Esempi di soluzione per sistemi dinamici LTI TC Calcolo del

Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Esempi di soluzione per
sistemi dinamici LTI TC
Esempi di soluzione per sistemi LTI TC
Scomposizione in fratti semplici (parte I)
Esempio di soluzione 1
Scomposizione in fratti semplici (parte II)
Esempio di soluzione 2
Scomposizione in fratti semplici (parte III)
Esempio di soluzione 3
Considerazioni finali
2
Esempi di soluzione per sistemi LTI TC
Scomposizione in fratti semplici: introduzione
Sia F (s ) una funzione razionale fratta
rappresentata nella forma polinomiale
bm s m + bm −1s m −1 + + b1s + b0 N F (s )
F (s ) =
=
n
n −1
DF (s )
s + an −1s + + a1s + a0
Supponiamo che:
NF (s ) e DF (s ) siano polinomi in s, di grado m ed
n rispettivamente (m < n Æ F (s ) strettamente
propria)
NF (s ) e DF (s ) non abbiano radici in comune
Il denominatore di F (s ) abbia n radici distinte
p1 , … , pn , (con molteplicità unitaria)
4
Scomposizione in fratti semplici: definizione
Si può fattorizzare il denominatore di F (s )
mettendo in evidenza le n radici distinte:
bm s m + bm −1s m −1 + + b1s + b0
F (s ) =
(s − p1 )(s − p2 ) (s − pn )
La scomposizione i fratti semplici (detta
anche sviluppo di Heaviside) di F (s ) è definita
da:
R1
R2
F (s ) =
+
+
s − p1 s − p2
n
Rn
Ri
+
=∑
s − pn i =1 s − pi
5
Scomposizione in fratti semplici: residui
Nella scomposizione in fratti semplici:
R1
R2
F (s ) =
+
+
s − p1 s − p2
n
Rn
Ri
+
=∑
s − pn i =1 s − pi
I termini R1 , … , Rn sono detti residui
Nel caso considerato (radici distinte), i residui
vengono calcolati come:
Ri = lim(s − pi )F (s ), i = 1,…, n
s →pi
6
Esempi di soluzione per sistemi LTI TC
Formulazione del problema
Si consideri il seguente sistema LTI TC:
⎡0 1⎤
⎡1 ⎤
x (t ) = ⎢
x (t ) + ⎢ ⎥ u (t )
⎥
⎣0⎦
⎣−2 −3⎦
Determinare l’espressione analitica del
movimento dello stato x (t ) nel caso in cui
L’ingresso sia un gradino di ampiezza 2 (u (t ) = 2ε (t ))
Le condizioni iniziali siano: x (0) =[2 2]T
8
Procedimento di soluzione
I passi da seguire sono:
Calcolo della soluzione X (s ) nel dominio della
trasformata di Laplace
Calcolo della scomposizione in fratti semplici (e dei
corrispondenti residui) di X (s )
Calcolo di x (t ) tramite antitrasformazione della
