Gli integrali indefiniti

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Gli integrali indefiniti
PREMESSA
Il problema del calcolo dell’area del “sotto-grafico” di f(x)
Un problema importante, anche per le applicazioni in fisica, è quello del calcolo dell’area “sotto”
al grafico di una funzione f(x) definita e continua in a, b cioè tra l’asse x, il G f e le rette x  a
e x  b.
Se la funzione è una retta di equazione y  mx  q , il calcolo si riduce a quello dell’area di un
trapezio rettangolo, ma in generale come si può calcolare l’area A?
Si dimostra che questo problema è strettamente legato alla determinazione di una funzione la cui
derivata sia uguale a f(x).
Diventa quindi importante, per il calcolo dell’area A, saper determinare una funzione chiamata
“primitiva” di f(x) cioè una funzione F(x) tale che F ' ( x)  f ( x) .
Cominceremo quindi trattando questo problema.
175
FUNZIONI PRIMITIVE DI UNA FUNZIONE
Definizione
F(x) si dice “ primitiva” di f(x) se F ' ( x )  f ( x )
Esempio
Quali sono le funzioni primitive di f ( x )  cos x ?
Ricordando che D ( senx )  cos x avrò che F ( x )  senx ma anche y  senx  c (con c  R )
risulta funzione primitiva di f ( x )  cos x poiché D ( senx  c)  cos x .
Abbiamo infatti il seguente teorema:
Teorema: se F(x) è una primitiva di f(x)  anche F(x) + c (c  R ) è una primitiva di f(x) ed ogni
primitiva di f(x) è del tipo F(x) + c.
Dimostrazione
Poiché D ( F ( x )  c )  F ' ( x )  f ( x ) anche F ( x )  c è primitiva di f(x).
Inoltre se G(x) è una primitiva di f(x) si ha:
D (G ( x )  F ( x ))  G ' ( x )  F ' ( x )  f ( x )  f ( x )  0

G ( x)  F ( x)  c  G ( x)  F ( x)  c
Definizione: l’insieme delle primitive di f(x) viene indicato con il simbolo
 f ( x)dx
che si legge integrale indefinito di f(x) in dx.
Quindi se F(x) è una primitiva di f(x)
 f ( x)dx  F ( x)  c con c  R
f(x) prende il nome di funzione integranda.
176
L’integrazione indefinita può essere considerata l’operazione inversa della differenziazione
poiché
d
 f ( x) dx   d F ( x)  c   F ' ( x) dx  f ( x) dx
E’ chiaro inoltre che
D
 f ( x)dx   D( F ( x)  c)  F ' ( x)  f ( x)
Proprietà dell’integrale indefinito
1.
 k  f ( x) dx  k   f ( x)
dx
Dimostrazione
Se F(x) è una primitiva di f(x) allora k  F (x ) è primitiva di k  f (x) poiché D ( k  F ( x ))  k  f ( x )
Esempio:  2 cos xdx  2  cos xdx  2senx  c 
2.
o anche
2 senx  c
  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Dimostrazione
Se F(x) e G(x) sono primitive rispettivamente di f(x) e di g(x),allora D F ( x )  G ( x )   f ( x )  g ( x )
e quindi F(x) + G(x) è una primitiva di f(x)+g(x).
Esempio:
 x  cos x dx   x dx   cos x dx  2 x
1
2
177
 senx  c
INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI
1)
x
2)
x
3)
 senx

dx 
1
 cos x
2
dx  tgx  c
 sen
x
1
1 x
x
x
3)
  cos
3
1

x0

x
 D (ln x )  

1
x0
   1 x  0
 x
x0


4)
x4
c
4
dx  3
1
2
1 x
 2e
x
1
dx  3 ln x  c
x

 cos x dx  tgx  senx  c
x

4
2
dx  4 
dx  arctgx  c
(caso particolare per a  e )
Esempi
2)
2
dx   cot gx  c
(ricorda che Da x  a x  ln a )
 ln x
ln x  
ln(  x )
3
 x dx 
x
1
ax
c
ln a
1)
2
1 x
dx  e x  c
(*) NOTA
dx  senx  c
1
dx  arcsenx  c
2
x
 a dx 
e
  1
dx   cos x  c
1

con
dx  ln x  c (*)
 cos
4)
1  1
x c
 1
dx
1 x2
 4arcsenx  c
dx  2  e x dx  2e x  c
178
1
 xdx  ln x  c
INTEGRAZIONI BASATE SULLA REGOLA
DI DERIVAZIONE DI UNA FUNZIONE COMPOSTA
Ricordando la regola di derivazione di una funzione composta, abbiamo:
1)
f

