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Esercizi di Probabilità e Statistica
Samuel Rota Bulò
19 marzo 2007
Spazi di probabilità finiti e uniformi
Esercizio 1 Un’urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna
ne contiene una bianca e due rosse. Si estrae a caso una palla da ciascuna urna.
1. Descrivete uno spazio campionario per questo esperimento.
2. Descrivete il corrispondente spazio degli eventi.
3. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano dello stesso colore?
[2/9]
4. E che siano di colore diverso? [7/9]
Soluzione
1. Lo spazio campionario Ω è caratterizzato da tutte coppie (u, v) dove u ∈
{N1 , N2 , R} è una pallina della prima urna e v = {B, R1 , R2 ) è una pallina
della seconda urna. La sua cardinalità è quindi |Ω| = 9.
2. Lo spazio degli eventi corrisponde all’insieme delle parti di Ω.
3. L’evento A di estrarre palline dello stesso colore corrisponde all’insieme
{(R, R1 ), (R, R2 )} e ha quindi cardinalità 2. A questo punto
P (A) =
|A|
2
=
|Ω|
9
4. L’evento B di estrarre palline di colore diverso è complementare ad A,
quindi
7
P (B) = P (AC ) = 1 − P (A) =
9
Esercizio 2 Da un mazzo di 52 carte se ne sceglie una a caso.
1. Qual è la probabilità di estrarre una figura qualsiasi o una carta di fiori?
[11/26]
2. E di estrarre una figura di fiori? [3/52]
Soluzione
Lo spazio campionario Ω è formato dall’insieme di carte e quindi ha cardinalità 52.
1
1. Sia A l’evento di cardinalità 12 di estrarre una figura qualsiasi e sia B
l’evento di cardinalità 13 di estrarre una carta di fiori. L’evento A ∩ B
corrisponde a figure di fiori e ha cardinalità 3. Quindi
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
|A| + |B| − |A ∩ B|
11
=
|Ω|
26
2. Sia C l’evento di estrarre una figura di fiori che ha cardinalitá 3. Allora
P (C) =
|C|
3
=
|Ω|
52
Esercizio 3 Un mazzo da 40 carte viene distribuito fra 4 giocatori. Fissato un
giocatore, calcolare la probabilità che abbia
1. 4 assi; [0.002298]
2. almeno una carta di denari; [0.9645554]
3. non più di 2 assi. [0.95831]
Soluzione
Lo spazio campionario Ω è caratterizzato da tutte le possibili combinazioni di
10 carte che un giocatore prefissato può ricevere. La cardinalità di tale insieme
è quindi dato dalle combinazioni di classe 10 delle 40 carte
|Ω| = C40,10 =
40!
30! 10!
1. Sia A l’evento di trovare 4 assi assegnati al giocatore prefissato. La cardinalià di A è data da |A| = C4,4 C36,6 . La prima combinazione mi dice
in quanti possibili modi posso formare gruppi da 4 con i 4 assi che ho a
disposizione. La seconda mi dice il numero di combinazioni in cui è possibile ottenere le 6 carte rimanenti tra le 36 restanti. A questo punto la
probabilità è data da
P (A) =
C4,4 C36,6
|A|
=
= 0.002298
|Ω|
C40,10
2. Sia B l’evento di trovare almento una carta di denari. Consideriamo l’evento complementare B C , ovvero non trovare nessuna carta di denari. La
cardinalità di B C è data da |B C | = C30,10 . Quindi
P (B) = 1 − P (B C ) = 1 −
C30,10
= 0.9645554
C40,10
3. Sia D l’evento di non trovare più di 2 assi. Consideriamo l’evento comC
C
plementare
P4 D di trovare più di 2 assi. La cardinalità di D è data da
C
|D | = i=3 C4,i C36,10−i , ovvero lo somma delle possibili combinazioni
di 10 carte in cui ci sono esattamente 3 assi, ed esattamente 4 assi. Il caso
in cui i = 4 lo abbiamo già calcolato al primo punto dell’esercizio.
P (D) = 1 − P (DC ) = 1 −
4
X
C4,i C36,10−i
i=3
2
C40,10
= 0.95831
Esercizio 4 Una moneta viene lanciata 3 volte consecutivamente. Qual è la
probabilità che si presenti
1. esattamente una testa? [3/8]
2. almeno una testa? [7/8]
Soluzione
Lo spazio campionario è dato da tutte le disposizioni con ripetizione di classe
3 di 2 elementi {T, C} e quindi |Ω| = D0 2,3 = 23 = 8.
