Fermat e punti stazionari

Pierre de Fermat (1601-1665)
il metodo per trovare i massimi e i minimi
Pierre de Fermat nacque il 20 agosto 1601 nella città di Beaumont-de-Lomagne
nel sud ovest della Francia. Il padre di Fermat, Dominique, era un ricco
mercante di pellami e così Pierre ebbe la fortuna di godere un'educazione
privilegiata al monastero francescano di Grandselve, cui seguì un periodo
all'Università di Tolosa. Non ci sono documenti che attestino il genio
matematico del giovane Fermat. Le pressioni familiari lo spinsero verso la
carriera giudiziaria e nel 1631 venne nominato consigliere al Parlamento di
Tolosa. Fermat fece una rapida carriera nella pubblica amministrazione e
divenne membro dell'élite sociale, con il privilegio di usare il de come parte del cognome. Tuttavia
Fermat non aveva ambizioni politiche ed impiegò tutte le energie residue alla matematica. Fermat
non era un accademico, ma un autentico cultore della matematica, e fu definito da E.T. Bell il
"Principe dei dilettanti". Fermat è considerato il fondatore del calcolo differenziale: verso il 1629
egli fece infatti due significative scoperte che presentano una stretta relazione con una sua opera sui
luoghi geometrici. La più importante fu descritta da lui pochi anni più tardi in un trattato, rimasto
inedito durante la sua vita, intitolato Metodo per trovare i massimi e i minimi. Fermat aveva
considerato i luoghi geometrici espressi (in notazione moderna) da equazioni della forma y=xn; essi
sono perciò noti oggi con il nome "parabole di Fermat" se n è positivo e di "iperboli di Fermat", se n
è negativo. Qui abbiamo una geometria analitica di curve piane di ordine superiore.
Ma Fermat andò oltre:elaborò un metodo molto ingegnoso per individuare i punti in cui una
funzione A(x) assume un valore massimo o minimo. Confrontò il valore di A(x) in un certo punto
con il valore A(x+e) in un punto vicino. Di solito questi valori risultano nettamente diversi, ma nel
punto più alto o in quello più basso di una curva continua, la differenza sarà quasi impercettibile.
Esponiamo il suo metodo, molto intuitivo ma geniale, metodo che non usa nessuna delle proprietà
geometriche del grafico della funzione. Nella figura seguente abbiamo ingrandito l'immagine per
evidenziare il fatto che, se x è un punto di massimo (o di minimo) ed e è molto piccolo, allora
A(x+e) è quasi uguale ad A(x), quindi A(x+e)-A(x) è quasi zero e questa uguaglianza si raggiunge
quando e = 0
Ora, ragiona Fermat, se A(x+e)-A(x)≈0 anche
A(x + e)" A(x)
#0
e
e questa ultima relazione è tanto più vera quanto e è piccolo. Ma, se nel rapporto riusciamo a
!
semplificare e in modo che , dopo la semplificazione, si possa mettere e = 0 abbiamo una equazione
che permette di calcolare il valore di x per il quale tale massimo è raggiunto.
Ad esempio, per trovare il massimo della funzione A(x)=px-x2 , che esprime l'area di un rettangolo
di lato x e semiperimetro p, abbiamo
A(x + e)" A(x) p(x + e)" (x + e)2 " px + x 2 pe" 2xe" e2
=
=
= p" 2x " e # 0
e
e
e
e l'ultima quasi uguaglianza diventa una uguaglianza per e=0 cioè quando x = p/2. Per questo valore
di x la funzione A(x) è stazionaria: se la funzione ha un massimo deve assumerlo per x = p/2!
!
n
Lo stesso metodo si può applicare a tutte le funzioni del tipo A(x)=x con n intero (positivo o
negativo). Infatti in questo caso la semplificazione è sempre possibile . Vediamo il caso n=-2
A(x + e)" A(x) =
1
(x + e)2
e quindi, dividendo per e, otteniamo
!
"
1
x2
=
x 2 " (x + e)2
(x + e)2 x 2
= "e
2x + e
(x + e)2 x 2
#0
A(x + e)" A(x)
2x + e
="
#0
e
(x + e)2 x 2
Ora l'adequazione (come diceva Fermat) diventa una equazione ponendo e=0. Risolta, se possibile,
questa equazione, troviamo l'ascissa del punto cercato. In questo caso abbiamo
!
"2
=0
x3
che non ha soluzioni. Possiamo concludere che questa funzione non ha punti di massimo o minimo.
Fermat facilmente estende questa idea al calcolo del coefficiente angolare m della tangente alla
curva, coefficiente che quasi uguale a
!
A(x + e)# A(x)
m"
e
e che diventa proprio uguale quando e=0. Nella figura seguente, a destra, abbiamo ingrandito il
grafico della figura a sinistra, in un intorno del punto di ascissa x.
!
-2
Nell'esempio precedente la funzione A(x)= x ha coefficiente angolare positivo per x >0 e negativo
per x<0, dunque risulta crescente per x<0 e decrescente per x>0. Questo permetteva a Fermat di
avere un'idea qualitativa della forma del grafico della funzione:
Questo procedimento è essenzialmente identico a quello che oggi viene chiamato differenziazione:
infatti il metodo di Fermat è equivalente ad eguagliare a zero
lim
e "0
f ( x + e) ! f ( x )
e
ossia, in linguaggio moderno, determinare i punti stazionari. E' quindi giusto, seguendo l'esempio di
Laplace, proclamare Fermat come creatore del calcolo differenziale, oltre a riconoscergli assieme a
Descartes il merito di aver creato la geometria analitica? Ovviamente Fermat non possedeva
minimamente il concetto di limite, ma l'idea di fondo del suo metodo dei massimi e dei minimi e di
quello per calcolare la tangente, coincide perfettamente con quello oggi usato nel calcolo
infinitesimale. Tuttavia il metodo di Fermat aveva un difetto: poteva applicarsi solo nei casi in cui
la divisione di A(x+e)-A(x) per e fosse effettivamente realizzabile, operazione questa spesso
complicata. Già per funzioni semplici come le radici o le loro somme, riusciva complicato se non
impossibile fare questa divisione. Come poter dividere ad esempio,
x+ e" x
per e? E senza riuscire a fare questa divisione come possiamo poi mettere e=0 nel quoziente? In
definitiva il metodo di Fermat si riesce ad applicare solo per un numero limitatissimo di funzioni: le
!
"parabole di Fermat".
Fu Leibniz a inventare un vero calcolo, un nuovo calcolo, che lui chiamerà il calcolo sublime,
dando delle regole formali attraverso le quali era possibile separare le difficoltà : queste regole
stabiliscono come si debba differenziare una somma, un prodotto, un quoziente, una radice, una
funzione composta ed è attraverso l'uso di queste regole di calcolo che riesce possibile trovare le
tangenti e i punti stazionari per un gran numero di funzioni.