Ad Andrew Wiles il Premio Abel 2016 per la sua

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Ad Andrew Wiles il Premio Abel 2016 per la sua dimostrazione
dell’Ultimo Teorema di Fermat
Il 15 marzo 2016 il presidente dell’Accademia Norvegese di Scienze e Lettere, Ole M. Sejersted, su proposta della
Commissione Abel (composta da cinque matematici di fama internazionale, attualmente: John Rognes, Rahul
Pandharipande, Éva Tardos, Luigi Ambrosio, Marta Sanz-Solé) ha annunciato il nome del vincitore del Premio Abel
2016: il matematico britannico Sir Andrew J. Wiles “per la sua sbalorditiva dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat
attraverso la congettura di modularità per le curve ellittiche semistabili, inaugurando così una nuova era nella teoria dei
numeri”.
Il Premio – in ricordo del brillante matematico norvegese Niels Henrik Abel – è considerato l’equivalente del Premio
Nobel e ha lo scopo di promuovere e rendere più prestigiosa la matematica. Dal 2003 è attribuito annualmente a un
matematico che si è distinto nel corso della sua carriera e consiste in una somma di denaro di circa 600.000 euro. Nel
2015 è stato vinto da John Forbes Nash e Louis Nirenberg (Albo d’Oro Premio Abel a fine articolo).
Logo Premio Abel – Crediti: www.abelprize.no
La consegna del Premio Abel si terrà presso l’Università di Oslo il 24 maggio 2016 e sarà celebrata da Haakon, il
principe ereditario di Norvegia (per approfondire: “The Abel Prize“).
Un teorema avvincente
Le vicende legate all’Ultimo Teorema di Fermat risultano per alcuni versi avvincenti, inoltre pochi risultati matematici
possono vantare una storia tanto lunga e varia, trovando oggi una soluzione dopo oltre tre secoli e mezzo.
L’Ultimo Teorema di Fermat fa riferimento all’enunciato formulato da Pierre de Fermat nel 1637 (il quale non rese nota la
dimostrazione), scritto ai margini di una copia dell’Arithmetica di Diofanto di Alessandria (250 d.C.?):
“Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo
stretto della pagina”.
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Il teorema afferma che non esistono soluzioni intere positive non nulle all’equazione:
n
n
x +y =z
n
se n è un numero maggiore di 2 (ossia n = 3, 4, 5, …).
La dimostrazione che non stava nel margine troppo stretto non fu mai trovata e questa frase divenne il guanto di sfida
raccolto da generazioni di matematici, che si sforzarono invano di dimostrare quel teorema solo all’apparenza così
semplice.
I Problemi di Hilbert e i Problemi del Millennio
Fin dall’antica Grecia i matematici hanno formulato dimostrazioni e teoremi nella forma di soluzioni a enigmi numerici.
Soprattutto nella seconda metà dell’Ottocento questa moda si diffuse anche nella stampa popolare e i quesiti matematici
trovarono il loro posto accanto alle parole crociate e agli anagrammi. Divulgando la materia e col coinvolgimento del
popolo, non solo i matematici cercavano di rendersi più “simpatici” ma speravano anche di portare allo scoperto un genio
“incompreso” della matematica, che riuscisse a fornire la soluzione di un problema ancora irrisolto che da anni
attanagliava le loro menti.
Su questa scia, l’8 agosto 1900 il matematico tedesco David Hilbert, nel corso del Congresso Internazionale dei
Matematicisvoltosi a Parigi, presentò un elenco di 23 problemi matematici allora ancora irrisolti (i cosiddetti Problemi di
Hilbert, per approfondire: “I Problemi di Hilbert“).
David Hilbert nel 1912 (Crediti: Wikipedia).
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Ed esattamente un secolo dopo, il 24 maggio 2000, in occasione del Convegno del Millennio di Parigi, l’Istituto
Matematico Clay pose all’attenzione dei matematici i Problemi del Millennio. A imitazione dei Problemi di Hilbert, l’istituto
elencò 7 problemi allora irrisolti di matematica ma, a differenza dei precedenti, per ognuno di essi istituì un premio di un
milione di dollari (per approfondire: “I Problemi del Millennio“). L’Ipotesi di Riemannè l’unico problema presente in
entrambi gli elenchi.
