Brundisium_1^ Lezione

Lezioni particolari di Matematica : I gialli matematici.
Per chi vuole partecipare, anche attivamente, a queste lezioni, l’indirizzo e-mail del
prof. Di Salvatore Eugenio è il seguente:
[email protected]
1^ Lezione
•
•
Le congetture matematiche o gialli matematici;
Studio del 1° giallo matematico: L’ultimo problema di Fermat;
Cenni storici e presentazione del problema.
Il corso, intitolato
Lezioni particolari di Matematica: i gialli matematici
ha lo scopo primario di far conoscere ad un pubblico più vasto possibile, specialmente quello
formato dagli studenti di una qualsiasi scuola media superiore di 2° grado , ma anche quelli di
1° grado:
•
soprattutto vari Gialli Matematici, di cui alcuni sono ancora tali ed altri sono stati
risolti;
•
altri argomenti di matematica ;
che non fanno parte dei programmi ministeriali di queste scuole ed hanno il secondario, ma
non meno importante, obiettivo di diffondere e stimolare nei giovani la passione per la
Matematica che, si dice ma in effetti non lo è, è una materia di studio molto difficile ed ostica
per gli studenti di ogni scuola.
Innanzitutto si deve dire che i Gialli Matematici, detti anche congetture matematiche,
sono dei problemi enunciati da studiosi e ricercatori, soprattutto algebrici universitari e non,
che di fronte ad una difficoltà incontrata durante il loro studio di un certo problema e dopo
averlo analizzato in tutti i modi possibili dicono:” vedete, ho incontrato questa difficoltà o
questa caratteristica, ma non la so spiegare matematicamente, riuscite a spiegarla voi ? ”
Ovviamente la matematica ufficiale, oggetto di insegnamento didattico nelle scuole, non
conosce direttamente ed ignora la risoluzione di questi problemi, ma essa si deve ricercare o
tra gli argomenti da essa tradizionalmente trattati oppure da nuovi argomenti da scoprire, per
cui la capacità del loro risolutore è quella di analizzarli accuratamente, modificarne
matematicamente il loro modo di rappresentarli o scriverli per cercare di individuare proprietà
e procedure già note che li risolvono oppure studiarne nuove tecniche risolutive.
Incomincia così la corsa alla loro risoluzione da parte di appassionati e di specialisti della
matematica, stimolati prima di tutto dalla curiosità e dalla competizione di provare, ma, spesso,
anche da sostanziosi premi posti in palio a chi riesce a risolvere questi gialli della matematica.
Alcune di queste congetture, che noi affronteremo in particolare sono:
•
“L’ultimo problema di Fermat (U.P.F.) “ o The Last Fermat’s problem (L.F.P);
•
“La congettura di Goldbach” o “ Goldbach’s conjecture ”;
•
“La congettura dei numeri perfetti” o “ Perfect numbers conjecture”.
Quando si risolvono questi problemi, la scienza matematica ha il vantaggio di crescere
nel suo sviluppo scoprendo anche nuove tecniche di calcolo ed altro.
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Nel corso si tratteranno anche altri problemi come quello attuale ed interessante dei
“ Numeri di Mersenne“.
Nel loro studio seguiremo sempre questa scaletta:
•
Presentazione ed inquadramento del problema;
•
procedura/e risolutiva/e del problema;
•
calcolo della soluzione del problema con programmi T. Pascal.
Si augura una buona lettura ed una buona ed attiva partecipazione.
1° argomento delle lezioni particolari di matematica : L’ultimo problema di Fermat.
Cenni storici e presentazione del problema.
Pierre de Fermat (Beaumont – de – Lomagne 1601; Castres 1665) era molto conosciuto
nel ‘6oo, sia:
•
come magistrato del tribunale di Tolosa al punto che divenne presto un membro
dell’élite francese sino ad ottenere il privilegio di anteporre al suo cognome, come
titolo onorifico, il “ de”;
•
come matematico dilettante al punto che fu definito “il principe dei dilettanti”.
Infatti, siccome la legge di allora non permetteva ad un magistrato di avere rapporti
sociali, nelle ore libere e soprattutto durante la notte si dedicava allo studio di testi antichi
di Matematica, come l’Arithmetica di Diofanto, matematico greco vissuto circa nel 250 d.C.
ad Alessandria, e tale passione era tanta che con le sue ricerche ha contribuito allo sviluppo
della matematica.
