Dimostrazione della somma di n termini di una progressione

Dimostrazione della somma di n termini di una progressione geometrica di ragione q e primo
termine a 0 :
q n −1
(*) S =a 0
se q1
q−1
1−q n
se 0q1
1−q
Vi sono almeno tre dimostrazioni :
a)Posto
S =a 0a 1a 2a 3....a n−1 la somma dei termini ove a 1=a 0 q , a 2=a 0 q 2 .. a n−1=a 0 q n−1
risulta
S =a 0a 0 qa 0 q 2... a 0 q n−1
moltiplicando per q:
S q=a 0 qa 0 q 2... a 0 q n
sottraendo membro a membro le due ultime uguaglianze si ottiene:
q−1 S =a 0 q n −a 0 da cui si ricava l'uguaglianza (*) o la (**) se 0<q<1
b)Si può anche dimostrare la (*) ricordando che la scomposizione di
n−1
n−2
3
2
q n −1 = q−1q q ... q q q1
che si può ottenere anche con la regola di Ruffini o dividendo il numeratore per il denominatore
della frazione (*)
(**) S =a 0