Esercizi di ripasso su argomenti di Geometria I, Geometria II e

Esercizi di ripasso su argomenti di
Geometria I, Geometria II e Geometria Superiore
(Parte I)
In quanto segue, si considererà Rn come dotato della struttura differenziale standard, cioè quella determinata dall’atlante costituito dal solo sistema di coordinate
globale (Rn , IdRn ). Le singole componenti di IdRn verranno indicate con i simboli
ui , cioè
IdRn (x1 , . . . , xn ) = (u1 (x1 , . . . , xn ), . . . , un (x1 , . . . , xn )) = (x1 , . . . , xn )
dove, ovviamente ui (x1 , . . . , xn ) = xi per ogni i = 1, . . . , n.
Esercizio 1.1 Sia S 2 ⊂ R3 la sfera unitaria di R3 centrata nell’origine e siano
N = (0, 0, 1) e S = (0, 0, −1). Dimostrare che le proiezioni stereografiche di poli N
e S determinano un’atlante di tipo C ∞ su S 2 . Determinare anche una collezione di
sistemi di coordinate di R3 , adattati a S 2 , e mostrare che le proiezioni stereografiche
stanno nella struttura differenziale indotta da R3 su S 2 .
Esercizio 1.2 Dimostrare che il paraboloide
def
P = { (x1 , x2 , x3 ) : x3 = (x1 )2 + (x2 )2 }
è una sottovarietà di R3 ed esibire un’atlante di tipo C ∞ che appartiene alla struttura differenziale indotta da R3 su P.
Esercizio 1.3 Si consideri il cerchio unitario S 1 ⊂ R2 centrato nell’origine, dotato
della struttura differenziale indotta da R2 . Mostrare che l’applicazione
E : R → S1 ,
E(t) = (cos(t), sin(t))
è liscia.
Esercizio 1.4 Mostrare che il cilindro C = { (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1 } è una
sottovarietà di R3 e indicare un atlante per la struttura differenziale indotta.
def
Esercizio 1.5 Si consideri su U = R2 \{ (x1 , x2 ) : x1 ≤ 0 } i sistemi
di coordinate
∂ standard (u1 , u2 ) e polari (ρ, θ). Dato un vettore v = v i ∂u
,
determinare
le
i
po
∂ ∂ componenti di v nella base coordinata ∂ρ
determinata dalle coordinate
, ∂θ
po
po
polari.
1
2
Esercizio 1.6 Siano (x1 , x2 ) e (y 1 , y 2 ) i sistemi di coordinate su S 2 date dalle
proiezioni stereografiche di poli N e S definite nell’Esercizio 1.1. Dato un vettore
∂ v = v i ∂x
, determinare le componenti di v nella base coordinata
i
po
!
∂ ∂ .
,
∂y 1 po ∂y 2 po
Esercizio 1.7 Sia S 2 ⊂ R3 la sfera unitaria centrata nell’origine e sia (U, ξ) il
sistema di coordinate su S 2 definito da
U = { (x1 , x2 , x3 ) ∈ S 2 : x3 > 0 }
ξ : U ⊂ S 2 → R2 ,
ξ(x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 ) .
Sia poi ı : S 2 → R3 l’immersione naturale. Per un punto generico po = (x1 , x2 , x3 ) ∈
U, scrivere in modo esplicito il differenziale (servendosi di basi coordinate)
dı|po : Tpo S 2 −→ Tı(po ) R3 .
Negli esercizi che seguono, V è uno spazio vettoriale su R di dimensione n e per
ogni base B = (e1 , . . . , en ) di V indicheremo con B ∗ = (e1 , . . . , en ) la corrispondente
base duale di V ∗ . Inoltre, dall’Esercizio 1.10 in poi, qual’ora ce ne fosse bisogno,
per ogni elemento v ∈ V , indicheremo con lo stesso simbolo ”v” sia l’elemento in
v ∈ V che il corrispondente elemento ı(v) ∈ V ∗ , omettendo nel secondo caso il
simbolo ”ı” per brevità di scrittura.
Esercizio 1.8 Dimostrare che:
i) per ogni vettore v ∈ V , l’applicazione
ψv : V ∗ → R ,
def
ψv (f ) = f (v)
è un’applicazione lineare da V ∗ in R ed è quindi un elemento di (V ∗ )∗ ;
ii) l’applicazione
ı : V → (V ∗ )∗ ,
def
ı(v) = ψv ,
dove l’applicazione ψv è definita al punto (i), è un isomorfismo;
iii) per ogni base B = (e1 , . . . , en ), le applicazioni ı(ei ) ∈ (V ∗ )∗ formano una
base per V ∗ che è la base duale alla base B ∗ = (e1 , . . . , en );
iv) (banale) se B = (e1 , . . . , en ) e B 0 = (e01 , . . . , e0n ) sono due basi di V con
matrice di cambiamento di base Pji , cioè tale che
e0i = Pij ej ,
verificare che le corrispondenti basi (ı(ei )) e (ı(e0i )) di (V ∗ )∗ verificano
ı(e0i ) = Pij ı(ej )
3
Esercizio 1.9 Sia B = (e1 , . . . , en ) una base per V e sia B ∗ = (e1 , . . . , en ) la
corrispondente base duale per V ∗ . Dimostrare che gli elementi ei ⊗ej , i, j = 1, . . . , n
formano una base per V ∗ ⊗ V ∗ .
Esercizio 1.10 Dimostrare che se B = (e1 , . . . , en ) e B 0 = (e01 , . . . , e0n ) sono due
basi per lo spazio vettoriale V con matrice di cambiamento di base Pji , cioè tale che
e0i = Pij ej ,
allora le corrispondenti basi (e0i ⊗ e0j ) e (ei ⊗ ej ) per V ∗ ⊗ V ∗ sono ottenibili una
dall’altra tramite la relazione
e0i ⊗ e0j = (P −1 )im (P −1 )jn em ⊗ en
Esercizio 1.11 Sia V uno spazio vettoriale su R. Sia inoltre (e1 , . . . , en ) una
base per V e (e1 , . . . , en ) la corrispondente base duale per V ∗ . Dimostrare che gli
elementi ei ⊗ ej formano una base per (V ∗ )∗ ⊗ (V ∗ )∗ .
Dimostrare anche che se B = (e1 , . . . , en ) e B 0 = (e01 , . . . , e0n ) sono due basi per
lo spazio vettoriale V tali che
e0i = Pij ej
allora le corrispondenti basi (e0i ⊗ e0j ) e (ei ⊗ ej ) per V ∗ ⊗ V ∗ sono ottenibili una
dall’altra tramite la relazione
e0i ⊗ e0j = Pim Pjn em ⊗ en
Dimostrare poi che la legge di trasformazione delle componenti g ij e g 0mn di un
elemento g ∈ V ⊗ V rispetto alle due basi (e0i ⊗ e0j ) e (ei ⊗ ej ) è
−1 n ij
g 0mn = (P −1 )m
)j g .
i (P
Esercizio 1.12 Determinare l’espressione esplicita dell’isomorfismo ”naturale” fra
V ⊗ V ∗ e Hom(V, V ). Più in generale, dati due spazi vettoriali V e W dimostrare
l’esistenza di un isomorfismo di spazi vettoriali fra V ⊗ W ∗ e Hom(W, V ) determinando tale isomorfismo in modo esplicito.