scomposizione in fratti semplici di X (s )
9
Impostazione dei calcoli in dom(s ) (1/2)
Soluzione nel dominio della trasformata di
Laplace:
X (s ) = ( sI − A ) x (0) + ( sI − A ) BU (s )
−1
X (s )
−1
X f (s )
Con:
⎡0 1⎤
⎡1 ⎤
⎡2⎤
2
, B = ⎢ ⎥ , x (0) = ⎢ ⎥ ,U (s ) =
A=⎢
⎥
s
⎣0⎦
⎣2⎦
⎣−2 −3⎦
10
Impostazione dei calcoli in dom(s ) (2/2)
X (s ) = ( sI − A ) x (0) + ( sI − A ) BU (s )
−1
X (s )
−1
X f (s )
Per calcolare X (s ) procediamo con i seguenti
passi:
Calcolo del termine (s I – A ) -1
Calcolo del movimento libero Xl (s )
Calcolo del movimento forzato Xf (s )
Calcolo di X (s ) come X (s ) = Xl (s ) + Xf (s )
Scomposizione i fratti semplici di X (s )
11
Calcolo di (s I − A)-1
Ricordiamo che: (sI − A ) =
1
−1
det(sI − A )
−1
Adj (sI − A )
−1
⎡⎡s 0 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎤
⎡s −1 ⎤
−1
(sI − A) = ⎢⎢
−⎢
=
⎥ =⎢
⎥
⎥
⎥
⎢⎣⎣0 s ⎦ ⎣−2 −3⎦ ⎥⎦
⎣2 s + 3⎦
s +3
1
⎡
⎤
⎡s + 3 1 ⎤ ⎢ (s + 1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) ⎥
1
⎥
= 2
=⎢
⎢
⎥
s + 3s + 2 ⎣ −2 s ⎦ ⎢
−2
s
⎥
⎢ (s + 1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) ⎥
det(sI −A)
Adj (sI −A)
⎣
⎦
12
Calcolo di Xl (s )
s +3
1
⎡
⎤
⎢ (s + 1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) ⎥ ⎡2⎤
⎥ ⎢ ⎥ =
X (s ) = (sI − A)−1 x (0) = ⎢
−2
s
⎢
⎥ ⎣2⎦
⎢ (s + 1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) ⎥
⎣
⎦ x (0)
(sI − A)−1
⎡
⎢ (s
=⎢
⎢
⎢ (s
⎣
2s + 8 ⎤
+ 1)(s + 2) ⎥
⎥
2s − 4 ⎥
+ 1)(s + 2) ⎥⎦
13
Calcolo di Xf (s )
s +3
1
⎡
⎤
⎢ (s + 1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) ⎥ ⎡1⎤ 2
⎥⎢ ⎥
=
X f (s ) = (sI − A)−1 BU (s ) = ⎢
−2
s
⎢
⎥ ⎣0⎦ s
⎢ (s + 1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) ⎥
⎣
⎦ B U (s )
(sI − A)−1
s +3
⎡
⎤
⎡ 2(s + 3) ⎤
⎢ (s + 1)(s + 2) ⎥ 2 ⎢ s (s + 1)(s + 2) ⎥
⎥ =⎢
⎥
=⎢
−2
−4
⎢
⎥s ⎢
⎥
⎢ (s + 1)(s + 2) ⎥
⎢ s (s + 1)(s + 2) ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
14
Calcolo di X (s )
X (s ) viene calcolato come somma di Xl (s ) e Xf (s )
⎡
⎢ (s
X (s ) = X (s ) + X f (s ) = ⎢
⎢
⎢ (s
⎣
2s + 8 ⎤ ⎡ 2(s + 3) ⎤
+ 1)(s + 2) ⎥ ⎢ s (s + 1)(s + 2) ⎥
⎥+⎢
⎥=
2s − 4 ⎥ ⎢
−4
⎥
+ 1)(s + 2) ⎥⎦ ⎢⎣ s (s + 1)(s + 2) ⎥⎦
X (s )
X f (s )
⎡ 2s 2 + 10s + 6 ⎤
⎢
⎥
s (s + 1)(s + 2) ⎥
⎢
=
⎢ 2s 2 − 4s − 4 ⎥
⎢
⎥
⎣ s (s + 1)(s + 2) ⎦
15
Scomposizione in fratti semplici di X (s)
(1)