( x )  f ' ( x ) dx 
Esempio 1:
1
 f  1 ( x )  c
 1
  1
sen 3 x
 sen x  cos x dx  3  c
2
 sen 3 x  1
   3sen 2 x  cos x  sen 2 x  cos x
Infatti se deriviamo D
3

 3
Esempio 2:
 x
2

3
 1  x dx
f
Cerchiamo di riportarci al caso



( x)  f ' ( x) dx osserviamo che D x 2  1  2 x , mentre nella
nostra funzione integranda abbiamo solo x. Per ottenere f’(x) moltiplichiamo e dividiamo per 2:


4
3
1
1 x2 1
x  1  x dx   x 2  1  2 x dx 
c
2
2
4

Esempio 3:
2
 ln x 
Esempio 4:

2


3

1
ln 3 x
dx 
c
x
3
x  1 dx
x  1   x  1 2 e che D  x  1  1 , quindi
1
Osserviamo che
1  x  2
dx    x  1 dx 
3

x 1
1
2
3
2
c 
2
x  1 1  x  c
3
NOTA
Un caso significativo è :
f ' x 
1
dx  
c
2
f ( x)
( x)
f
179
2)

f ' ( x)
dx  ln f ( x )  c
f ( x)
2x  1
dx
2
x
x
Esempio 1:


Se ci accorgiamo che D x 2  x  2 x  1 , abbiamo subito:

2x  1
D ( x 2  x)
2
dx

 x 2  x dx  ln x  x  c
x2  x
senx
 cos x
Esempio 2:
dx
In questo caso D cos x    senx mentre noi abbiamo senx possiamo. Possiamo “aggiustare” le
cose così:
senx
 cos x
dx   
 senx  dx  
cos x

D (cos x)
dx   ln cos x  c
cos x
3)
 senf ( x)   f ' ( x)
a)
 sen 2 x
Esempio:
dx   cos  f ( x )   c
dx
Se f  x   2 x allora D  f  x   2 .
Possiamo “aggiustare” le cose:
 sen2 x dx  2  sen2 x   2
1
b)
 cos f ( x)  f ' ( x)

dx  sen f ( x)   c

 cos 2 x  4  dx .
Esempio:

1
dx   cos 2 x  c
2

1


1


 cos 2 x  4  dx  2  2  cos 2 x  4 dx  2 sen 2 x  4   c
180
f ' ( x)
dx  tg  f ( x)   c
2
f ( x)
 cos
c)
Esempio:
d)
2
3x
dx  tg 3 x  c
f ' ( x)
dx   cot g  f ( x)   c
2
f ( x)
 sen
Esempio:
e)
3
 cos
x2
1
3x 2
1
dx

dx   cot gx 3  c
2 3
 sen 2 x 3

3 sen x
3
f ' ( x)

1  f 2 ( x)
Esempio:
x

1 x
4
dx  arcsen  f ( x )   c
dx 
1
2x
1
dx  arcsenx 2  c

4
2 1 x
2
f)
f ' ( x)
dx  arctg  f ( x)   c
2
( x)
 1 f
1
1
1
1
1
1
1
 x
3
Esempio: 
dx  
dx  
dx   3
 arctg    c
2
2
2
2
9
9
3
9 x

x 
3
 x
 x

91 
1  
1  
9 
3
3

a
f ( x)
 f ' ( x) dx 
4)
 e
f ( x)
a f ( x)
c
ln a

 f ' ( x ) dx  e f ( x )  c
Esempio 1:
 xe
Esempio 2:
 cos x  3
x 2 1
dx 
senx


2
1
1 2
2 x  e x 1 dx   e x 1  c notando che D x 2  1  2 x

2
2
3 senx
dx 
c
ln 3
181
Esercizi su integrazioni immediate
1)
 senx  cos x
2)
 senx  cos
3)
 1  x  dx
4)

5)