1. L’evento A di avere esattamente una testa ha cardinalità |A| = C3,1 ovvero
le possibili combinazioni di 1 testa sui 3 lanci. Quindi
P (A) =
|A|
3
C3,1
=
= 0
|Ω|
D 2,3
8
2. Sia B l’evento di avere almeno una testa. L’evento complementare B C
consiste nel non avere mai testa ed è quindi caratterizzato dall’unica
combinazione {C, C, C}. Segue che
P (B) = 1 − P (B C ) =
7
8
Esercizio 5 È noto che in un lotto di 10 lampadine 4 hanno il filamento rotto.
Scegliendo 3 lampadine a caso dal lotto, qual è la probabilità che abbiano tutte
il filamento rotto? [1/30]
Soluzione
Lo spazio campionario è dato dalle possibili scelte di 3 lampadine tra le 10
date e quindi |Ω| = C10,3 . L’evento A di avere le 3 lampadine rotte è formato
da tutti i modi con cui posso scegliere le 3 lampadine tra le 4 rotte e quindi
|A| = C4,3 . Segue che
C4,3
1
|A|
=
=
P (A) =
|Ω|
C10,3
30
Esercizio 6 Un’urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5, delle quali le prime
tre sono nere e le ultime due rosse. Si estraggono con reimmissione 2 palline.
Sia B1 =“prima palla estratta è nera” e B2 =“seconda palla estratta è nera”.
1. Descrivere uno spazio campionario dell’esperimento e mostrare gli eventi
B1 , B2 e B1 ∩ B2
2. Trovare P (B1 ), P (B2 ) e P (B1 ∩ B2 ). [3/5, 3/5, 9/25]
3. Ripetere i due punti precedenti con il campionamento senza reimmissione.
[3/5, 3/5, 3/10]
Soluzione
1. Sia S = {1, . . . , 5} l’insieme delle palline. Lo spazio campionario dell’esperimento è dato dalle coppie (i, j) con i, j ∈ S e quindi ha cardinalità
25. L’evento B1 è l’insieme {(i, j) : i = 1 . . . 3, j ∈ S} e ha cardinalità 15.
L’evento B2 è l’insieme {(j, i) : i = 1 . . . 3, j ∈ S} e ha sempre cardinalità
15. Infine l’evento B1 ∩ B2 è dato dall’insieme {(i, j) : i, j = 1 . . . 3} e ha
cardinalità 9.
3
2. Calcoliamo le probabilità nel caso con reimmissione.
P (B1 ) =
|B1 |
3
=
|Ω|
5
P (B2 ) =
3
|B2 |
=
|Ω|
5
P (B1 ∩ B2 ) =
|B1 ∩ B2 |
9
=
|Ω|
25
3. Consideriamo ora il caso senza reimissione. Lo spazio campionatio è dato
{(i, j) : i, j ∈ S, j 6= i} di cardinalità 20. L’evento B1 è caratterizzato
dall’insieme {(i, j) : i = 1 . . . 3, j ∈ S i 6= j} e ha cardinalità 12. L’evento
B2 è caratterizzato dall’insieme {(j, i) : i = 1 . . . 3, j ∈ S, j 6= i} di
cardinalità 12. Infine l’evento B1 ∩ B2 è dato dall’insieme {(i, j) : i, j =
1 . . . 3, i 6= j} e ha cardinalità 6.
Le probabilità nel caso senza reimissione sono quindi
P (B1 ) =
|B1 |
3
=
|Ω|
5
P (B2 ) =
|B2 |
3
=
|Ω|
5
P (B1 ∩ B2 ) =
|B1 ∩ B2 |
3
=
|Ω|
10
Esercizio 7 Da un’indagine svolta presso una certa scuola è emerso che nel
tempo libero il 10% degli studenti studia musica, il 20% pratica sport, il 5%
studia una lingua straniera. Inoltre il 5% studia musica e pratica anche uno
sport, il 3% studia musica e una lingua straniera, il 2% studia una lingua e
fa sport e l’1% fa tutte tre le cose. Scegliendo a caso uno studente, qual è la
probabilità che
1. pratichi solo sport? [0.14]
2. studi musica e una lingua ma non pratichi nessuno sport? [0.02]
Soluzione
Indichiamo con S, M, L rispettivamente l’insieme di studenti che fanno sport,
studiano musica e lingua straniera.