⎡ 2s 2 + 10s + 6 ⎤ ⎡ R (1) R (1)
⎤
R
3
1
2
+
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎡ X 1 (s ) ⎤ ⎢ s (s + 1)(s + 2) ⎥
s
s
s
+
+
1
2
⎥
X (s ) = ⎢
= ⎢ (2)
⎥=⎢
2
(2)
(2)
R3 ⎥
2s − 4s − 4 ⎥ ⎢R1
R2
⎣X 2 (s )⎦
+
+
⎢
⎥ ⎢
⎥
s
s
s
(
1)(
2)
+
+
s
s
s
1
2
+
+
⎣
⎦
⎣
⎦
16
Calcolo dei residui per X1(s )
R3(1)
2s 2 + 10s + 6 R1(1) R2(1)
=
+
+
X 1 (s ) =
s (s + 1)(s + 2) s
s +1 s + 2
2s 2 + 10s + 6
(1)
R1 = lim sX 1 (s ) = lim s
=3
s→ 0
s → 0 s (s + 1)(s + 2)
R2(1)
2s 2 + 10s + 6
= lim (s + 1)X 1 (s ) = lim (s + 1)
=2
s → −1
s → −1
s (s + 1)(s + 2)
2s 2 + 10s + 6
R = lim (s + 2)X 1 (s ) = lim (s + 2)
= −3
s → −2
s → −2
s (s + 1)(s + 2)
3
2
3
→ X 1 (s ) = +
−
s s +1 s + 2
(1)
3
17
Calcolo dei residui per X2(s )
R1(2) R2(2) R3(2)
2s 2 − 4s − 4
X 2 (s ) =
=
+
+
s (s + 1)(s + 2)
s
s +1 s + 2
R1(2)
2s 2 − 4s − 4
= lim sX 2 (s ) = lim s
= −2
s→0
s → 0 s (s + 1)(s + 2)
R2(2)
2s 2 − 4s − 4
= lim (s + 1)X 2 (s ) = lim (s + 1)
= −2
s → −1
s → −1
s (s + 1)(s + 2)
R3(2)
2s 2 − 4s − 4
= lim (s + 2)X 2 (s ) = lim (s + 2)
=6
s → −2
s → −2
s (s + 1)(s + 2)
2
2
6
→ X 2 (s ) = − −
+
s s +1 s + 2
18
Risultato
Pertanto:
2
3 ⎤
⎡ 3
+
−
⎡ X 1 (s ) ⎤ ⎢ s s + 1 s + 2 ⎥
X (s ) = ⎢
⎥
⎥=⎢
⎣X 2 (s )⎦ ⎢− 2 − 2 + 6 ⎥
⎢⎣ s s + 1 s + 2 ⎥⎦
Si può procedere con l’antitrasformazione
ricordando che: Re ε (t ) = L
at
-1
⎧ R ⎫
⎨
⎬
⎩s − a ⎭
⎡ x 1 (t ) ⎤ ⎡ 3 + 2e −t − 3e −2t ⎤
ε (t )
=⎢
x (t ) = ⎢
⎥
−t
−2t ⎥
⎣x 2 (t )⎦ ⎣−2 − 2e + 6e ⎦
19
Esempi di soluzione per sistemi LTI TC
Scomposizione in fratti semplici con radici C
Quando nel denominatore di F (s ) sono presenti
coppie distinte di radici complesse coniugate del
tipo:
p1 = σ0 + jω0 , p2 = p1* = σ0 - j ω0
bm s m + bm −1s m −1 + + b1s + b0
F (s ) =
(s − σ 0 − j ω0 )(s − σ 0 + j ω0 )(s − p3 ) (s − pn )
(s −p1 )
(s −p2 )
Il procedimento della scomposizione in fratti semplici
rimane invariato:
R3
R1
R2
+
+
F (s ) =
s − σ0 − j ω0 s − σ 0 + j ω0 s − p3
s −p1
s −p2
Rn
+
s − pn
21
Calcolo dei residui con radici C
R1
R2
+
+
F (s ) =
s − σ0 − j ω0 s − σ0 + j ω0
Rn
+
s − pn
Anche il procedimento di calcolo dei residui
rimane invariato:
R1 = lim (s − σ0 − j ω0 )F (s )
s →σ0 + j ω0
R2 = lim (s − σ 0 + j ω0 )F (s ) = R1*
s →σ0 − j ω0
Notiamo che i residui associati ad una coppia di
radici complesse coniugate sono numeri