Sia i Problemi di Hilbert che i Problemi del Millennio hanno avuto un notevole impatto nella matematica del XX secolo.
Oggigiorno, nella formulazione classica dei problemi data da David Hilbert nel 1900, i problemi 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17,
18, 19, 20 hanno una dimostrazione accettata con universale consenso; i problemi 1, 2, 5, 9, 15, 21, 22 hanno una
soluzione non accettata da tutti i matematici; i problemi 8 e 12 sono irrisolti; i problemi 4, 6, 16, 23 sono ritenuti troppo
vaghi per avere una soluzione.
Il principe dei dilettanti
Pierre de Fermat nacque il 17 agosto 1601 nella cittadina francese di Beaumont de Lomagne. Suo padre era un ricco
mercante di pellami e Pierre ebbe la fortuna di godere di un’educazione privilegiata, prima in un monastero francescano
e poi presso l’Università di Tolosa. Le pressioni familiari lo spinsero a intraprendere la carriera giudiziaria, ma Fermat
non aveva ambizioni forensi e impegnava tempo libero ed energie nel suo passatempo preferito: la matematica. Di certo
non era un accademico ma un autentico cultore della materia con un grande talento per i numeri, tanto da meritarsi il
soprannome di “principe dei dilettanti”.
Ritratto di Pierre de Fermat (Crediti: Wikipedia)
Mentre si dilettava nella lettura del LibroII dell’Arithmetica di Diofanto, Fermat si imbattè in una serie di osservazioni che
riguardavano il teorema di Pitagora e le terne pitagoriche. Queste ultime derivano il loro nome proprio dal teorema di
2
2
2
Pitagora: una terna pitagorica è una terna di numeri naturali x, y, x tali che x + y = z ; infatti ad ogni triangolo rettangolo
corrisponde una terna pitagorica e viceversa.
Fermat ne rimase colpito anche perché era a conoscenza che molti secoli prima il matematico greco Euclide (300 a.C. ?)
aveva sviluppato una dimostrazione che illustrava l’esistenza di un numero infinito di terne pitagoriche. Mentre
fantasticava sull’argomento, in un lampo di genialità che avrebbe reso immortale il principe dei dilettanti, Fermat creò
un’equazione che, sebbene molto simile a quella di Pitagora, non aveva alcuna soluzione. Invece di considerare
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2
2
2
n
n
n
l’equazione x + y = z , Fermat considerò una variante della creazione di Pitagora: x + y = z , dove n rappresenta un
numero maggiore di 2 (ossia n = 3, 4, 5, …).
In margine alla sua copia dell’Arithmetica, Fermat annotò questa osservazione:
“Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra
quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere”.
“È impossibile trascrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due quarte potenze o,
in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello
stesso valore”.
Aritmetica di Diofanto con le Osservazioni di Pierre de Fermat. Crediti: Wikipedia
Terne fermatiane
Tra tutti i numeri possibili non sembrava esserci motivo perché non si potesse trovare almeno una soluzione, ma Fermat
affermò che mai nell’universo infinito dei numeri esisteva una terna fermatiana. Era un’affermazione straordinaria e
prepotente, ma che Fermat riteneva di poter dimostrare, come riportò nel commento che avrebbe ossessionato
generazioni di matematici:
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“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet”.
“Dispongo di una dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della
pagina”.
Doodle di Google del 17 agosto 2011 che celebra i 410 anni dalla nascita del matematico Pierre de Fermat –
Crediti: www.google.com/doodles/
Dalle sue parole si evince la grande soddisfazione per la sua dimostrazione ma, al contempo, la mancata intenzione di
trascriverla e pubblicarla. Fermat non parlò mai con nessuno della sua dimostrazione, tuttavia l’Ultimo Teorema di
Fermat, come poi sarebbe stato definito, era destinato a diventare famoso in tutto il mondo nei secoli a seguire.
