ESERCIZI 1. Corso Prof. Fabio Podest`a 1] Data la funzione f : {x

ESERCIZI 1.
Corso Prof. Fabio Podestà
√
1] Data la funzione f : {x ∈ R; x ≥ 0} → R data da f (x) = x − x, determinare
la sua immagine e dimostrare che non e’ iniettiva. Trovare poi un sottoinsieme A
del dominio di f in modo che la restrizione di f ad A sia iniettiva.
2] Dire quale delle seguenti affermazioni e’ vera (giustificando la scelta!!):
a) ogni applicazione f : N → N che sia iniettiva e’ anche surgettiva;
b) ogni applicazione f : N → N che sia surgettiva e’ anche iniettiva;
c) ogni applicazione f : {0, 1, ..., 100} → {0, 1, ..., 100} che sia iniettiva e’ anche
surgettiva;
d) ogni applicazione f : {0, 1, ..., 100} → {0, 1, ..., 99} che sia surgettiva e’ anche
iniettiva
3] Trovare l’estremo superiore ed inferiore dell’insieme A = {x ∈ R;
e dire se si tratta di massimo e minimo.
x2 −|x|
1+x
< 1}
4] Dato l’insieme A dell’esercizio precendente, trovare tutti i punti di accumulazione di A che non appartengono ad A.
5] Trovare tutti i punti
di accumulazione del dominio D di definizione della
√
| x−|x||
√
funzione f (x) =
che non appartengano a D.
2
|x−1|·(2x +5x−3)
√
6] Trovare tutti i punti interni dell’insieme A = { −x4 ≤ 0} ∪ {x2 − 2|x| ≥ 5}.
7] Data la funzione f : R → R dove f (x) = x3 + ax + 1, con a parametro reale,
individuare tutti i valori del parametro a in modo che la funzione sia iniettiva.
8] Usando la definzione di limite, verificare che limx→1
1
x+2
9] Usando il teorema dei due carabinieri, calcolare limx→0
= 1/3.
sin x·cos x
1+tan2 x
Risposte 1]Immagine e’ data da {y ≥ − 14 }, A puo’ essere scelto come A = {x ∈
√
R; x ≥ 1}; 2] (c); 3] sup = 1 + √2 (non max), inf = −∞ perche’
√ l’insieme
√ non e’
limitato inferiormente; 4] x = 1+ 2, −1); 5] 12 , 1; 6] (−∞, −1− 6)∪(1+ 6, +∞),
7] a ≥ 0; 9] 0.
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1
2
ESERCIZI SUI LIMITI
Corso Prof. Fabio Podestà
Calcolare i seguenti limiti
x · sin(3x3 )
;
x→0 1 − cos(x2 )
(1) lim
1 √
(2) lim sin( ) · x;
x→0
x
√
1 + x − (1 + x2 )
sin(2 · x2 ) · (1 − cos3 (x))
√
;
(4) lim
(3) lim
x→0
x→0
x2
x10 + x9 + x8
(1 − cos(3x))2
ex·sin x − cos(2x)
(5) lim 2
;
(6) lim
x→0
x→0 x · (1 − cos x)
1 − cos x
p
p
p
p
(7) lim ( x2 + 1 − x) · x2 + 2;
(8) lim ( x2 + 2 + x) · x2 + 1
x→+∞
(9) lim
x→0
log(cos x)
;
x · sin(2x)
(11) lim (1 + sin x)1/x ;
x→0
x→−∞
sin(π · x)
(x − 1)
cos x − cos(2x)
(12) lim
x→0
1 − cos x
2
x − sin2 x
(14) lim 2
x→0 x + sin(x2 )
(10) lim
x→1
x2 + sin2 x
;
x→0 x2 + sin(x2 )
√
√
1+x− 41−x
sin3 (2x)
(15) lim
;
(16)
lim
x→0
x→0 x − x · cos2 (3x)
x + x2
√
cos x − cos x
(17) lim 2x
x→0 e
+ 1 − 2ex
(18) lim (x + 1) · log(x + 1) − x · log x − log(2x + 3)
(13) lim
x→+∞
Risposte: (1): 6; (2): 0; (3): 3; (4): −1/8; (5): 81/2; (6): 6; (7): 1/2; (8): 1;
(9): −1/4; (10): −π; (11): e; (12): 3; (13): 1; (14): 0; (15): 3/4; (16): 8/9; (17):
1/4; (18): 1 − log 2
NOTA: Ricordare i limiti notevoli: limx→0
x
limx→0 e x−1 = 1; limx→0 log(1+x)
= 1.
x
sin x
x
= 1; limx→0
1−cos x
x2
= 1/2;
3
ESERCIZI SULLA CONTINUITÀ E CALCOLO DELLE DERIVATE
Corso Prof. Fabio Podestà
sin x
1] Data la funzione f (x) = x·(x−π)
, dire se f è continua nel suo dominio D.