complessi coniugati
22
Antitrasformazione in presenza radici C (1/2)
Occorre però fare attenzione all’antitrasformata
della coppia di fratti semplici:
R1
R1*
+
s − σ 0 − j ω0 s − σ 0 + j ω0
Applicando la proprietà: Re ε (t ) = L
ottiene:
at
-1
⎧ R ⎫
⎨
⎬ si
⎩s − a ⎭
⎧
⎫
R1
R1*
(σ0 + j ω0 )t
* (σ0 − j ω0 )t
R
e
R
L⎨
ε (t )
+
=
+
⎬
1
1e
⎩s − σ 0 − j ω0 s − σ 0 + j ω0 ⎭
(
)
23
Antitrasformazione in presenza radici C (2/2)
Utilizzando le formule di Eulero si ha:
(
R1e (σ
0 + j ω0 )t
)
+ R1*e (σ0 − j ω0 )t ε (t ) = 2 R1 e σ0t cos(ω0t + arg(R1 ))ε (t )
Im(R1 )
R1 = Re (R1 ) + Im (R1 ),arg(R1 ) = arctan
Re(R1 )
2
2
Pertanto, l’antitrasformata di una coppia di fratti
semplici corrispondenti a radici ^ va sempre
considerata nel suo insieme
24
Esempi di soluzione per sistemi LTI TC
Formulazione del problema
Si consideri il seguente sistema LTI TC:
⎡−3 2 ⎤
⎡1 ⎤
x (t ) = ⎢
x (t ) + ⎢ ⎥ u (t )
⎥
⎣0⎦
⎣−2 −3⎦
y (t ) = ⎡⎣0 1⎤⎦ x (t )
Determinare l’espressione analitica del
movimento dell’uscita y (t ) nel caso in cui:
L’ingresso sia un gradino di ampiezza unitaria
(u (t ) = ε (t ))
Le condizioni iniziali siano: x (0) =[1 1]T
26
Procedimento di soluzione
I passi da seguire sono:
Calcolo della soluzione Y (s ) nel dominio della
trasformata di Laplace
Calcolo della scomposizione in fratti semplici (e dei
corrispondenti residui) di Y (s )
Calcolo di y (t ) tramite antitrasformazione della
scomposizione in fratti semplici di Y (s )
27
Impostazione dei calcoli in dom(s )
Soluzione nel dominio della trasformata di
Laplace:
−1
⎡
Y (s ) = C ( sI − A ) x (0) + C ( sI − A ) B + D ⎤ U (s )
⎣
⎦
Y (s )
Yf (s )
−1
Con
⎡−3 2 ⎤
⎡1 ⎤
⎡1⎤
1
, B = ⎢ ⎥ ,C = ⎣⎡0 1⎦⎤ , D = [0], x (0) = ⎢ ⎥ ,U (s ) =
A=⎢
⎥
s
⎣0⎦
⎣1⎦
⎣−2 −3⎦
28
Passi della soluzione in dom(s )
−1
⎡
Y (s ) = C ( sI − A ) x (0) + C ( sI − A ) B + D ⎤ U (s )
⎣
⎦
Y (s )
Yf (s )
−1
Per calcolare Y (s ) procediamo come segue:
Calcolo del termine (s I – A ) -1
Calcolo della risposta libera Yl (s )
Calcolo della risposta forzata Yf (s )
Calcolo di Y (s ) come Y (s ) = Yl (s ) + Yf (s )
Scomposizione i fratti semplici di Y (s )
29
Calcolo di (s I − A)-1
Si ricordi che: (sI − A )−1 =
⎡s + 3 −2 ⎤
(sI − A) = ⎢
⎥
s
+
2
3
⎦
⎣
−1
−1
1
det(sI − A )
Adj (sI − A )
⎡s + 3
2 ⎤
1
= 2
=
⎢
⎥
