Il grande Teorema di Fermat Il grande Teorema di Fermat

Accademia delle Scienze di Torino
Il grande Teorema di Fermat
Prof. Alberto Conte
Torino, 13 gennaio 2010
I numeri naturali
• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 …
• La somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale
• In altre parole, l’equazione
x+y=z
possiede infinite soluzioni (x,y,z) in cui x, y e z sono numeri
naturali
Il grande Teorema di Fermat
• Ad esempio (1,2,3) è una soluzione di
x+y=z
perchè 1 + 2 = 3 e così anche (5,10,15), (11, 12, 23)…
Il grande Teorema di Fermat
I quadrati dei numeri naturali
•
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, …
12, 22, 32, 42, 52, ...
• La somma dei quadrati di due numeri naturali NON è sempre il
quadrato di un numero naturale
• Ad esempio 36 + 49 = 85 che NON è un quadrato!!
Il grande Teorema di Fermat
• Esistono, peró, dei quadrati che sono somme di quadrati
• Ad esempio 9 + 16 = 25, cioè 32 + 42 = 52
e
25 + 144 = 169, cioè 52 + 122 = 132
• In altre parole, (3,4,5) e (5,12,13) sono soluzioni
dell’equazione
x2 + y2 = z2
che possiede quindi delle soluzioni (x,y,z) in cui x, y e z
sono numeri naturali
Il grande Teorema di Fermat
• Le terne di numeri naturali che sono soluzioni dell’equazione
precedente sono dette terne pitagoriche perchè per il
Teorema di Pitagora rappresentano i due cateti e l’ipotenusa di
un triangolo rettangolo
La somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti (a e b) è uguale all'area del
quadrato costruito sull'ipotenusa (c).
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• Già Euclide (III sec. a.C.) dimostró nei suoi Elementi che
esistono infinite terne pitagoriche e che queste sono date dalle
formule
x = m2 – n2, y = 2mn, z = m2 + n2
dove m,n sono due numeri naturali qualsiasi
Infatti
(m2 – n2 )2 + 4 m2 n2 =
m4 – 2 m2 n2 + n4 + 4 m2 n2 = m4 + 2m2 n2 + n4 = (m2 + n2 )2
Il grande Teorema di Fermat
Si trovano così le terne pitagoriche
(3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (8,15,17)
(9,40,41) (11,60,61) (12,35,37) (13,84,85)
(16,63,65) (20.21.29) (28,45,53) (33,56,65)
(36,77,85) (39,80,89) (48,55,73) (65,72,97)
e così via…
In altre parole x2 + y2 = z2 possiede anch’essa infinite soluzioni
in cui x,y e z sono numeri naturali
Il grande Teorema di Fermat
I cubi dei numeri naturali
• 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, …
13, 23, 33, 43, 53, ...
• La somma dei cubi di due numeri naturali NON è sempre il cubo
di un numero naturale
• Ad esempio 27 + 64 = 91 che NON è un cubo!!
Il grande Teorema di Fermat
• E facendo un po’ di prove non si trovano cubi che siano
somma di due cubi
• Provate anche voi!!!
Il grande Teorema di Fermat
Queste parole di colore oscuro …
• “Cubum autem in duos cubos, aut quadratodradratum in duos
quadratoquadratos et generaliter nullam in infinitum ultra
quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere:
cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis
exiguitas non caperet.”
• In queste misteriose parole latine sta la soluzione del problema,
per trovare la quale ci sarebbero voluti 360 anni!!
• Chi le ha scritte? E che cosa vogliono dire?
