E1 Esercizi svolti di Cinematica

Esercizi svolti di Cinematica
1. Un punto materiale è lanciato verso il basso da O con
velocità iniziale v(0) lungo un piano inclinato liscio.
Determinare:
a. la velocità v con cui il punto raggiunge il punto
più basso della rampa Q;
b. il tempo totale che esso impiega a raggiungere Q.
y
O
θ
H
v(0) = 5 ms-1 ; h = OH = 1 m ; θ = 30°
Q
x
Il punto materiale procede lungo il piano inclinato sotto l’azione della forza peso e della reazione
vincolare.
La II equazione della dinamica è:
r r
r
P + R = ma
Proiettando l’equazione nel sistema di riferimento Oxy, si ha per la componente x:
mg sen θ = ma (moto uniformemente accelerato) e quindi:
a = g sen θ
v = (g sen θ) t + v(0)
1
.
l = (g senθ ) t 2 + v(0) t
2
Mettendo le ultime due equazioni a sistema si ricavano t e v :
v=
t=
v(0)2 + 2 g l senθ =
v − v(0)
= 0.35 s
g senθ
v(0)2 + 2 g h = 6.7 ms-1
2. Un punto materiale è lanciato in O con velocità
iniziale v(0) lungo un piano inclinato liscio di
lunghezza l . Determinare:
a. la velocità v con cui il punto raggiunge il punto
più alto della rampa Q;
b. il tempo totale che esso impiega a raggiungere Q.
Q
x
y
θ
O
v(0) = 20 ms-1 ; l = 10 m ; θ = 30°
Il punto materiale procede lungo il piano inclinato sotto l’azione della forza peso e della reazione
vincolare.
La II equazione della dinamica è:
r r
r
P + R = ma
Proiettando l’equazione nel sistema di riferimento Oxy, si ha per la componente x:
-mg sen θ = ma (moto uniformemente accelerato) e quindi:
a = -g sen θ
v = -(g sen θ) t + v(0)
1
l = − (g senθ ) t 2 + v(0) t .
2
Mettendo le ultime due equazioni a sistema si ricavano t e v:
v=
t=
( v(0)
2
)
− 2 g l senθ = 17.4 ms-1
v(0) − v
= 0.5 s
g senθ
3.
Un calciatore, a distanza d dalla porta, tira frontalmente verso un punto
della porta posto ad altezza h. Determinare la velocità iniziale vo del
pallone.
y
B
θ = 45°, d = 15 m ; h = 2.2 m
θ
A
Le equazioni del moto della sfera sono:
 x = v ox t


1
2
 y = v oy t − 2 g t

Eliminando t tra le due equazioni e ricordando che
 v ox = v o cos θ

 v oy = v o sen θ
si ottiene l’equazione della traiettoria:
g
y = tg θ x −
x2
2
2 v o cos 2 θ
Imponendo che la palla passi per il punto (d, h) si ha:
g
h = tg θ d −
d2
2
2
2 v o cos θ
da cui si ricava vo:
vo =
d
cos θ
g
2 (d tg θ − h )
= 13 m s-1
h
x
4.
Un calciatore, a distanza d dalla porta, tira frontalmente eseguendo un
pallonetto per scavalcare il portiere. La palla, scagliata con velocità
iniziale vo , andrebbe a toccare terra esattamente sulla linea. Sapendo
che il portiere si trova inizialmente in B, e che in quella situazione può
afferrare il pallone fino ad un’altezza h, quanto deve arretrare verso la
porta per parare il tiro?
(si indichi con ∆x tale valore)
y
θ
A
h
B
d = 20 m ; AB = 15 m ; h = 2.7 m ; θ = 60°
Le equazioni del moto della sfera sono:
 x = v ox t


1
2
 y = v oy t − 2 g t
Eliminando t tra le due equazioni e ricordando che
 v ox = v o cos θ

 v oy = v o sen θ
si ottiene l’equazione della traiettoria:
g
y = tg θ x −
x2
2
2 v o cos 2 θ
Imponendo che la palla passi per il punto (d, 0) si ha:
g
0 = tg θ d −
d2
2
2
2 v o cos θ
da cui si ricava vo:
vo =
d
cos θ
g
2 d tg θ
= 15 m s-1
I valori di x per cui y = h sono dati dall’equazione:
g
h = tg θ x −
x2
2
2
2 v o cos θ
Risolvendo l’equazione di II grado si trovano le soluzioni:
18 m
x=
1.7 m
Delle due, la seconda non è consistente con i dati del problema. Il portiere in definitiva deve arretrare del tratto:
∆x = x − ΑΒ = 3 m
x
5. Un’auto passa in O alla velocità v1(0). Nello stesso istante, parte in O una seconda auto con
accelerazione a2. Quest’ultima, dopo un tempo t2 mantiene costante la sua velocità. Determinare
dopo quanto tempo raggiunge la prima auto.
v1(0) = 10 ms-1 ; a2 = 1.5 ms-2 ; t2 = 10 s
Nota. Se necessario, si indichino come segue le grandezze:
x2
Spazio percorso dalla seconda auto con moto accelerato
v2
Velocità massima della seconda auto
x
Posizione in cui le auto si incontrano
t
Istante dell’incontro
200
150
x (m)
Il valore di x2 si ricava dall’equazione:
1
x 2 = a 2 t 22 = 75 m
2
La velocità v2 è data da:
v2 = a2 t2 = 15 ms-1
Dopo l’istante t2 valgono le due equazioni per le
leggi orarie delle due auto:
x = v1 (0) t

 x = x 2 + v 2 (t − t 2 )
Risolvendo il sistema si ha:
t = 15 s
x = 150 m
100
50
0
0
10
t (s)
20
6. Due auto partono nello stesso istante con accelerazioni a1 e a2 rispettivamente. La prima auto,
dopo un tempo t1, procede a velocità costante. In che posizione sarà raggiunta dalla seconda
auto?
a1 = 0.6 ms-2 ; a2 = 0.5 ms-2 ; t1 = 18 s
Nota. Se necessario, si indichino come segue le grandezze:
x1
Spazio percorso dalla prima auto con moto accelerato
v1
Velocità massima della prima auto
Velocità massima della seconda auto
v2
x
Posizione in cui le auto si incontrano
t
Istante dell’incontro
t =
v1 ±
v12
− a 2 (2 v1 t 1 − 2 x 1 )
a2
La seconda soluzione (segno -) è inaccettabile (vedi
grafico). Quindi t = 31 s, da cui
1
x = a 2 t 2 = 240 m
2
350
300
x (m)
Il valore di x1 si ricava dall’equazione:
1
x 1 = a 1 t 12 = 97 m
2
Dopo l’istante t1 valgono le due equazioni per le
leggi orarie delle due auto:
x = x 1 + v1 (t − t 1 )


1
2
x = 2 a 2 t
Risolvendo il sistema si ha:
250
200
150
100
50
0
0
10
20
t (s)
30
40
7. Un oscillatore armonico si muove secondo la legge oraria x (t ) = A cos (ω t ) . Determinare il
periodo del moto T , ed il valore vm della massima velocità assunta dal punto materiale nel suo
moto.
ω = 0.1 s-1 ; m = 1 Kg ; A = 1 cm
2π
= 63 s
ω
La velocità è data dalla legge
v (t ) = A ω sen (ω t )
Il massimo valore assunto dalla funzione seno è 1; quindi
vm = A ω = 10-3 ms-1
T=