s + 6s + 13 ⎣ −2 s + 3⎦
det(sI −A)
Adj (sI −A)
2
⎡ s +3
⎤
⎢ s 2 + 6s + 13 s 2 + 6s + 13 ⎥
=⎢
⎥
s +3 ⎥
−2
⎢
⎢⎣ s 2 + 6s + 13 s 2 + 6s + 13 ⎥⎦
30
Calcolo di Yl (s )
2
⎡ s +3
⎤
2
2
⎢
+
+
+ 6s + 13 ⎥ ⎡1⎤
s
s
s
6
13
−1
Y (s ) = C (sI − A) x (0) = ⎣⎡0 1⎦⎤ ⎢
⎥⎢ ⎥ =
−2
s + 3 ⎥ ⎣1⎦
⎢
C
⎢⎣ s 2 + 6s + 13 s 2 + 6s + 13 ⎥⎦ x (0)
(sI −A)−1
s + 3 ⎤ ⎡1⎤
s +1
−2
⎡
=⎢ 2
= 2
⎢
⎥
2
⎥
⎣ s + 6s + 13 s + 6s + 13 ⎦ ⎣1⎦ s + 6s + 13
C (sI −A)−1
x (0)
31
Calcolo di Yf (s )
2
⎡ s +3
⎤
⎢ s 2 + 6s + 13 s 2 + 6s + 13 ⎥ ⎡1⎤ 1
−1
Yf (s ) = ⎡⎣C (sI − A) B + D ⎤⎦ U (s ) = ⎡⎣0 1⎤⎦ ⎢
⎥⎢ ⎥
↑
s + 3 ⎥ ⎣0⎦ s
−2
⎢
C
⎢⎣ s 2 + 6s + 13 s 2 + 6s + 13 ⎥⎦ B U (s )
D =0
(sI −A )−1
s + 3 ⎤ ⎡1⎤ 1
1
−2
−2
−2
⎡
=
=⎢ 2
=
2
⎥⎢ ⎥
s 2 + 6s + 13 s s 3 + 6s 2 + 13s
⎣ s + 6s + 13 s + 6s + 13 ⎦ ⎣0⎦ s
C (sI −A)−1
B
U (s )
U (s )
32
Calcolo di Y (s )
Y (s ) si calcola come somma di Yl (s ) e Yf (s )
s2 +s −2
Y (s ) =YA (s ) +Yf (s ) = 3
=
2
s + 6s + 13s
s2 +s −2
=
s (s + 3 − 2 j )(s + 3 + 2 j )
Notiamo che nel denominatore di Y (s ) è
presente una coppia di radici C
con σ0 = - 3 e ω0 = 2
33
Fratti semplici e residui di Y (s )
Scomposizione in fratti semplici di Y (s ):
R1
R1*
R2
s2 +s −2
=
+
+
Y (s ) =
s (s + 3 − 2 j )(s + 3 + 2 j ) s + 3 − 2 j s + 3 + 2 j s
Calcolo dei residui:
R1 = lim (s + 3 − 2 j )Y (s ) =
s → −3+2 j
s2 +s −2
= lim (s + 3 − 2 j )
= 0.5769 + 0.3846 j
s → −3+2 j
s (s + 3 − 2 j )(s + 3 + 2 j )
R2 = lim sY (s ) =
s→0
s2 +s −2
= lim s
= −0.1538
s → 0 s (s + 3 − 2 j )(s + 3 + 2 j )
174
Risultato in dom(s )
Si ottiene quindi:
0.5769 + 0.3846 j 0.5769 − 0.3846 j 0.1538
Y (s ) =
+
−
s + 3 − 2j
s + 3 + 2j
s
Per l’antitrasformazione della coppia di fratti
semplici corrispondenti alle radici complesse
coniugate si ha:
σ0 = −3, ω0 = 2
R1 = 0.5769 + 0.3846 j
R1 = (0.5769)2 + (0.3846)2 = 0.6934
⎛ 0.3846 ⎞
arg(R1 ) = arctan ⎜
= 0.588rad
⎟
⎝ 0.5769 ⎠
35
Risultato in dom(t )
L’espressione analitica di y (t ) è quindi:
σ0
ω0
⎛
⎞
↓
↓
⎜
⎟
y (t ) = ⎜1.3868e − 3 t cos(2 t + 0.588) − 0.1538 ⎟ ε (t )
arg(R1 )
⎜ 2 R1
⎟
⎝
⎠
36
Esempi di soluzione per sistemi LTI TC
Caso di F (s ) con radici multiple
bm s m + bm −1s m −1 + + b1s + b0 N F (s )
F (s ) =
=
n
n −1
DF (s )
s + an −1s + + a1s + a0
Supponiamo ora che:
NF (s ) e DF (s ) non abbiano radici in comune