6)
 tgx
7)
 cot gx
8)
 2 x  1 dx
9)
 x  ln x dx
10)
ex
 2e x  5 dx
11)
 cos 3x
12)
 cos 4 x  3 dx
13)
 sen 3  x  dx
14)
x
15)
16)
4
dx
x dx
4
2 x  1 dx
x
1 x2
dx
dx
dx
1
1
dx


1
2

 e x dx
3
2
x
e
x
x
2
dx
1
dx
4
182
Soluzioni degli esercizi
1)
sen 2 x
c
2
2)

3)
cos 5 x
c
5
1  x 5
5
c
4)
1
 2 x  1  2 x  1  c
3
5)
 1 x2  c
6)
 ln cos x  c
7)
ln senx  c
8)
1
ln 2 x  1  c
2
9)
ln ln x  c
10)
1
ln 2  e x  5  c
2
11)
1
sen3 x  c
3
12)
1


sen 4 x    c
4
3

13)
cot g 3  x   c
14)
1 x3
e c
3
15)
2e
16)
1
 x
arctg    c
2
2

x

c
183
INTEGRAZIONE MEDIANTE SEMPLICI TRASFORMAZIONI
DELLA FUNZIONE INTEGRANDA
1)
1 x
1 x
2
dx
In questo caso conviene semplicemente “separare” i termini al numeratore:
1 x
1 x
2)
 sen
2
2
x
 1
dx   

2
1 x2
1  x
3)
 cos
2
2
1  cos 2 x
, quindi:
2
1
1
1
1
 1  cos 2 x 
x dx   
dx   dx   cos 2 x dx  x  sen 2 x  c
2
2
2
2
4


x dx
Analogamente al precedente ricordando che cos 2 x 
4)
 sen
3
1  cos 2 x
2
x dx


3
2
 sen x dx   senx dx   senx  cos x dx   cos x 
cos 3 x
c
3
Possiamo
5)
 cos
3

x dx
Ricordiamo che sen 2 x 
 sen

1
x
1

dx  
dx  arctgx  ln 1  x 2  c
dx  
2
2
2
1 x
1 x

scrivere:
sen 3 x  senx  sen 2 x  senx 1  cos 2 x  senx  senx cos 2 x
quindi
x dx


Possiamo scrivere cos 3 x  cos x  cos 2 x  cos x 1  sen 2 x  cos x  cos x  sen 2 x e si procede
come nel caso precedente.
184
6)
1
 senx cos x
dx
In questo caso conviene sostituire 1  sen 2 x  cos 2 x e poi separare i due termini:
1
sen 2 x  cos 2 x
sen 2 x
cos 2 x
senx
cos x
dx

dx

dx

 senx cos x
 senx cos x
 senx cos x  senx cos x dx   cos x dx   senx dx 
  ln cos x  ln senx  c
7)
 tg
2
x dx
2
 tg x dx  
8)
sen 2 x
1  cos 2 x
1
dx

dx  
dx   dx  tgx  x  c
2
2

cos x
cos x
cos 2 x
1
 senx dx
x
x
 x
Se poniamo senx  sen 2   2 sen cos e ritroviamo un integrale simile al n°6:
2
2
2
1
 senx dx  
1
 
2
1
1
1
1
dx  
dx  
x
x
x
x
2
2
2 sen cos
sen cos
2
2
2
2
x
x
x
 cos 2
sen
1
2
2 dx 
2 dx 

x
x
x
2
sen cos
cos
2
2
2
sen 2
x
1
x
1
x
sen
cos
2 dx  2
2 dx  2
2 dx   ln cos x  ln sen x  c


x
x
x
2
2
sen
cos
sen
2
2
2
cos
185
INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Consideriamo una funzione razionale fratta f ( x) 
N ( x)
con grado di D(x)  2 .
D( x)
Distinguiamo due casi:
a) Se il grado del numeratore N(x) è maggiore o uguale al grado del denominatore D(x) si
esegue la divisione.
Esempio:
x2 1
 x  3 dx
Quindi x 2  1  x  3x  3  10
=
e sostituendo
=
x  3x  3  10 dx  x  3 dx  10 dx  x  3  10  log x  3  c
x2 1
 x  3 dx  

 x3
x3
2
2
b) Se grado di N(x) < grado di D(x)
 Se il grado di D(x) è 1, allora il grado di N(x) sarà 0 (quindi N(x) = costante) e l’integrale si
risolve facilmente.
Esempio:

