Indice - Matematiche elementari da un punto di vista superiore

Indice
1 D. Hilbert
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2 Grundlagen Der Geometrie
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3 Bibliograa
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1 D. Hilbert
David Hilbert nacque il 23 gennaio 1862 a Konigsberg, in Prussia (oggi
Kaliningrad, in Russia). Frequentò il ginnasio nella sua città d'origine Konigsberg. Dopo essersi diplomato, entrò all'Università della città dove continuò
a studiare sotto Lindemann per il suo dottorato che ricevette nel 1885, con
una tesi intitolata Uber invariante Eigenschaften specieller binarer Formen,
isbesondere der Kugelfuctionen. Tra gli amici di Hilbert ci fu Minkowski, un
altro studente alla Konigsberg: si sarebbero inuenzati a vicenda nel progresso matematico.
Nel 1884 Hurwitz venne accettato all'Università di Konigsberg e divenne velocemente amico di Hilbert, un'amicizia che costituì un altro fattore
inuente nello sviluppo matematico di Hilbert. Hilbert fu un membro dello
sta alla Konigsberg dal 1886 al 1895, dopo essere stato Docente Privato no
al 1892, poi Professore Straordinario per un anno prima di essere nominato
professore a tutti gli eetti nel 1893.
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Nel 1892 Schwarz andò da Gottingen a Berlino per occupare la cattedra
di Weierstrass e Klein volle orire a Hilbert la cattedra vagante A Gottingen.
Comunque Klein fallì nel convincere i suoi colleghi e la cattedra venne data
a Heinrich Weber. Probabilmente Klein non fu troppo scontento quando Weber se ne andò per una cattedra a Strasburgo tre anni dopo dal momento che
in questa occasione ebbe successo nell'assegnare la cattedra a Hilbert. Così,
nel 1895, Hilbert venne assunto alla cattedra di matematica all'Università di
Gottingen, dove continuò a insegnare per il resto della sua carriera.
La eminente posizione di Hilbert nel mondo dei matematici dopo il 1900
implicò che le altre istituzioni avrebbero voluto convincerlo a lasciare Gottingen e nel 1902, l'Università di Berlino orì a Hilbert la cattedra di Fuchs.
Hilbert la riutò, ma solo dopo aver usato l'oerta per contrattare con Gottingen e convincerle a creare una nuova cattedra per portare il suo amico
Minkowski a Gottingen.
Nel 1893 mentre Hilbert a Konigsberg incominciò un lavoro, Zahlbericht,
sulla teoria algebrica del numero, La Società Matematica Tedesca richiese
questa importante relazione dopo tre anni dalla fondazione della Società nel
1890. Zahlbericht (1897) è una brillante sintesi del lavoro di Kummer, Kronecker e Dedekind ma contiene una grande quantità delle idee personali di
Hilbert. Le idee sull'odierna materia della Teoria del campo delle classi sono
tutte contenuta in quest'opera.
Il lavoro di Hilbert sulla geometria ebbe la più grande inuenza in questo
campo dopo Euclide. Uno studio sistematico degli assiomi della geometria di
Euclide permise a Hilbert di proporre 21 assiomi di questo tipo e analizzò il
loro signicato. Egli pubblicò il Grundlagen der Geometrie nel 1889 ponendo
la geometria in una collocazione assiomatica. Il libro continuò ad apparire in
nuove edizioni e rappresentò la maggior fonte di inuenza nel promuovere il
sistema assiomatico alla matematica che è stato una delle principali caratteristiche della materia attraverso tutto il XX secolo.
I famosi 23 problemi di Parigi di Hilbert sdarono (e ancora oggi sdano) i
matematici a risolvere le questioni fondamentali. Il famoso discorso di Hilbert
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sui Problemi della Matematica vennero deliberati presso il Secondo Congresso Internazionale di Matematici a Parigi. Fu un discorso pieno di ottimismo
per i matematici nel secolo a venire e egli sentì che i problemi aperti rappresentavano il segno di vitalità nella materia.
I problemi di Hilbert contenevano la continua ipotesi, il giusto ordine dei
reali, la congettura di Goldbach, la trascendenza dei poteri dei numeri algebrici, l'ipotesi di Riemann, l'estensione del principio di Dirichlet e molto
ancora. Molti problemi vennero risolti durante il XX secolo, e ogni volta che
un problema venne risolto fu un evento per tutti i matematici.