Esiste un modo per definire f anche in tutti i punti esterni al dominio in modo che
risulti una funzione continua ovunque ?
2] Si consideri la funzione
(
f (x) =
1−
√
| cos(ax)|
x2
2
x +a
per x > 0,
per x ≤ 0
Dire per quali valori di a ∈ R la funzione f è continua ovunque.
3] Data la funzione f (x) = x · log(1 + x) − 2 sin(x2 ),
(a) provare che f (x) è negativa in un opportuno intorno del punto 0, tranne che
per x = 0 (dove f vale 0) (Sugg.: Dividere la funzione per x2 e fare il limite per
x → 0);
(b) provare che esiste xo > 0 con f (xo ) = 0.
4]√Trovare il valore minimo della funzione f : [0, +∞) → R data da f (x) =
x − x. (Sugg.: trovarne l’immagine.)
5] Di una funzione f : [−1, 1] → R si sa che è continua e che
f (0) = 0, f (−1) = 3 f (1) = 2.
L’equazione f (x) = 1 possiede allora almeno quante soluzioni ?
6] Dimostrare che tra tutti i rettangoli di area fissata 1, quelli di perimetro
minimo sono i quadrati.
7] Sia data la funzione


f (x) =

√
√
3
1+ax− 1+x
x
sin x−x
x
0
per x > 0,
per x < 0
per x = 0
Dire per quali valori di a ∈ R la funzione f è continua ovunque.
8] (a) Dire per quali valori del parametro reale α > 0 la funzione f (x) = |x|α ·
sin(x) è derivabile nel punto xo = 0 (si noti che è definita per x ∈ R). Cosa si può
dire negli altri punti x ∈ R diversi da 0?
(b) Data la funzione f (x) = x · sin(|x|α ) per x 6= 0 e f (0) = 0, dove α ∈ R, dire
quando tale funzione è continua e quando è derivabile.
4
9] Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
2
x log x; logx x ; sinx x ; (sin x)2 · cos x; sin(x2 )/x; x · tan(2x); x2x ; (sin x)cos x ; x · ex −
√
√
2
x
(e−x /x); x · 1 − x2 ; log
x2
10] Sia f (x) = x2 · sin( x1 ) per x 6= 0 e f (0) = 0. Provare che f è derivabile
ovunque, ma la funzione derivata f 0 (x) non è continua in x = 0.
11]* Sia f : R → R una funzione continua tale che limx→±∞ f (x) = 0. Provare
che esiste almeno un punto di massimo o di minimo. Traccia: Se la funzione e’
identicamente nulla, non c’e’ nulla da dimostrare, nel senso che ogni punto sarà di
massimo e di minimo. Sia allora xo ∈ R un punto con f (xo ) 6= 0 e supponiamo
f (xo ) > 0. Chiamiamo A = f (xo ). (i) Provare che esiste a ∈ R, a > 0, tale che
f (x) < A per ogni x > a e per ogni x < −a. (ii) La funzione nell’intervallo [−a, a]
assume un valore massimo M (perche’ ?). Provare che f (x) ≤ M per ogni x ∈ R e
quindi M è il valore massimo. Cosa succede se invece f (xo ) < 0 ?
12]* Usando le stesse idee usate nell’esercizio precedente, provare che se f :
(0, 1) → R è una funzione continua tale che limx→0 f (x) = limx→1 f (x) = +∞,
allora esiste un punto c ∈ (0, 1) tale che f (c) sia il valore minimo di f .Trovare
1
quindi il valore minimo della funzione f (x) = x(1−x)
per x ∈ (0, 1) (se ne trovi
l’immagine)
Risposte. 1] Si; f (0) = f (π) = − π1 ; 2] a = 0, 4; 3] Si ha limx→0 fx(x)
=
2
1 − 2 = −1 e quindi per il teorema di permanenza del segno esiste un intorno I
di xo = 0 tale che per ogni x ∈ I, x > −1 e x 6= 0 si abbia fx(x)
< 0, ovvero
2
2
f (x) < 0. Poiche’ poi limx→+∞ f (x) = limx→+∞ x · (log(1 + x) − 2 sin(x
x ) = +∞,
esiste almeno un punto dove f (x) > 0 e quindi il teorema degli zeri si applica;
4] L’immagine di f è data da {y ∈ R; y ≥ −1/4} e quindi il valore minimo è
−1/4; 5] Ne possiede almeno due ; infatti basta applicare il teorema degli zeri alla
funzione g(x) = f (x) − 1; 6] Se x, y sono i lati del rettangolo si ha x · y = 1 e il
semiperimetro e’ dato
da f (x) = x + 1/x. Posto z = x + 1/x (z è positivo!) si
√
z± z 2 −4
ricava che x =
e se z ≥ 2, allora y ∈ Im(f ). Quindi il valore minimo
2
è 2 ottenuto per x = 1 e y = 1, cioè un quadrato; 7] a = 3/2; 8] (a) E’ sempre
derivabile in 0 per ogni α ≥ 0; infatti il limite del rapporto incrementale in 0
α
vale limx→0 |x| xsin x = limx→0 |x|α = 0. E’ derivabile in ogni punto di R; (b) è
sempre continua e derivabile per x 6= 0. Per x = 0, è continua per ogni α (teorema
dei due carabinieri), mentre è derivabile in 0 se e solo se α ≥ 0; 9] 1 + log x;
2
2
2
1−log x x cos x−sin x
;
; sin x·(2−3 sin2 x); 2x cos(xx2)−sin(x ) ; tan(2x)+2x(1+tan2 (2x));
x2
x2
2
2(1+log x)·x2x ; (sin x)cos x · cos
1−4
√log x ;
2x3 log x
x−(sin2 x)·log(sin x)
;
sin x
2
2
ex (1+2x2 )+e−x (2+ x12 );
1−2x2
√
;
1−x2
10] Il limite del rapporto incrementale in x = 0 vale limx→0 x·sin(1/x) = 0
per il teo. dei due carabinieri. Si ha che f 0 (x) = 2x sin(1/x) − sin(1/x) che non
ammette limite per x → 0; 12] il valore minimo richiesto vale 4.