10
1
 x  3dx  10 x  3 dx  10  ln x  3  c
Se il grado di D(x) è 2, allora D(x) = ax 2  bx  c e distinguiamo tre casi a seconda che il
discriminante dell’equazione ax 2  bx  c  0 (  ) sia positivo, nullo o negativo.
186
0
CASO 1:

In questo caso ci si riconduce a
Esempio:
x
f ' x 
dx  ln f ( x)  c
f ( x)
2x  7
dx
x2
2
Considerando il denominatore si ha che x 2  x  2  x  2x  1 : cerchiamo due costanti, che
chiameremo A e B, in modo che si abbia:
2x  7
A
B


x  x  2 x 1 x  2
2
Basta sviluppare al secondo membro dell’uguaglianza e porre, per il principio di identità dei
polinomi, l’uguaglianza tra i coefficienti del numeratore:
2x  7
Ax  2  Bx  1

x  1x  2
x x2
2
 A  B x  2 A  B
2x  7

x  1  x  2
x x2
2
Uguagliando i coefficienti si ha il sistema:
A  B  2

 2 A  B  7
Perciò:
2x  7
3
1


x  x  2 x  1 x  2
2
x
A  3
 
 B  1
e quindi:
2x  7
3
1
dx  
dx  
dx  3 ln x  1  ln x  2  c
x 1
x2
x2
2
Attenzione
Se nel polinomio al denominatore a  1 occorre ricordare che ax 2  bx  c  ax  x1 x  x 2  .
Esempio:
 2x
2
1
dx
 5x  3
1
2 x 2  5 x  3  0 ammette come radici x1  3; x 2   , perciò la sua scomposizione sarà:
2
1
A
B
1

 2x  1 


2 x 2  5 x  3  2 x  3 x    2  x  3
   x  32 x  1 , da cui
2
2
2 x  5x  3 x  3 2 x  1

 2 
e, procedendo come nell’esempio precedente, si giunge alla soluzione.
187
CASO 2:
0
In questo caso il polinomio al denominatore è un quadrato pertanto ci si riconduce a
f ' x 
1
dx  
c
2
f ( x)
( x)
f
Esempio 1:
 4x
2
dx
 4x  1
4 x 2  4 x  1 è il quadrato di 2 x  1 perciò l’integrale assegnato può essere scritto come:
dx
 2 x  1
Esempio 2:
 9x
2
2

1
2
1 1
dx  
c
2

2 2 x  1
2 2 x  1
x5
dx
 6x  1
Prima di “spezzare” il numeratore dobbiamo vedere quello che può essere utile affinché il
numeratore possa essere riportato ad essere la derivata del denominatore.
1

D(9 x 2  6 x  1)  18 x  6  18 x  
3

1 1
1 16
Quindi possiamo scrivere x  5  x    5  x  
3 3
3 3
1
16
1
1
16
1
2
3
 9 x 2  6 x  1 dx  3  9 x 2  6 x  1 dx  18 ln 9 x  6 x  1  9 (3x  1)  c
x


NOTA: La prima parte della risoluzione può anche essere scritta come
1
1
1
2
ln 3 x  1   2  ln 3 x  1   ln 3 x  1
18
18
9
188
0
CASO 3:
In questo caso il polinomio al denominatore non si può scomporre.
Esempio 1:
x
2
dx
 4x  6
Proviamo a fare in modo che il denominatore sia un quadrato “completandolo”, in modo da poter
f ' ( x)
applicare
 1  f 2 ( x) dx  arctg  f ( x)   c


x 2  4 x  6  x 2  4 x  4  2   x  2   2 , quindi:
2
x
2
dx
dx

 4x  6
 x  2 2  2
Ora è necessario far diventare 1 il termine noto al denominatore in modo da poter applicare
l’integrale dell’arcotangente:
1
dx
 x  2
2
2
Esempio 2:

dx
 x  2  2 
2 
  1

 2 

 x 2
1
1
2
2
dx

arctg

  c
2
 x  2  2 
2
 2 
  1


 2 
3x  1
dx
2
4
x
Anche in questo caso, prima di “spezzare” il numeratore, vediamo cosa occorre facendo la
derivata del denominatore:
D( x 2  4)  2 x
Quindi basta spezzare senza fare ulteriori passaggi:
x