Oggi il nome di Hilbert è ricordato di più per il concetto dello spazio di
Hilbert. Il lavoro di Hilbert sulle equazioni integrali del 1909 conduce direttamente alla ricerca del XX secolo sull'analisi funzionale (il ramo della
matematica in cui le funzioni sono studiate collettivamente). Questo lavoro
stabilisce anche le basi per lo spazio innito-dimensionale, chiamato in seguito lo spazio di Hilbert, un concetto che è utile nell'analisi matematica e
nelle meccaniche del quanto. Facendo uso di questi risultati nelle equazioni
integrali, Hilbert contribuì allo sviluppo della sica matematica, secondo le
sue importanti monograe sulla teoria cinetica dei gas e sulla teoria delle
radiazioni.
Molti hanno rivendicato il fatto che nel 1915 Hilbert scoprì la corretta equazione di campo per la relatività generale prima di Einstein, ma non ne richiese mai la priorità. Hilbert pose sotto giudizio l'articolo il 20 Novembre
1915, cinque giorni prima che Einstein ponesse sotto giudizio il suo articolo
sulla corretta equazione di campo. L'articolo di Einstein apparve il 2 dicembre 1915 ma le prove del lavoro di Hilbert (datate 6 Dicembre 1915) non
contengono le equazioni di campo.
Nel 1934 e nel 1939 vennero pubblicati due volumi del Grundlagen der Mathematik dove progettò di convenire a una teoria della prova, u diretto controllo
della consistenza della matematica. Il lavoro di Godel del 1931 mostrò che
questo scopo era impossibile.
Hilbert contribuì a molti rami della matematica, includendo le invarianti,
i campi del numero algebrico, le anali funzionali, le equazioni integrali, la
sica matematica e il calcolo delle variazioni.
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2 Grundlagen Der Geometrie
Hilbert portò un'innovazione nel metodo assiomatico: il metodo assiomatico è stato usato in matematica come in altri ambiti n dall'antichità, come
si può vedere negli Elementi di Euclide.
Tale metodo consiste nel dimostrare la verità di certe proposizioni riducendola alla verità di altre pressate, considerate evidenti.
Fino a ne XIX secolo, questa visione degli assiomi come proposizioni evidentemente vere persiste, ma nell'800 si comprende che negando il V Postulato
non si ottiene alcuna contraddizione, se si modica anche l'interpretazione di
punti e rette.
Nasce quindi una coscienza della dipendenza tra nozione di verità e interpretazione dei concetti coinvolti, e a tal proposito si inserisce nel 1899 la
pubblicazione dei Grundlagen Der Geometrie di Hilbert.
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In quest'opera viene dato alla geometria un assetto puramente formale e assiomatico: viene introdotto un sistema di assiomi che permette di recuperare
Euclide, ed inoltre tale sistema diventa un oggetto di studio a sè stante, spostando l'interesse dai teoremi del sistema ai teoremi sul sistema.
Hilbert tiene conto delle critiche mosse agli Elementi di Euclide, principalmente a proposito di:
• denizioni che richiamano nozioni non chiarite
• uso di assiomi non esplicitati
Iniziamo con il mostrare quali fossero gli obiettivi di Hilbert quando iniziò a
dedicarsi allo studio della geometria.
Lo stesso Hilbert li descrive nell'epistolario con Fredge, dicendo:
io sono stato costretto dalla necessità a stabilire il mio sistema di assiomi:
volevo rendere possibile la comprensione di quelle, fra le proposizioni della
geometria, che ritengo essere i risultati più importanti delle indagini geometriche: ossia che l'assioma delle parallele non è conseguenza dei rimanenti
assiomi, che lo stesso vale per l'assioma di Archimede ecc. volevo rispondere alla domanda tendente a stabilire se la proposizione che in due rettangoli
equivalenti e di ugual base sono uguali anche gli altri lati, può venir dimostrata o vada piuttosto assunta come un nuovo postulato, come già fa euclide19.
in generale, volevo stabilire la possibilità di comprendere e dare una risposta
a domande del tipo: perché la somma degli angoli interni di un triangolo vale
due retti? E volevo inoltre chiarire come questo fatto fosse collegato all'assioma delle parallele
.
Ma a parte questo interesse per la geometria piana, il contenuto dell'opera di
Hilbert non si apprezza se non si tiene conto di altre sue preoccupazioni, forse
troppo complicate da esporre in una lettera. Il contesto in cui si collocano le
ricerche di Hilbert è quello in cui la geometria, come abbiamo accennato, era
stata sbalzata dal suo ruolo di regina della matematica, a favore della teoria
dei numeri.