Però, siccome la sua passione per la Matematica, anche se fruttifera come contenuti,
per lui era soltanto un gioco ed un passatempo, non pensava alla notorietà ed alla stima, per
cui non si preoccupava di pubblicare i risultati delle sue ricerche e si divertiva a provocare i
matematici dell’epoca dicendo per esempio, ho risolto questo e quest’altro problema ma non
facendolo mai conoscere e sottoporre a critiche o gelosie.
Fra tanti altri, enunciò così all’inizio del ‘600 un problema ( la sua ultima
provocazione lasciataci), passato alla storia della Matematica come l’ultimo problema
di Fermat, diventato un giallo matematico che ha resistito agli sforzi dei più grandi
matematici di allora e di quelli successivi, sino a quando, dopo circa 350 anni, nel 1995
non fu risolto da un ricercatore algebrico inglese, Andrew Wiles dell’Università di
Princeton che, utilizzando diverse teorie moderne senz’altro sconosciute a Fermat e con
l’aiuto di diversi scienziati suoi colleghi, ha dato finalmente una risoluzione a questo
problema, di cui P. de Fermat aveva annotato al margine d’una pagina dell’Arithmetica di
Diofanto: ho scoperto una dimostrazione veramente meravigliosa, ma il margine di questo
foglio non è abbastanza largo per contenerla.
Ci è pervenuta, attraverso una lettera scritta ad un suo amico, solo una traccia di essa
per il caso particolare di n = 4 e nient’altro.
La risoluzione del prof. Wiles è stata costruita nell’arco di una decina d’anni ma in un
modo talmente difficile, per i contenuti moderni senz’altro sconosciuti a Pierre de Fermat,
che, forse, 5 oppure 6 matematici al mondo la possono capire completamente.
Si può dire, in poche parole, che la risoluzione del Wiles è capibile solo da lui, pur
tuttavia la scienza matematica l’ha accettata sia per la straordinarietà della risoluzione,
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ottenuta dopo quasi quattro secoli di inutili tentativi dei più eminenti matematici di tutto il
mondo e non, che per la notorietà dell’autore, che ha avuto anche il compenso di $50.000 .
I più grandi matematici moderni, come il tedesco David Hilbert, hanno però sempre
detto che un problema matematico è veramente risolto se:
•
i contenuti della sua risoluzione sono semplici, perché ciò che è semplice attrae e ciò
che è complicato respinge;
•
ha una chiarezza espressiva, per una sua più facile divulgabilità;
•
è comprensibile completamente dalla maggior parte delle persone, in modo che si
possa spiegare al primo uomo, interessato, che si incontra per la strada.
In effetti alla risoluzione di Wiles ci sono state e ci sono ancora delle critiche e
contestazioni individuali, mai ufficialmente accettate dal mondo accademico, anche perché i
matematici inglesi, orgogliosamente ( e pensate che quasi tutti i gialli matematici sono stati
risolti da ricercatori inglesi) difendono a spada tratta questa loro conquista.
Le risoluzioni che sono state proposte in questo lungo arco di tempo, anche per il
sostanzioso premio posto in palio (che prima della 2^ guerra mondiale era di 100.000 marchi
tedeschi, pari a L.100.000.000 milioni di allora ma dopo solo di 20.000 marchi), sono state
moltissime e l’ultima, la più famosa, più studiata ed apprezzata, è stata quella del prof. Andrea
Ossicini, di Roma, ma, pur fra tanti apprezzamenti, non è stata accettata dal mondo
accademico.
Il sottoscritto si è inserito per puro caso, come già detto, nei tentativi di risoluzione
di questo giallo matematico, pur non avendo la mentalità e l’esperienza del ricercatore che,
dopo alcune difficoltà iniziali si è manifestata e sviluppata decisamente: bisogna dire che
una cosa è insegnare la matematica, come qualsiasi altra disciplina, cioè ripetere ogni anno più
o meno sempre le stesse cose sapute e risapute, un’altra cosa è fare ricerca, che vuol dire
affrontare un nuovo argomento, magari proporne una sua risoluzione e superare le severe e
giuste critiche dei veri addetti ai lavori che vivono nel mondo universitario.
Studiamo ora l’ultimo problema di Fermat (U.P.F.), il cui enunciato dice:
“L’equazione
an + bn = cn
(1)
per n > 2 intero ed a, b e c interi positivi, è impossibile.”
L’enunciato di tale problema è molto breve e semplice, ma alla semplicità del suo
enunciato si è contrapposta la difficoltà della sua risoluzione se essa ha resistito per quasi 4
secoli all’assedio di tutti e dei più grandi matematici del mondo, ma vediamolo insieme, punto
per punto, e ci accorgeremo che poi non è un problema tanto difficile.