3x
dx
3
2x
dx
3
dx
dx   2
  2
dx  
 ln x 2  4  

2
4
x 4 2 x 4
x
 2
 x  2 
4
 1
4    1
 4


 2 
2



1
2


3
1
3
1
 x
ln x 2  4   2 
dx  ln x 2  4  arctg    c
2
2
4
2
2
 x 

2
   1

 2 
189
Esercizi su integrazioni di funzioni razionali fratte
dx
4
1)
x
2
2)
x
2
3)
 9x
4)
x
2
5)
x
2
6)
x
2
7)
x
2
8)
x
2
dx
 3x  2
dx
 25
2
2
dx
3
dx
 8 x  16
x 1
dx
 2x  1
dx
 2x  3
x
dx
x2
190
1)
1
1
1 x2
ln x  2  ln x  2  c  ln
c
4
4
4 x2
2)
 ln x  1  ln x  2  c  ln
3)
1
1
1 3x  5
ln 3 x  5  ln 3 x  5  c 
ln
c
30
30
30 3 x  5
4)
1
3
ln
x 3
x 3
x2
c
x 1
c
1
c
x4
5)

6)
1
2
2
ln x 2  2 x  1 
 c  ln x  1 
c
2
x 1
x 1
7)
8)
 x 1
arctg 
c
2
 2 
1
 2x  1 
1
1
ln x 2  x  2 
arctg 
  c
2
7
 7 


191
INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
Esempio 1:
dx
 x
x
L’integrale non è immediato e, per cercare di renderlo tale, poniamo t  x .
t  x  x  t 2  dx  2  t dt
dx
 x
x

1
t
1
dt
 2t dt  2 
dt  2 
dt  2 
 2  ln t  1  c
t t  1
t 1
t 1
t t
2
Tornando alla variabile x (essendo t  x ) abbiamo:
2 ln x  1  c
Esempio 2:
1
 senx dx
Nota
Per risolvere integrali in cui compaiono funzioni goniometriche, può essere utile ricordare che
senx 
1 t2
2t
cos
x

1 t2
1 t2
dove
 x
t  tg  
2
 x
Considerando quindi la sostituzione t  tg   si ha:
2
x
2
 arctgt  x  2arctgt  dx 
dt
2
1 t2
Sostituendo:
1
 senx dx  
1
1
1
x
2
dt   dt  ln t  c  ln tg  c
2
2t
t
2
1 t
2
t 1
Osservazione: eravamo già pervenuti a questo risultato con calcoli più complessi nell’esempio 8
degli integrali in cui si utilizzano delle scomposizioni.
192

Esempio 3:
a 2  x 2 dx
x  a  sent
In questo caso poniamo
da cui dx  a cos t  dt e sostituendo:



a 2  x 2 dx   a 2  a  sent  a  cos t dt   a 2 1  sen 2 t a  cos t dt  a 2  cos 2 t dt
 a2 
2
1  cos 2t
a2
dt 
2
2
a
 1  cos 2t dt 
2
t
2

a2
sen2t  c
4
Dalle formule goniometriche:
a 2t a 2
a 2t a 2

sen2t  c 

2 sent cos t  c
2
4
2
4
Visto che x  a  sent , si ha sent 
x
 x
vale a dire t  arcsen  da cui, sostituendo nella
a
a
soluzione dell’integrale:
2
2
a2
a 2t a 2
a2
 x x 2
 x a x
 x
arcsen  
a  x2  c

2 sent cos t  c 
arcsen  
1    c 
2
a
2
2
4
2
a
2
a
a
 
 
 