Mentre nell'Ottocento l'Analisi cresceva rigogliosa, la Geometria era piuttosto rivolta su se stessa ad interrogarsi sulla propria funzione e sul proprio
signicato; il ruolo dell'intuizione geometrica era scaduto a livelli minimi di
adabilità; contribuiva alla sua svalutazione lo studio delle funzioni non più
rappresentabili da curve e con patologie dominabili solo con la nuova intuizione insiemistica dell'innito. La geometria rientrava nella matematica pura
solo grazie all'analitica, quindi la sua legittimità e giusticazione dipendevano da quelle dei numeri.
Le ambizioni di Hilbert erano dunque:
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1. (ri)dare alla geometria uno status e una legittimazione autonoma, indipendente dal numero.
2. chiarire il ruolo degli assiomi di continuità in geometria.
Hilbert credeva fermamente che il modo corretto di sviluppare rigorosamente ogni teoria scientica richiedesse un approccio assiomatico. Fornendo una
trattazione assiomatica la teoria verrebbe sviluppata in modo indipendente
dall'intuizione e ciò avrebbe facilitato l'analisi delle relazioni logiche tra i
concetti basilari e gli assiomi.
In tal senso, tenendo conto delle scoperte delle nuove geometrie non euclidee e del dibattito degli elementi, Hilbert vuole stabilire per la geometria un
sistema d'assiomi completo e semplice quanto più possibile, e di dedurre le
proposizioni più importanti.
C'è una dierenza sostanziale tra gli assiomi di Hilbert e quelli di Euclide:
i primi infatti non sono verità evidenti, ma denizioni implicite dei termini
primitivi che essi contengono.
Praticamente le dimostrazioni fatte da Hilbert erano fatte in modo tale che
esse non stabilissero la verità delle conclusioni, ma il fatto che, data una
qualunque interpretazione che renda veri gli assiomi della teoria, questa deve
anche rendere vera la conclusione.
Questo fatto è reso chiaro da una celebre aermazione di Hilbert: Si deve
poter dire al posto di punti, rette e piani, tavoli, sedie e boccali di birra.
I Grundlagen iniziano con una frase di Kant:
Ogni conoscenza umana parte
, e Hilbert chiarisce subito il fatto che la sua visione sia totalmente opposta a questa.
La visione della matematica che emerge da quest'opera è quella del se... allora: la matematica consiste nell'esplorazione delle conseguenze logiche di certe
assunzioni.
Un'altra dierenza tra metodo assiomatico antico e quello dei Grundlagen è
che, mentre Euclide pensa sempre alle gure da studiarsi come costruite,
l'assiomatica contemporanea procede dall'idea di un sistema di oggetti pressato, cioè piani, punti e rette sono elementi di insiemi dati.
da intuizioni, procede attraverso concetti e culmina in idee
Precisiamo che il vocabolo spiegazione, che Hilbert premette a certi periodi
del suo discorso, sta per nomenclatura nel senso che, in tali periodi, vengono
introdotti gli enti primitivi e le successive denizioni e locuzioni.
Spiegazione. - Consideriamo tre diversi insiemi di oggetti: chiameremo pun-
ti gli oggetti del primo insieme e li indicheremo con A,B, C, ...; chiameremo
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rette gli oggetti del secondo insieme e li indicheremo con a, b, c, ...; chiameremo piani gli oggetti del terzo insieme e li indicheremo con
α, β , γ
...;
i punti verranno anche detti gli elementi della geometria della retta, i punti
e le rette gli elementi della geometria piana, i punti, le rette ed i piani gli
elementi della geometria solida o dello spazio.
Noi considereremo punti, rette e piani in certe relazioni reciproche ed indicheremo queste relazioni con parole come giacere, fra, congruente; la descrizione
esatta e completa, ai ni matematici, di queste relazioni segue dagli assiomi
della geometria.
Con quest'ultimo periodo Hilbert ribadisce la sua posizione concettuale: la
descrizione matematica dei concetti geometrici viene data, direttamente o
indirettamente, soltanto attraverso gli assiomi e non facendo leva sull'intuizione, sull'esperienza, su idee innate, ecc. L'intuizione può semplicemente
aiutarci nella scelta degli assiomi.
Ci sono anche tre relazioni binarie primitive:
Contiene : un punto puo essere contenuto in una retta o in un piano, ed una
retta puo essere contenuta in un piano;
Stare in mezzo : un punto puo stare in mezzo ad altri due;
Congruenza : angoli e segmenti possono essere congruenti.