1°→
Innanzitutto l’U.P.F. è un problema algebrico, cioè per la sua risoluzione aspetta dei
numeri che lo soddisfano e fondamentalmente afferma:
•
se a e b sono due numeri interi positivi, cioè in simboli (a,b)∈N°, allora la
soluzione della (1)
c = n√(a n +b n)
(1*)
per n > 2 intero non può essere anch’esso intero e spieghiamo diversamente
cosa vuol dire.
Siccome la (1), detta equazione di Fermat, ha come suo caso
particolare la relazione pitagorica, cioè per n = 2 l’equazione
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•
a2 + b2 = c2
(2)
che è soddisfatta ( questo si sa da millenni) da infinite terne di numeri interi
(a, b, c), dette terne pitagoriche [ come : (3,4,5); (5,12,13); (7,24,25);
(8,15,15); ecc…], la (1), afferma Fermat, non ha terne di numeri interi (a,b,c),
dette terne fermattiane che la soddisfano .
Se, solo per semplicità di ragionamento, si suppone a ≤ b allora c della
(1) è c > b ( altrimenti, cioè senza questa ipotesi semplificativa, scriveremmo
c > Max(a,b), cioè c è maggiore del valore più grande di a e b):
In questo 1°→ punto possiamo inoltre dire:
Già dall’enunciato del problema di Fermat
“ l’equazione
an + bn = cn
(1)
per n > 2 intero ed a, b e c interi positivi è impossibile”
si deduce che:
“ se è vero che la (1) per n > 2 intero non ammette come sue soluzioni terne
(a,b,c) intere allora non può ammettere anche terne formate da tre numeri
razionali qualsiasi, cioè soluzioni (a,b,c)∈Q+ della (1) sono impossibili.”
Per esempio, se (a,b)∈Ν° allora c non solo non può essere intero, in
accordo all’enunciato dell’U.P.F., ma nemmeno un numero razionale, cioè un
numero frazionario, che ha il numero intero come frazione apparente.
Infatti se c = m/k con (m > k)∈Ν° si avrebbe per la (1)
an + bn =(m/k)n ⇒ an + bn =mn/k n ⇒ (ka) n + (kb) n = mn
per cui la (1) sarebbe soddisfatta da tre numeri interi del tipo (ka,kb,m).
Lo stesso avverrebbe se (a,b)∈Q+, cioè c non sarà mai razionale come
a e b, altrimenti ci sarebbero opportune terne di numeri interi che
soddisferebbero la (1) per il secondo principio d’equivalenza delle equazioni.
Ciò significa che una soluzione (a,b,c) della (1) non può essere mai una
terna di numeri tutti razionali in generale ed in particolare interi , cioè a, b e c
non possono mai essere simultaneamente tutti e tre numeri:
interi;
frazionari;
decimali finiti o decimali illimitati periodici.
Con queste procedure risolutive dell’ U.T.F., infatti, si dimostra che
∀(a,b)∈ℜ+, quindi anche interi o razionali in genere, il valore di c della (1) è
sempre un numero irrazionale positivo, di conseguenza l’enunciato del
problema di Fermat dovrebbe essere fatto meglio con questa più precisa
espressione, anche se fondamentalmente è la stessa cosa dell’enunciato
ufficiale:
“l’equazione
an + bn = cn
(1)
per n > 2 intero ed a, b e c numeri razionali positivi è impossibile.”
Da tanto si deduce che, nell’ipotesi che l’enunciato ufficiale dell’U.P.F
è vero, se (a,b)∈N° allora c può essere solo irrazionale.
Effettivamente, in tutte le mie risoluzioni dell’U.T.F. (7 in tutto) viene
dimostrato che c è sempre e solo irrazionale, indipendentemente dai valori
positivi di a e b, per cui l’U.T.F. è vero;
per n ≥ 2 la (1) ha
c < a+b
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cioè è
2°→
an + bn < (a+b) n
per lo sviluppo del binomio di Newton, essendo
(a+b) n = a n + n *a nb+…..+ n *abn-1 + bn > an + bn .
Perciò, per la (1*) deve essere anche
n
√(a n +b n) < a+b
per n ≥ 2 intero;
la (1) ha a, b, c in relazione triangolare perché soddisfano la relazione fondamentale
dei lati di un triangolo e cioè:
“Ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza”
Infatti si ha:
c < (a+b) ;
c > b-a
perché c > b per l’Hp semplificativa;
a< (b+c) perché è a ≤ b per l’Hp semplificativa;
b < (a+c) essendo b<c, perché c è la soluzione c >b dell’equazione di Fermat;
a > (c-b) e b > (c-a), che discendono da c < (a+b).