1. L’insieme di studenti che praticano sport può essere decomposto in
S = A ∪ (S ∩ M ) ∪ (S ∩ L)
dove A è l’insieme di studenti che praticano solo sport. Passando alle
probabilità
P (S) = P (A) + P (S ∩ M ) + P (S ∩ L) − P (S ∩ M ∩ L)
da cui
P (A) = P (S) − P (S ∩ M ) − P (S ∩ L) + P (S ∩ M ∩ L) = 0.14
4
2. L’insieme di studenti che studiano musica e lingua straniera è dato da
M ∩ L = B ∪ (S ∩ M ∩ L)
dove B è l’insieme di studenti che studiano musica e lingue ma non
praticano sport. Passando alle probabilità
P (M ∩ L) = P (B) + P (S ∩ M ∩ L)
da cui
P (B) = P (M ∩ L) − P (S ∩ M ∩ L) = 0.02
Esercizio 8 Si lanciano due dadi bilanciati. Qual è la probabilità che
1. la somma dei risultati sia un numero pari? [1/2]
2. la somma sia uguale a 5? [1/9]
3. la differenza in modulo fra i due risultati sia uguale a 3? [1/6]
Soluzione
Lo spazio campionario è dato dall’insieme {(i, j) : i, j = 1 . . . 6} di cardinalità
36.
1. L’evento A di ottenere due risultati la cui somma è pari equivale a trovare
due numeri pari o due numeri dispari, quindi A = {(i, j) : i, j ∈ {1, 3, 5}}∪
{(i, j) : i, j ∈ {2, 4, 6}} e ha cardinalità 18. Quindi
P (A) =
|A|
1
=
|Ω|
2
2. L’evento B di ottenere due risultati la cui somma è 5 è dato da B =
{(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} di cardinalità 4. Quindi
P (B) =
|B|
1
=
|Ω|
9
3. L’evento C di ottenere due risultati la cui differenza in modulo è uguale
a 3 è dato da C = {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)} di cardinalità 6.
Quindi
|C|
1
P (C) =
=
|Ω|
6
Esercizio 9 Qual è la probabilità che in un gruppo di 25 persone ce ne siano
almeno 2 che sono nate lo stesso giorno dell’anno (si pensi ad un anno di 365
giorni)? [0.5687]
Soluzione
Lo spazio campionario è dato da tutte le possibili disposizioni con ripetizione
di classe 25 dei 365 giorni dell’anno, quindi |Ω| = D0 365,25 . Sia A l’evento di
avere un gruppo di persone con almeno una coppia di persone nate lo stesso
giorno. L’evento complementare AC consiste nell’avere un gruppo di persone
nate tutte in giorni diversi. La cardinalità di AC è data da |AC | = D365,25 .
Quindi
D365,25
P (A) = 1 − P (AC ) = 1 − 0
= 0.5687
D 365,25
5
Esercizio 10 Da un mazzo ben mescolato di 52 carte se ne estraggono 5. Si
calcoli la probabilità di ottenere un poker, un poker d’assi, cinque carte dello
stesso seme, cinque carte di cuori. [2.401E4 , 1.85E5 , 0.001981, 4.95E4 ]
Soluzione
Lo spazio campionario è dato dall’insieme di combinazioni di 5 carte che
possiamo estrarre dal mazzo, quindi |Ω| = C52,5 .
L’evento A di ottenere un poker ha cardinalità |A| = 13 C4,4 C48,1 dove 13
indica il numero di poker possibili che posso avere, la prima combinazione indica
il fatto di avere le 4 carte del poker e la seconda di avere come quinta carta una
qualsiasi tra le 48 rimanenti. Ne segue che
P (A) =
13 C4,4 C48,1
|A|
=
= 2.401E − 4
|Ω|
C52,5
L’evento B di ottenere un poker d’assi ha cardinalità |A| = C4,4 C48,1 dove
la prima combinazione indica il fatto di avere i 4 assi e la seconda di avere come
quinta carta una qualsiasi tra le 48 rimanenti. Ne segue che
P (B) =
|B|
C4,4 C48,1
= 1.85E − 5
=
|Ω|
C52,5
L’evento C di avere 5 carte dello stesso seme ha cardinalità |C| = 4 ∗ C13,5 ,
dove 4 è il numero di possibili semi e la combinazione fornisce tutti i modi in
cui posso estrarre 5 carte di un particolare seme dal mazzo. Ne segue che
P (C) =
4 C13,5
|C|
=
= 0.001981
|Ω|
C52,5
L’evento D di avere 5 carte di cuori ha cardinalità |C| = C13,5 , dove la
combinazione indica tutti i modi possibili in cui posso estrarre 5 carte di cuori
dal mazzo. Ne segue che
P (D) =
C13,5
|D|
= 4.95E − 4
=
|Ω|
C52,5
6