Se non fosse stato per l’impegno e gli sforzi del figlio maggiore, Clement-Samuel, che avevasempre apprezzato
l’importanza del passatempo paterno,le scoperte di Fermat, in seguito alla sua morte (9 gennaio 1665), sarebbero
andate perse per sempre a causa del suo isolamento dai salotti dei matematici. Clement-Samuel Fermat impiegò cinque
anni per raccogliere gli appunti e le lettere del padre e a esaminare le annotazioni in margine alla copia
dell’Arithmeticaper poi pubblicarle in un’edizione speciale. Nel 1670 a Tolosa uscì l’Aritmentica di Diofanto con le
Osservazioni di P. de Fermat e così le Osservazioni di Fermat furono conosciute dalla più ampia comunità scientifica.
Insieme con l’originale greco e la traduzione latina di Bachet comparivano quarantotto Osservazioni di Fermat, la
seconda era quella destinata a essere conosciuta come l’Ultimo Teorema di Fermat (tratto da “Fermat’s Last Theorem”,
1997 by Simon Singh).
Il piccolo matematico
Nel corso dei secoli numerosi matematici si dedicarono alla ricerca della dimostrazione del teorema e numerosi furono
anche i fallimenti. Tra i più celebri risultati ricordiamo Eulero, che formulò una dimostrazione valida solo per n=3, AdrienMarie Legendre, che risolse il caso n=5 e Sophie Germain, che scoprì che esso era probabilmente vero per n uguale a
un particolare numero primo p, tale che 2p + 1 è anch’esso primo (i cosiddetti primi di Germain).
Siamo nel 1963 e il piccolo Andrew Wiles, di appena dieci anni, è nella biblioteca della sua Scuola Primaria di Milton
Road (Cambridge)a leggere un libro un po’ particolare per un bambino di quell’età: L’ultimo problema, un’opera di Eric
Temple Bell, in cui si racconta la storia dell’UltimoTeorema di Fermat. Il piccolo matematico rimase colpito dall’equazione
n
n
n
x + y = z e da quanto dichiarato dal principe dei dilettanti quasi tre secoli prima.
Per usare le sue parole:
“Trovai questo problema che era rimasto irrisolto per trecento anni. Non mi sembrava che i miei compagni di scuola
avessero una cotta per la matematica e perciò non ne parlai con loro. Ma avevo un insegnante che aveva svolto delle
ricerche di matematica e che mi diede un libro sulla teoria dei numeri; quel testo mi offrì qualche indicazione su come
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iniziare ad affrontare il problema. Tanto per cominciare, lavorai con l’idea che Fermat non conoscesse la matematica
molto più di quanto la conoscessi io”. (tratto da “Fermat’s Last Theorem”, 1997 by Simon Singh)
Da allora Wiles non ha più abbandonato quel teorema e dopo gli studi in matematica a Oxford e Cambridge, nel 1982,
diventa professore a Princeton negli Stati Uniti. Nel 1985 decise di dedicarsi completamente alla ricerca della
dimostrazione dell’Ultimo Teorema di Fermat. Questo lavoro lo tenne isolato fino al 1992, quando ritenne di essere vicino
al completamento della dimostrazione. Nel giugno del 1993, infatti, annunciò tre seminari al Newton Institute
dell’Università di Cambridge, di cui l’ultimo, il 23 giugno, si svolse in un’aula colma di matematici entusiasti. La prima
versione della dimostrazione conteneva però alcune gravi lacune che costrinsero Wiles a ritornare al lavoro per
avvalorare tutti i collegamenti deduttivi.
Con il contributo del suo primo studente, Richard Taylor, Wiles giunse al superamento delle difficoltà dimostrando il
teorema dopo più di un anno, il 19 settembre 1994. Solo nel 1998 la dimostrazione di Wiles dell’Ultimo Teorema di
Fermat fu accettata ufficialmente dall’International Mathematical Union.