3°→ se a, b, c sono in relazione triangolare vuol dire che la (1) si può interpretare dal
punto di vista geometrico, quindi deve potersi scrivere in una o più forme ad essa
equivalenti che abbiano un significato geometrico. Infatti tali forme diverse, per le
proprietà delle potenze, possono essere rappresentate da una unica forma nell’astratto
e cioè
a(n-k)ak+b(n-k)bk = c(n-k)ck ⇒ (a/c)(n-k)ak+(b/c)(n-k)bk =ck;
(3)
che nei casi reali diviene:
per k = 1
(a/c)(n-1)a+(b/c)(n-1)b =c;
Forma lineare
(n-2) 2
(n-2) 2
2
per k = 2
(a/c) a +(b/c) b =c ;
Forma pitagorica o quadratica
il cui caso particolare è la relazione pitagorica per n = 2;
Forma cubica
per k = 3
(a/c)(n-3)a3+(b/c)(n-3)b3 =c3;
il cui caso particolare è la relazione cubica per n = 3, cioè
a3+b3 = c3.
(3*)
(3**)
(3***)
Tutte queste diverse forme della (1) sono ovviamente interpretabili dal
punto di vista geometrico e si possono anche scrivere nell’astratto in questo modo,
forse più significativo:
k1*ak + k2*bk =ck;
in cui
k1 = (a/c)(n-k) ;
k2 = (b/c)(n-k) ;
che, in particolare diventa:
k1*a+ k2*b = c
per la forma lineare della (1);
2
2
2
k1*a + k2*b = c
per la forma pitagorica della (1);
k1*a3+ k2*b3 = c3
per la forma cubica della (1);
4°→ Un altro punto di vista secondo cui si può studiare l’U.P.F. è quello della geometria
cartesiana, secondo cui la 1), scritta come
an+bn – cn = 0
e posto c = x
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è la posizione di y = 0 della funzione
y = an + bn –xn
che chiameremo funzione fermattiana avente come caso particolare la funzione
pitagorica
y = a2 + b2 – x2
La funzione fermattiana ha delle caratteristiche molto importanti, come
vedremo, per la risoluzione dell’U.P.F. con metodologia algebrica;
5°→ Riassumendo quanto detto si può sintetizzare l’U.P.F. in questo schema
c =n√(an+bn);
an+bn - cn = 0 ⇒ y = an+bn -xn;
(a/c)(n-1)a+(b/c)(n-1)b=c;
n
n
a +b =c
per k = 1;
n
(a/c)(n-k) * ak+(b/c)(n-k) *bk= ck
⇒
(a/c)(n-2)a2+(b/c)(n-2)b2=c2;
per k = 2;
(a/c)(n-3)a3+(b/c)(n-3)b3= c3; per k =3;
y = an + bn –xn;
Tutti i contenuti delle procedure risolutive dell’U.P.F. del prof. Di Salvatore si sviluppano in
base a queste 7 relazioni algebriche tra loro equivalenti, cioè sono 7 modi diversi di rappresentare
matematicamente ed interpretare una stessa entità algebrica.
Ciascuna di esse permette di fare osservazioni e deduzioni importanti ai fini di capire
esaurientemente tutti gli aspetti del problema e dell’equazione di Fermat ed esse servono, tutte od
una loro parte, soprattutto, a scegliere una particolare procedura risolutiva del problema di Fermat.
Naturalmente ciascuna procedura risolutiva scelta le utilizzerà tutte od una loro parte secondo i
suoi scopi, facendo eventualmente altre osservazioni
su di esse secondo il punto di vista della
particolare procedura risolutiva scelta dell’U.T.F.
Infatti le procedure risolutive dell’U.P.F., che noi studieremo in queste lezioni, sono di tipo:
geometrico, distinta in due possibilità:
•
una del livello di difficoltà di un alunno della 3^ classe di una scuola media
superiore di primo grado;
•
un’altra del livello di difficoltà di un alunno della 5^ classe di una scuola media
superiore di secondo grado;
2°
Algebrico, distinta in diverse possibilità, del livello di difficoltà:
•
di un alunno del 3° anno di una scuola media superiore di 1° grado;
•
di un alunno del V anno di una scuola media superiore di 2° grado;
Infine si procederà al calcolo della soluzione della (1) con diverse tecniche di calcolo,
scaturite dalle diverse procedure risolutive trovate.
1°
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Nella prossima lezione tratteremo le varie risoluzioni dell’ultimo problema di
Fermat, iniziando da quelle di tipo geometrico, cioè sia per il 3° anno della scuola media
superiore di 1° grado che per quella di 2° grado.
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