Soluzione problema uno

A cura di:
Prof. Ferruccio Rohr - Liceo Scientifico Nomentano Roma
Prof. Gianfranco Pistoni - Liceo Scientifico Artchimede Roma
PROBLEMA 1
1
senα
senα
=
=
. Pertanto le
3
sen(π − 3α ) 3senα − 4 sen α 1 + 2 cos 2α
equazioni parametriche del luogo richiesto sono:
cos 2α
⎧
⎪⎪ x = 1 + 2 cos 2α
⎨
⎪ y = sen2α
⎪⎩
1 + 2 cos 2α
Ricavando dal sistema cos 2α e sen2α , in
funzione di x e y, si ottiene:
x
⎧
⎪⎪cos 2α = 1 − 2 x
.
⎨
⎪sen2α = y
⎪⎩
1 − 2x
Dalla relazione fondamentale della goniometria si ottiene l’equazione cartesiana del luogo γ :
1. Dal teorema dei seni si ha:
x2
(1 − 2 x )
2
+
y2
(1 − 2 x )
2
AC
=
= 1 da cui segue, svolgendo i calcoli, 3x 2 − y 2 − 4 x + 1 = 0 .
2. L’equazione ottenuta rappresenta un’iperbole, della quale va considerato solo la parte di grafico
che rispetta le limitazioni poste dal problema:
x
0 ≤ α < π / 3 ⇒ 0 ≤ 2α < 2π / 3 ⇒ − 1 / 2 < cos 2α ≤ 1 ⇒
− 1/ 2 <
≤ 1 che
1 − 2x
1
⎧ x
⎪⎪1 − 2 x > − 2
⇒
danno luogo al sistema ⎨
⎪ x ≤1
⎪⎩1 − 2 x
1
⎧
⎪⎪ x < 2
1
⇒
x≤ .
⇒
⎨
3
⎪x ≤ 1 ∨ x > 1
⎪⎩
3
2
Pertanto il ramo d’iperbole attinente al
problema è individuato dalle seguenti
condizioni:
1
⎧
⎪x ≤
3
⎨
⎪⎩ y ≥ 0
Si deve escludere pertanto la parte
tratteggiata della curva.
L’equazione ottenuta si può riscrivere nella forma
(x − 2 / 3)2
y2
−
= 1 . Questa forma permette di individuare in modo diretto gli elementi
1/ 9
1/ 3
caratteristici della cura: centro si simmetria, (2 / 3 ; 0 ) , asintoti, y = ± 3 ( x − 2 / 3) , vertici
(1 / 3 ; 0 ) e (1; 0) .
3. Dal triangolo ABC si ricava BH = sen2α e
2
2
AK = senα . La somma da rendere massima è
pertanto y = BH + AK = sen 2α + sen α . Applicando le formule di bisezione si ha
1 − cos 2α 1
y = sen 2 2α +
= − 2 cos 2 2α − cos 2α + 3 con 0 ≤ 2α < 2π / 3 . Posto t = cos 2α ,
2
2
la somma considerata è massima in corrispondenza del vertice della parabola di equazione
1
y = − 2t 2 − t + 3 , cioè per t = cos 2α = −1 / 4 ⇒ 2α ≈ 104°29' ⇒ α ≈ 52°15' .
2
2
(
(
2
)
)
4. Se ABˆ C = 36° segue BAˆ C = BCˆ A = 72° . Dalla similitudine dei triangoli ABC e ACD si ha la
AD : AC = AC : AB .
proporzione
Osservando che i triangoli considerati
sono isosceli, si ha AC = CD = DB ,
pertanto la proporzione diventa:
AD : DB = DB : AB ovvero
( AB − DB ) : DB = DB : AB. Pertanto
AC = BD è la sezione aurea del lato AB
Posto AC = BD = x si ha l’equazione
(1 − x) : x = x : 1 ovvero x 2 + x − 1 = 0 , la
cui radice positiva è
5 −1
.
2