Il denominatore di F (s ) abbia r (r < n) radici
distinte con molteplicità maggiore o uguale a 1
F (s ) sia strettamente propria (m < n )
Indichiamo con
pi Æ i - esima radice distinta del denominatore di F
(s ), (i =1, … , r )
μi Æ molteplicità della radice
38
pi , (i =1, … , r , Σri=1 μ i = n)
Scomposizione in fratti semplici con radici multiple
Si può fattorizzare il denominatore di F (s )
mettendo in evidenza le r radici distinte con la
rispettiva molteplicità:
bm s m + bm −1s m −1 +
F (s ) =
(s − p1 )μ (s − p2 )μ
1
2
+ b1s + b0
(s − pr )μr
La scomposizione in fratti semplici di F (s ) è
definita da:
μ
R1,k
R2,k
F (s ) = ∑
+∑
+
k
k
k =1 (s − p1 )
k =1 (s − p2 )
μ1
2
r μi
Rr ,k
Ri ,k
+∑
= ∑∑
k
k
s
p
s
p
(
−
)
(
−
)
k =1
i =1 k =1
r
i
μr
39
Calcolo dei residui con radici multiple (1/2)
In questo caso, la formula generale per calcolare
i residui Ri,k (associati alla radice pi di molteplicità
μi ) è:
Ri ,k
μi
1
d μi −k ⎡
⎤ , k = 1,…, μ
s
p
F
s
= lim
−
(
)
(
)
i
i
s →pi ( μ − k ) ! ds μi −k ⎣
⎦
i
Nel caso μi = 1 si ottiene la formula nota
Ri ,1 = lim(s − pi )F (s )
s →pi
40
Calcolo dei residui con radici multiple (2/2)
Ri ,k
μi
1
d μi −k ⎡
⎤ , k = 1,…, μ
s
p
F
s
= lim
−
(
)
(
)
i
i
s →pi ( μ − k ) ! ds μi −k ⎣
⎦
i
Nel caso μi = 2 si ha:
Ri ,1
2
d ⎡
⎤
Ri ,1 = lim
s − pi ) F ( s ) →
(
s →pi ds ⎣
⎦ s − p1
R
2
i ,2
⎡
⎤
Ri ,2 = lim ( s − pi ) F ( s ) →
s →pi ⎣
⎦ (s − p1 )2
Nota: il medesimo procedimento si applica al
caso di radici complesse
41
Esempi di soluzione per sistemi LTI TC
Formulazione del problema
Si consideri il seguente sistema LTI TC:
⎡0 −16⎤
⎡1 ⎤
x (t ) = ⎢
x (t ) + ⎢ ⎥ u (t )
⎥
⎣2⎦
⎣1 −8 ⎦
y (t ) = ⎡⎣0 1⎤⎦ x (t )
Determinare l’espressione analitica del
movimento dell’uscita y (t ) nel caso in cui
L’ingresso sia una rampa di ampiezza 2
(u (t ) = 2 t ε (t ))
Le condizioni iniziali siano nulle
43
Procedimento di soluzione
I passi da seguire sono:
Calcolo della soluzione Y (s ) nel dominio della
trasformata di Laplace
Calcolo della scomposizione in fratti semplici (e dei
corrispondenti residui) di Y (s )
Calcolo di y (t ) tramite antitrasformazione della
scomposizione in fratti semplici di Y (s )
44
Impostazione dei calcoli in dom(s )
Soluzione nel dominio della trasformata di
Laplace:
−1
⎡
Y (s ) = C ( sI − A ) x (0) + C ( sI − A ) B + D ⎤ U (s )
