Esercizi di Analisi Reale – Foglio 1 1. Determinare tutti i punti di
Transcript
Esercizi di Analisi Reale – Foglio 1 1. Determinare tutti i punti di
Corso di Laurea Magistrale in Matematica, a.a. 2011-2012 Esercizi di Analisi Reale – Foglio 1 Le soluzioni vanno consegnate all’esercitatore entro il 2 novembre 2011. 1. Determinare tutti i punti di Lebesgue della funzione g : R → R, data da ( cos(1/x) se x 6= 0, g(x) = 0 se x = 0. 2. Sia E ⊆ Rn un insieme misurabile con |E| > 0. Dimostrare che l’insieme E − E := {x − y : x, y ∈ E} contiene un intorno dell’origine. (Suggerimento: per alcuni E, può essere utile considerare la funzione f (x) = R χ (t) χ (x + t) dt vicino a x = 0.) E Rn E 3. (3a) Siano E1 , E2 due insiemi misurabili di Rn , e x0 un punto di densità di ciascuno dei due. Dimostrare che x0 è un punto di densità di E1 ∩ E2 . (3b) Sia E un insieme misurabile di R avente 0 come punto di densità. Utilizzando (a), dimostrare che esiste una successione {xn } in R \ {0}, convergente a 0 e tale che ±xn ∈ E per ogni n. 4. Sia A un insieme misurabile di Rn tale che r := supx∈A kxk < +∞. Supponiamo che, per ogni bolla aperta B tale che supx∈B kxk ≤ r, si abbia |A ∩ B| ≥ 1 10 |B| . Dimostrare che |A| = |B(0, r)|. (B(0, r) denota la bolla aperta di raggio r, centrata nell’origine.) 5. Siano E ⊆ Rn un insieme misurabile e f una funzione misurabile nonnegativa su E. (5a) Dimostrare che l’insieme {(x, t) ∈ E × [0, +∞) : t < f (x)} è misurabile. (Suggerimento: può essere utile considerare funzioni semplici.) 1 2 (5b) Dimostrare che Z Z f (x) dx = E +∞ [f > t] dt , 0 dove [f > t] = {x ∈ E : f (x) > t}. (La funzione t 7→ [f > t] viene chiamata funzione di distribuzione. R f (x) Suggerimento: f (x) = 0 1 dt .) 6. Sia C[a, b] lo spazio vettoriale delle funzioni reali continue su un intervallo compatto [a, b]. (6a) Dimostrare che ogni classe di equivalenza elemento di L1 ([a, b]) contiene al più un elemento di C[a, b]. Esistono classi non contenenti alcun elemento di C[a, b] ? (6b) Lo spazio normato C[a, b], k · k1 è completo? (6c) Per ciascuna delle seguenti due affermazioni stabilire se è vera o falsa. (∗) Ogni k·k1 -bolla aperta è un insieme k·k∞ -aperto. (∗∗) Ogni k·k∞ -bolla aperta è un insieme k·k1 -aperto. +∞ 2 e−x y 7. Sia F (y) = dx . 1 + x2 0 (7a) Determinare l’insieme di definizione D di F ; dimostrare che F è continua su D; studiare l’esistenza del limite di F (y) per y → +∞. (7b) Dimostrare che F è derivabile nei punti interni di D e scrivere un’equazione differenziale per F . (7c) Stabilire se F è derivabile (da destra o da sinistra) negli eventuali punti di frontiera di D appartenenti a D. Z