Il segmento fra due punti A e B e denito come la porzione di retta compresa
tra i punti A e B (inclusi A e B).
Diciamo che dei punti sono allineati se sono contenuti in una retta, complanari se sono contenuti in un piano.
Possiamo suddividere gli assiomi della geometria in cinque gruppi:
1. 1-8 assiomi di collegamento,
2. 1-4 assiomi di ordinamento,
3. 1-5 assiomi di congruenza,
4. assioma delle parallele,
5. 1-2 assiomi di continuità.
1. Assiomi di collegamento
Gli assiomi di collegamento regolano la relazione di appartenenza tra gli oggetti primitivi, e vengono da molti indicati come denizioni implicite dei
termini primitivi.
Gli assiomi di questo gruppo stabiliscono un collegamento tra gli oggetti sopra introdotti: punti, rette e piani.
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I primi tre possono essere chiamati gli assiomi piani del gruppo 1, mentre i
rimanenti assiomi possono essere chiamati assiomi spaziali del gruppo 1.
Degli assiomi della geometria piana fanno parte solo gli elementi dei primi
due sistemi (i punti e le rette).
Dopo aver introdotto i primi otto assiomi, Hilbert enuncia, senza dimostrarli, due teoremi. Infatti, nei Fondamenti della Geometria vengono dimostrate
solo certe proposizioni che non gurano negli usuali trattati, e questo proprio
perchè l'opera di Hilbert, a dierenza degli Elementi di Euclide, non si propone di insegnare la geometria, ma solo di dare una sistemazione logica alla
materia. Anche lo stile espositivo, estremamente attento e schematico, privo
di ogni concessione a ricercatezze formali, conferma questo atteggiamento.
2. Assiomi di ordinamento
Gli assiomi di questo gruppo deniscono il concetto fra e rendono possibile,
sulla base di questo concetto, l'ordinamento dei punti su una retta, in un
piano e nello spazio.
Hilbert evita di parlare dei due possibili ordinamenti sulla retta r e a questo
scopo, coinvolge sempre nei suoi assiomi d'ordine tre punti il che lo porta ad
una caratterizzazione più complessa.
2.1 Se un punto B giace fra un punto A e un punto C, allora A, B,C, sono
tre punti distinti di una retta e B giace pure fra C ed A.
2.2 Per due punti A e C, c'+e sempre almeno un punto B, sulla retta AC,
tale che C giace fra A e B
Spiegazione. - Consideriamo due punti A e B su una retta a; chiamiamo
segmento l'insieme dei due punti A e B e lo indichiamo con AB ovvero con
BA. I punti fra A e B si dicono punti del segmento AB ovvero posti all'interno del segmento AB; i punti A, B si chiamano estremi del segmento AB.
Tutti i punti rimanenti della retta a si dicono posti all'esterno del segmento
AB.
2.3 Di tre punti qualsiasi di una retta ce nfe al massimo uno che giace fra gli
altri due.
2.4 (Detto anche assioma di Pasch) Siano A, B, C tre punti non allineati
ed a una retta del piano ABC che non passi per alcuno dei punti A, B, C: allora, se la retta a passa per un punto del segmento AB, essa passa certamente
anche per un punto del segmento AC ovvero per un punto del segmento BC.
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Gli assiomi 2.1-3 sono detti assiomi lineari di ordinamento. L'assioma 2.3
ci dice invece che l'ordinamento non è ciclico e l'assioma 2.4, detto assioma
piano di ordinamento, esprime il fatto che se una retta entra all'interno
di un triangolo ne esce pure.
3. Assiomi di congruenza
3.1 Assioma trasporto - Se A, B sono due punti di una retta a ed inoltre
C è un punto sulla stessa retta oppure su un'altra retta a, si può sempre
trovare un punto D, da una data parte della retta a rispetto ad C, tale che il
segmento AB sia congruente, ovvero uguale, al segmento CD.
Dopo aver trattato della congruenza dei segmenti e degli angoli, egli si serve
di questi concetti per introdurre la congruenza di due gure qualunque.
3.2 Se un segmento AB ed un segmento CD sono congruenti ad uno stesso
segmento EF, allora anche il segmento AB e congruente al segmento CD (se
due segmenti sono congruenti ad un terzo, essi sono congruenti fra loro).
3.3 Siano AB e BC due segmenti senza punti in comune su una retta a ed
DE e EF due segmenti sulla stessa retta o su un'altra retta B, sempre senza
punti in comune; allora, se e AB = DE e BC = EF, e pure AC = DF
. Questo assioma esprime la condizione di addizionalità dei segmenti.