⎣
⎦
Y (s )
Yf (s )
−1
Con:
⎡0 −16⎤
⎡1 ⎤
⎡0⎤
2
A=⎢
, B = ⎢ ⎥ ,C = ⎡⎣0 1⎤⎦ , D = [0], x (0) = ⎢ ⎥ ,U (s ) = 2
⎥
s
⎣2⎦
⎣0⎦
⎣1 −8 ⎦
45
Passi della soluzione in dom(s )
−1
⎡
Y (s ) = C ( sI − A ) x (0) + C ( sI − A ) B + D ⎤ U (s )
⎣
⎦
Y (s )
Yf (s )
−1
Per calcolare Y (s ) notiamo innanzi tutto che,
essendo nulle le condizioni iniziali, è necessario
trovare la sola risposta forzata
Procediamo quindi nel seguente modo:
Calcolo del termine (s I – A ) -1
Calcolo della risposta forzata Yf (s ) ÆY (s ) = Yf (s )
Scomposizione i fratti semplici di Y (s )
46
Calcolo di (s I − A)-1
Si ricordi che: (sI − A ) =
−1
⎡s
16 ⎤
(sI − A) = ⎢
⎥
−
+
1
s
8
⎦
⎣
−1
−1
1
det(sI − A )
Adj (sI − A )
⎡s + 8 −16⎤
1
= 2
=
⎢
⎥
s + 8s + 16 ⎣ 1
s ⎦
det(sI −A)
−16
⎡ s +8
⎤ ⎡ s +8
⎢ s 2 + 8s + 16 s 2 + 8s + 16 ⎥ ⎢ (s + 4)2
=⎢
⎥=⎢
1
s
⎢
⎥ ⎢ 1
⎢⎣ s 2 + 8s + 16 s 2 + 8s + 16 ⎥⎦ ⎢⎣ (s + 4)2
Adj (sI −A)
−16 ⎤
(s + 4)2 ⎥
⎥
s ⎥
(s + 4)2 ⎥⎦
47
Calcolo di Y (s ) =Yf (s )
⎡ s +8
⎢ (s + 4)2
Y (s ) =Yf (s ) = ⎡⎣C (sI − A)−1B + D ⎤⎦ U (s ) = ⎡⎣0 1⎤⎦ ⎢
↑
⎢ 1
C
⎢ (s + 4)2
D =0
⎣
−16 ⎤
(s + 4)2 ⎥ ⎡1⎤ 2
⎥⎢ ⎥ 2 =
s ⎥ ⎣2⎦ s
(s + 4)2 ⎥⎦ B U (s )
(sI −A )−1
⎡ 1
=⎢
2
⎣ (s + 4)
⎤ ⎡1⎤ 2
2(2s + 1)
(2s + 1) 2
=
=
(s + 4)2 ⎥⎦ ⎢⎣2⎥⎦ s 2 (s + 4)2 s 2 s 2 (s + 4)2
C (sI −A)−1
s
B
U (s )
48
Scomposizione in fratti semplici
Si ha quindi:
2(2s + 1)
Y (s ) = 2
s (s + 4)2
Notiamo che nel denominatore di Y (s ) sono
presenti le radici p1 = 0 e p2 = - 4 entrambe di
molteplicità 2 (μ1 = μ2 = 2)
La scomposizione in fratti semplici è pertanto:
R2,2
2(2s + 1) R1,1 R1,2 R2,1
Y (s ) = 2
=
+ 2 +
+
2
s
s + 4 ( s + 4 )2
s (s + 4)
s
49
Calcolo dei residui (1/2)
R2,2
2(2s + 1) R1,1 R1,2 R2,1
Y (s ) = 2
=
+ 2 +
+
2
s
s + 4 ( s + 4 )2
s (s + 4)
s
Calcolo dei residui associati alla radice p1 = 0:
d
d
R1,1 = lim ⎡⎣s 2Y (s )⎤⎦ = lim
s →0 ds
s →0 ds
⎡ 2 2(2s + 1) ⎤
⎢s 2
2⎥
⎣ s (s + 4) ⎦
2(−2s + 6)
4(s + 4)2 − (2s + 8) ⋅ 2(2s + 1)
= lim
= 0.1875
= lim
3
4
0
s
→
s →0
(s + 4)
(s + 4)
R1,2 = lim ⎡⎣s 2Y (s )⎤⎦
s →0
⎡ 2 2(2s + 1) ⎤
= lim ⎢s 2
= 0.125
⎥
2
s →0
⎣ s (s + 4) ⎦
50
Calcolo dei residui (2/2)
R2,2
2(2s + 1) R1,1 R1,2 R2,1
Y (s ) = 2
=
+ 2 +
+
2
s
s + 4 ( s + 4 )2
s (s + 4)
s
Calcolo dei residui associati alla radice p2 = ― 4:
d
d
⎡⎣(s + 4)2Y (s )⎤⎦ = lim
R2,1 = lim