Per esempio se abbiamo

4  x 2 dx
poniamo x  2 sent da cui dx  2 cos t dt e, seguendo i passaggi precedenti, si ha:
 41  sen t 2 cos tdt  4 cos
2
2
 1  cos 2t 
tdt  4  
 dt  2t  sen 2t  c 
2


 x x
2arcsen  
4  x2  c
2 2
193
INTEGRAZIONE PER PARTI
Ricordando la regola di derivazione del prodotto:
D f ( x)  g ( x)   f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g ' ( x)  f ' ( x)  g  x   D f ( x)  g ( x)   f ( x)  g ' ( x)
 f ' ( x) g x dx  f x g x    f ( x) g ' ( x)dx
ed integrando:
che viene detta regola di “integrazione per parti” in cui f’(x) prende il nome di fattore derivato e
g(x) è detto fattore finito.
Esempio 1:
 x  cos xdx
Possiamo considerare cosx come fattore derivato cioè cos x  D ( senx) :
 x  Dsenx  dx  xsenx   1  senx dx  xsenx  cos x  c
 x2
NOTA: se avessimo scelto come fattore derivato x ( x  D
 2
situazione senza risolvere l’integrale.
Esempio 2:
 x  senx

 ), avremmo solo complicato la

dx
 x  senx dx   x  D cos x  dx   x cos x    cos xdx   x cos x  senx  c
Esempio 3:
 xe
x
 xe
x
dx
 
dx   x  D e x dx  xe x   e x dx  xe x  e x  c
Esempio 4:
 x  ln xdx
 x2
 x  ln xdx   D 2
Esempio 5:

x2
x2 1
x2
x
x2
x2
  ln x dx  ln x  
dx  ln x   dx 
ln x 
c
2
2 x
2
2
2
4

 arctgxdx
In casi come questo, possiamo sempre pensare che la funzione sia moltiplicata per un fattore
1 =D(x)
e quindi  1  arctgxdx   D  x   arctgx dx xarctgx  
194


x
1
dx xarctgx  ln 1  x 2  c
2
2
1 x
Esercizi di ricapitolazione sugli integrali indefiniti
dx
1)

2)
dx
 x 2  5x  6
3)

1  4x
2
arcsenx 3 dx
6)
x
 e dx
7)
x
x 1
dx
2
5
dx
8) 
cos x
 ln
2
xdx
10)  e x senx dx
11)  ln x dx
12)
15)
17)
x
2
18)
x
19)
 cos x  1 dx

1
dx
9
2
dx
 10 x  25
1
x
21)

22)

23)
x
24)
 senx  1
25)
 x  2
26)
x
cos x  senx
 cos x  senx dx
1  4x 4
dx
x  1 dx
x 1
dx
2
4
dx
dx
2
x3
dx
2
9
27)  xarctgx dx
13)  cos x  sen 2 x dx
14)
2
20)  x 2 e x dx
dx
5)  2
4x  9
9)
x
1 x2
dx
4)  2
x 1
x 1
dx
 25
16)
28)
x
29)

30)

1  x 2 dx
x2
 x 3  1 dx
195
dx
9
2
2x  3
dx
x5
5  x 2 dx
1)
1
arcsen 2 x  c
2
2)  ln x  2  ln x  3  c
3)
1
arcsenx 4  c
4
4)
1 x 1
ln
c
2 x 1
5)
1
 2x 
arctg    c
6
 3 
6) 2e
7)
x

1
c
x5


x
2 c
8) ln
x
1  tg
2
1  tg
10)
1
 x
arctg    c
3
3

20) e x x 2  2 x  2  c

2
17)
 x
19) tg    c
2
 x 
1
1
ln x 2  5 
arctg 
  c
2
5
 5
9) x ln
3
2
ln x  5  ln x  5  c
5
5
18) 
x 1  c

16)
21)
1
arcsen (2 x 2 )  c
4
22)
2
x  1 1  x  c
3
23)
1
1
 x
ln x 2  4  arctg    c
2
2
2

24) 
2
c
 x
1  tg  
2
25) 
1
c
x2
x  2 x ln x  2 x  c
1 x
e senx  cos x   c
2
11) x ln x  x  c
26)
12) ln cos x  senx  c



1
 x
ln x 2  9  arctg    c
2
3
x2
1
1
27)
arctgx  x  arctgx  c
2
2
2
2
13)  cos 3 x  c
3
1
1
ln x  3  ln x  3  c
6
6
14)
1
1
arcsenx  x 1  x 2  c
2
2
28)
15)
1
ln x 3  1  c
3
29) 2 x  7 ln x  5  c
30)
196
 x  x
5
arcsen
 
5  x2  c
2
 5 2

Gli integrali indefiniti

Transcript

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