Which are the other values of the coplex parameter z for which the operator (H + zI ) 1 is Hilbert{
Schmidt?
Using the symmetry of the function sin jxj is it possible to extend the previous results to the case < 1?.
Optional
Prove the above statement about the closability of H and the self{adjointness of H .
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