s → −4 ds
s → −4 ds
= lim
s → −4
4s 2 − 2s ⋅ 2(2s + 1)
s
4
= lim
s → −4
⎡
2 2(2s + 1) ⎤
=
⎢(s + 4) 2
2⎥
s (s + 4) ⎦
⎣
−4(s + 1)
s
R2,2 = lim ⎡⎣(s + 4)2Y (s )⎤⎦
s → −4
⎡
2 2(2s + 1) ⎤
= lim ⎢(s + 4) 2
= −0.875
⎥
2
s → −4
s (s + 4) ⎦
⎣
3
= -0.1875
51
Risultato
Si ottiene quindi:
R1,1 R1,2 R2,1
R2,2
Y (s ) =
+ 2 +
+
=
2
s
s + 4 ( s + 4)
s
0.1875 0.125 0.1875 0.875
=
+ 2 −
−
s
s + 4 ( s + 4 )2
s
Si può procedere con l’antitrasformazione
ricordando che:
at
Re ε (t ) = L
-1
⎧ R ⎫
at
-1
,
(
)
L
Rte
ε
t
=
⎨
⎬
−
s
a
⎩
⎭
⎧ R
⎫
⎨
2 ⎬
⎩ (s − a ) ⎭
y (t ) = ( 0.1875 + 0.125t − 0.1875e −4t − 0.875te −4t ) ε (t )
52
Esempi di soluzione per sistemi LTI TC
Caso di F (s ) non strettamente propria (1/3)
bm s m + bm −1s m −1 + + b1s + b0 N F (s )
F (s ) =
=
n
n −1
DF (s )
s + an −1s + + a1s + a0
Nel caso in cui F (s ) non sia strettamente propria
(m = n ) prima di procedere alla scomposizione
in fratti semplici occorre compiere la divisione
(polinomiale) tra il numeratore NF (s ) il
denominatore DF (s )
54
Caso di F (s ) non strettamente propria (2/3)
Indicando con
K = bm il quoziente
N F' (s ) il resto
della divisione tra NF (s ) e DF (s ) si ha:
N F' (s )
F (s ) = K +
=
DF (s )
NF' (s )
= bm +
c g s g + c g −1s g −1 +
n
s + an −1s
n −1
+
+ c 1s + c 0
+ a1s + a0
= bm + F '(s ),
g <n
F '(s )
55
Caso di F (s ) non strettamente propria (3/3)
A questo punto, i procedimenti di scomposizione
in fratti semplici visti in precedenza si possono
applicare alla funzione F ‘ (s ) (strettamente
propria)
L’espressione dell’antitrasformata di F (s ) sarà
quindi la somma di un termine impulsivo del tipo
bmδ (t ) e del risultato di antitrasformazione
corrispondente a F ‘ (s ):
L −1 {F (s )} = L −1 {bm + F '(s )} =
= bm δ (t ) + L −1 {F '(s )}
56
MatLab
Il calcolo dei residui della scomposizione in fratti
semplici può essere svolto in MatLab mediante
l’istruzione:[R,p,K]=residue(num,den)
num, den: numeratore e denominatore (in formato
polinomiale) della funzione da scomporre F (s )
R: vettore dei residui
p: radici del denominatore della funzione da
scomporre
K: quoziente della divisione tra numeratore e
denominatore di F (s )
Per maggiori dettagli, digitare help residue al
prompt di MatLab
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