Il grande Teorema di Fermat
Il nostro Eroe
Pierre de Fermat, 1601-1665
Il grande Teorema di Fermat
• Trascorse tutta la sua vita a Tolosa, nel sud della Francia,
esercitando le sue funzioni di giudice presso il locale parlamento
• Pur occupandosi di matematica nel poco tempo libero viene
chiamato “principe dei dilettanti” ed è stato uno dei più grandi
matematici di tutta la storia di questa scienza
• Ha portato contributi fondamentali alla geometria analitica, al
calcolo della probabilità e alla teoria dei numeri
• Enunciò le sue scoperte in lettere ai più grandi matematici del
Seicento che spesso sfidava a risolvere problemi da lui posti,
risultando invariabilmente il vincitore
Il grande Teorema di Fermat
Grandi note su piccoli margini
Il grande Teorema di Fermat
• Intorno al 1640 Fermat inizia a leggere la traduzione latina
dell’Arithmetica di Diofanto, il più grande specialista di algebra e
teoria dei numeri dell’antichità, annotandone sui margini le proprie
osservazioni
Il grande Teorema di Fermat
• Queste saranno pubblicate postume dal figlio Clément-Samuel nel
1670. Il volume originale è andato perduto
• Le parole di colore oscuro che abbiamo citato sopra costituiscono
la seconda osservazione che, tradotta in italiano, dice:
“Non è, invece, possibile dividere un cubo in due cubi, o una quarta
potenza in due quarte potenze, né, in generale, dividere
alcun’altra potenza di grado superiore al secondo in due altre
potenze dello stesso grado: della qual cosa ho scoperto una
dimostrazione veramente mirabile, che non può essere contenuta
nella ristrettezza del margine”
Il grande Teorema di Fermat
• Fermat afferma quindi che nessun cubo è la somma di due cubi,
nessuna quarta potenza è la somma di due quarte potenze, e così
via all’infinito
• In altre parole, Fermat sostiene di avere trovato “una dimostrazione
veramente mirabile” del fatto che l’equazione
xn + y n = z n
non possiede nessuna soluzione (x,y,z) in cui x,y,z sono numeri
naturali, per ogni n ≥ 3
Il grande Teorema di Fermat
Il più grande mistero della storia della
matematica
• Pochi anni dopo Fermat dimostrò il caso particolare n = 4 di quello che
sarebbe diventato noto come
Il grande Teorema di Fermat
o anche
L’ultimo Teorema di Fermat
• Non publicò peró mai la dimostrazione veramente mirabile che
sosteneva di avere trovato.
• Se essa sia veramente esistita e, in caso positivo, in che cosa
consistesse costituisce il più grande mistero di tutta la storia della
matematica
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Grandi matematici all’opera
• A partire dalla pubblicazione delle “Osservazioni su Diofanto” del
1670 tutti i più grandi matematici tentarono di dimostrare il
grande Teorema (è sufficiente considerare il caso in cui n = p è
un numero primo)
• Ma soltanto casi parziali furono risolti
• p = 3 (Eulero, 1753)
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• p = 5 (Dirichlet e Legendre, 1825)
• p = 7 (Lamé, 1839)
• p < 100 e p ≠ 37, 59, 67 (Kummer, 1847)
Il grande Teorema di Fermat
• A partire dal 1970 il Teorema è stato verificato, utilizzando i più
potenti supercalcolatori, per tutti i primi p < 4.000.000
• Ma il mistero permaneva sempre più fitto!!
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Dilettanti allo sbaraglio
• Poiché l’enunciato del Grande Teorema è così elementare, migliaia di
dilettanti hanno cercato di dimostrarlo, inondando i Dipartimenti di
Matematica di tutto il mondo con le loro pseudo dimostrazioni
• A Gottinga Landau aveva un modulo
di risposta già pronto in cui bastava indicare
la riga e la pagina in cui compariva
il primo errore!
• Ma i dilettanti non sono facili da convincere. Ancora oggi sono
moltissimi quelli che sono arcisicuri di avere dimostrato il Grande
Teorema!