Cominciamo a trattare le principali conseguenze degli assiomi di congruenza.
angoli adiacenti: angoli aventi il vertice ed un lato in comune e i due lati non
comuni formanti una retta,
angoli opposti al vertice: due angoli con il vertice in comune tali che i lati
dell'uno formino rispettivamente con i lati dell'altro delle rette.
4. Assioma delle parallele
Questo gruppo è costituito dall'unico assioma euclideo delle parallele. Hilbert
propone la sua:
Spiegazione. - Chiamiamo rette parallele due rette se stanno in un piano e
non si intersecano .
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2.1 Assioma (Euclideo).
Sia r una qualsiasi retta e P un punto non appar-
tenente ad essa : allora nel piano
α
denito da P e da r , esiste al massimo
una retta passante per P e non appartenente ad r.
Postulato delle parallele: Se due parallele a, b in un piano non inter-
secano una retta c dello stesso piano, allora non si intersecano tra loro.
L'introduzione dell'assioma delle parallele semplica e facilita la costruzione della geometria in misura molto notevole.
4. Assiomi di continuita
Il quinto gruppo di assiomi e costituito dai due seguenti assiomi:
• assioma della misura o assioma archimedeo
• assioma della completezza lineare
2.2 Assioma (della misura).
Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, c'è
un numero n tale che il trasporto del segmento CD reiterato n volte da A
sulla semiretta passante per B, porta al di là del punto B.
Quindi questo assioma non è suciente a stabilire una corrispondenza
biunivoca tra l'insieme dei numeri reali e ciascun segmento, quale misura
della sua lunghezza.
Occorre dunque:
2.3 Assioma (della continuità).
Il sistema di punti di una retta con le sue
relazioni di ordinamento e congruenza non e suscettibile di un ampliamento
per il quale rimangono inalterate le relazioni sussistenti tra gli elementi precedenti , come pure le proprietà fondamentali di ordinamento e congruenza
che seguono dagli assiomi del primo e terzo gruppo e dal primo assioma del
quinto gruppo.
Un'importante conseguenza dell'assioma di completezza è:
2.4 Teorema (di completezza).
Gli elementi (punti, rette, piani) della geo-
metria, costituiscono un sistema che non è più suscettibile di ampliamento
con punti, rette, piani, conservando gli assiomi di connessione, ordinamento,
congruenza e archimedeo e, quindi, a maggior ragione, conservando tutti gli
assiomi.
Hilbert si propone quindi di dimostrare la non contraddizione di questi
assiomi, e la loro indipendenza.
Per dimostrare la non contraddizione degli assiomi è suciente fornire un
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modello di geometria in cui tutti gli assiomi siano soddisfatti (piano ane
reale).In tal modo la non contraddizione degli assiomi della geometria è ricorndotta alla non contraddizione dell'aritmetica, che è data per scontata.
Il problema dell'indipendenza degli assiomi viene risolto fornendo un modello
di geometria che soddis tutti gli assiomi tranne uno, quello di cui si vuole
dimostrare l'indipendenza.
All'interno dei Grundlagen der geometrie Hilbert sviluppa inoltre delle argomentazioni sopra il Teorema di Desargues che chiariscono il fatto che esso
possa valere o meno in una geometria e che quindi possa servire a una classicazione delle stesse.
Hilbert considera un enunciato che costituisce una variante più forte dell'Assioma 4.
2.5 Assioma (delle parallele con enunciato più forte).
Sia a una quasiasi
retta e A un punto esterno ad a; allora nel piano determinato da a e da A
c'è una e una sola retta che passa per A e non interseca a.
Grazie a ciò nel corso della trattazione giunge a dimostrare una condizione
necessaria e suciente che permette di stabilire quando una geometria del
piano si può immergere nello spazio, mantenendo le sue proprietà.
Inoltre mostra che esistono geometrie in cui non vale il Teorema di Desargues
e che non sono quindi estendibili nello spazio.
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3 Bibliograa
• Umberto Bottazzini: Il auto di Hilbert. Storia della matematica - 2003,
UTET.
• Costance Reid, Hilbert Allen Unwain-Springer,1970
• Martin Davis Il calcolatore universale Adelphi 2003
• John Derbyshire L'ossessione dei numeri primi Bollati Boringhieri 2006
• Marcus du Satoy L'enigma dei numeri primi BUR 2004
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