Sir Andrew Wiles (Photo: John Cair – Crediti: www.abelprize.no)
Wiles aveva poco più di 40 anni quando ottenne il suo risultato e non poté vincere la Medaglia Fields, premio
riconosciuto ogni quattro anni a matematici che non abbiano superato l’età di 40 anni, in occasione del Congresso
Internazionale dei Matematici. Ma nel corso degli anni al matematico britannico non sono di certo mancati riconoscimenti
di ogni genere: Schock Prize e Prix Fermatnel 1995, Royal Medalbritannica, Cole Prize della A.M.S. e Wolf Prize nel
1996, Premio Speciale della International MathematicalUnion (IMU) nel 1998.
A oltre 20 anni dalla sua scoperta, Sir Andrew Wiles è stato nominato vincitoredell’Abel Prize 2016. La sua
dimostrazione combina tre campi estremamente complessi della matematica, utilizzando strumenti di geometria
algebrica, della teoria di Galois, della teoria delle curve ellittiche e delle forme modulari, un risultato che in molti reputano
più importante dello stesso Ultimo Teorema di Fermat.
Attualmente Wiles continua a lavorare ad altri problemi insoluti della matematica e si starebbe dedicando alla Congettura
di Birch e Swinnerton-Dyer, uno dei sette Problemi del Millennio secondo il Clay Mathematics Institute di Oxford (per
approfondire: “I Problemi del Millennio“).
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Albo d’Oro del Premio Abel
2003: Jean-Pierre Serre, “per avere svolto un ruolo fondamentale nel dare una forma moderna a numerose branche
della matematica, fra cui la topologia, la geometria algebrica e la teoria dei numeri”.
2004: Michael F. Atiyah e Isadore M. Singer, “per aver scoperto e dimostrato il teorema dell’indice coniugando
topologia, geometria e analisi e per il ruolo straordinario che hanno avuto nel creare nuovi ponti tra matematica e fisica
teorica”.
2005: Peter D. Lax, “per i suoi straordinari contributi alla teoria e all’applicazione delle equazioni differenziali alle
derivate parziali e al calcolo delle loro soluzioni”.
2006: Lennart Carleson, “per il suo vasto e innovativo contributo all’analisi armonica e ai sistemi dinamici lisci”.
2007: S. R. Srinivasa Varadhan, “per i suoi fondamentali contributi alla teoria della probabilità e in particolare per la
creazione di una teoria unificata delle grandi deviazioni”.
2008: John Griggs Thompson e Jacques Tits, “per i loro straordinari risultati in campo algebrico e in particolare per il
loro contributo alla moderna teoria dei gruppi”.
2009: Mikhail Gromov, “per i suoi contributi rivoluzionari alla geometria”.
2010: John Tate, “per il suo lavoro di vasto e duraturo impatto sulla teoria dei numeri”.
2011: John Milnor, “per le sue pionieristiche scoperte in topologia, geometria e algebra”.
2012: Endre Szemerédi, “per i suoi contributi fondamentali nella matematica discreta e informatica teorica e il loro
profondo e duraturo impatto nella teoria dei numeri additiva e nella teoria ergodica”.
2013: Pierre Deligne, “per i potenti concetti, idee, risultati e metodi che continuano a influenzare lo sviluppo della
geometria algebrica, così come dell’intera matematica”.
2014: Yakov G. Sinai, “per il suo contributo fondamentale ai sistemi dinamici, alla teoria ergodica e alla fisica
matematica”.
2015: John Forbes Nash e Louis Nirenberg, “per i notevoli contributi alla teoria delle equazioni differenziali alle
derivate parziali non lineari e le loro applicazioni all’analisi geometrica”.
a cura di Enzo Scasciamacchia
Bibliografia, sitografia e per approfondire
•
Simon Singh, 1997 - Fermat's Last Theorem
•
abelprize.no
•
abelprize.no/nyheter/vis.html?tid=67106
•
aleph0.clarku.edu
•
claymath.org/millennium-problems
•
mathground.net/pierre-de-fermat-1601-1665/