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Un birraio tedesco
• Nel 1908 il birraio tedesco Paul Wolfskehl istituì con il suo testamento
un premio di 100.000 marchi tedeschi oro (cifra enorme per
quell’epoca) destinato a chi avesse trovato la dimostrazione del
Grande Teorema
• Il premio non venne mai attribuito e la sua dotazione finanziaria
scomparve disgraziatamente nel vortice della grande inflazione che
colpì la Germania dopo la prima guerra mondiale
Il grande Teorema di Fermat
Le sedute spiritiche
• Furono organizzate numerose sedute spiritiche per evocare lo
spirito di Fermat
• In tutte il principe dei dilettanti si prese beffe dei partecipanti
affermando che la sua dimostrazione era ben esistita e sfidandoli a
trovarla
Il grande Teorema di Fermat
Il mistero svelato
• La soluzione sarebbe venuta dopo oltre 350 anni di vani sforzi da parte di
quasi tutti i più grandi matematici, e per una via abbastanza inaspettata
• Il primo passo lo fece il matematico tedesco Gerd Faltings che, nel
1983, dimostrò la cosiddetta “Congettura di Mordell”, la quale implica,
in particolare, che l’equazione di Fermat
xn + yn = zn
possiede soltanto un numero finito
di soluzioni per ogni n > 2
• Il Grande Teorema equivale quindi ad affermare che
questo numero finito è uguale a zero
Il grande Teorema di Fermat
• Nel frattempo, nel 1955, anche se allora questi problemi sembravano
non avere nessun rapporto con il Grande Teorema,
Yutaka Taniyama pose alcune questioni riguardanti le curve ellittiche
che, ulteriormente elaborate da André Weil e da Goro Shimura,
fornirono una congettura nota come
congettura Shimura-Taniyama-Weil
• Nel 1986 Gerhard Frey, un matematico dell’Università di Saarbrücken,
stabilì la connessione fra la congettura e il Grande Teorema
• Nel 1987 Kenneth Ribet, matematico americano, dimostrò che la
congettura implica il Grande Teorema
Il grande Teorema di Fermat
• Tutto era quindi pronto per l’entrata in scena di Andrew Wiles,
matematico inglese dell’Università di Princeton, figlio di un pastore
anglicano
• Lunedì 21 giugno 1993, verso le 10:30 (ora di Greenwich), Wiles scrisse
sulla lavagna di un’aula del Newton Institute di Cambridge (UK) il
teorema che prova la congettura di Shimura-Taniyama-Weil per una
classe di curve ellittiche sufficientemente ampia da includere quelle
necessarie per la dimostrazione del grande teorema di Fermat
• Poi si sedette, dopo aver detto:
Il grande Teorema di Fermat
“Mi fermerò qui”
• Questa non è tuttavia la fine della storia!!!
• Il 4 dicembre 1993 ammise che la sua dimostrazione non era completa,
il che gli impedì, tra l’altro, di vincere una delle medaglie Fields, il
massimo riconoscimento che la comunità matematica attribuisce ad uno
dei suoi membri, al Congresso Internazionale dei Matematici svoltosi
a Zurigo nell’agosto del 1994.
Il grande Teorema di Fermat
• Poco dopo, tuttavia, in collaborazione con Richard Taylor, Wiles
riuscì a superare la difficoltà:
il Grande Teorema di Fermat era così diventato un vero teorema!
• La notizia fu data in prima pagina dai più importanti quotidiani del
globo, a partire da “Le Monde” e dal “New York Times”.
• Neppure questo servì però a Wiles per vincere la medaglia Fields al
Congresso Internazionale dei Matematici di Berlino dell’agosto 1998,
perché nel frattempo aveva superato la soglia dei quarant’anni, e le
ferree regole del premio lo escludevano dalla competizione.
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L’apoteosi
• L’international Mathematical Union decise comunque di attribuirgli
una tavoletta d’argento, che il presidente della società David
Mumford gli consegnò nel corso della solenne seduta inaugurale del
Congresso, accompagnadola con queste parole:
“Mi dispiace che l’esiguità della tavoletta ci abbia impedito di incidervi
sopra la sua dimostrazione”
Il grande Teorema di Fermat
• La fine della frase fu sommessa da un immenso applauso che gli
oltre cinquemila matematici presenti proseguirono in piedi per
oltre cinque minuti.
• L’ombra di Fermat, finalmente placata, sembrava aleggiare con
un sorriso ironico sopra la platea ribollente di entusiasmo.
• L’onore dello spirito umano, secondo la bella e famosa
espressione di Karl Gustav Jacobi, era ancora una volta stato
difeso con successo.
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