5
ESERCIZI SULLA DERIVATA E SUE APPLICAZIONI
Corso Prof. Fabio Podestà
1] Si consideri la funzione g(x) = ex − 1 − x. Trovare dove è crescente, decrescente
e il suo valore minimo. Dedurre che ex ≥ 1 + x per ogni x ∈ R.
2] Si consideri la funzione f (x) = ex − 1 − x − x2 /2. Usando l’esercizio precedente,
dimostrare che f (x) ≥ 0 per x ≥ 0 e f (x) ≤ 0 per x ≤ 0. Dedurre infine che
limx→+∞ ex /x = +∞
3] Trovare il massimo e il minimo della funzione f (x) = x · log2 x nell’intervallo
[1/2, 2]. Data poi l’equazione f (x) = a con a ∈ R, dire per quali valori di a tale
equazione ammette una ed una sola soluzione x ∈ [1/2, 2].
4] Provare che −1/e ≤ x·log x ≤ 0 per ogni x ∈ (0, 1].Dedurre che limx→0 x1 +log x =
+∞.
5] Determinare al variare di a ∈ R il numero di soluzioni dell’equazione x1 +log x = a
(usare l’esercizio precedente).
6] Data la funzione f (x) = ex e la retta y = α(x − 1) con α ∈ R, trovare α in modo
che la retta sia tangente al grafico di f in qualche punto xo .
7] Calcolare massimo e minimo della funzione f (x) = 1−2x
1+x2 nell’intervallo [0, 1].
Dire poi per quali valori del parametro reale α la funzione f (x) = 1+αx
1+x2 è decrescente nell’intervallo [0, 1].
8] Discutere al variare del parametro reale α il numero di soluzioni dell’equazione
1 3
1+α 2
3 x − 2 x + αx − α = 0.
1
9] Dire per quali a ∈ R la funzione f (x) = x2 −log
x−a è definita per ogni x > 0.
q
1
10] Sia f (x) = 1+x
+ log( 1+x
2 ). Dire quale affermazione è vera.
(A) Se x ∈ (0, 1], il minimo di f non esiste e il massimo vale 1;
(B) se x ∈ (0, +∞) la funzione non è limitata e x = 0 è punto di minimo;
(C) l’equazione f (x) = 1/2 ha due soluzioni;
(D) se x ∈ (−1, 2), la funzione è sempre positiva;
(E) nell’intervallo (0,3/2) la funzione è iniettiva.
Risposte: 1] La derivata vale ex − 1 che è positiva se e solo se x > 0; quindi
x = 0 è punto di minimo in cui la funzione vale 0; ne segue che f (x) ≥ 0 per ogni
x. 2] Si ha f 0 (x) = ex − 1 − x che è sempre non negativa per l’esercizio precedente.
Quindi f è sempre crescente e la tesi segue dal fatto che f (0) = 0;3] min = 0,
max = 2 log2 2; 21 log2 2 < a ≤ 2 log2 2 oppure a = 0; 4] La derivata è 1 + log x che
è positiva se e solo se x > 1/e. Quindi 1/e è il punto di minimo dove f vale −1/e;
si noti poi che f (x) ≤ 0 per ogni x ∈ (0, 1]. Si ha che 1 − 1e ≤ 1 + x log x ≤ 1 per
ogni x ∈ (0, 1] e si usi il teorema dei due carabinieri; 5] due soluzioni per a > 1, una
per a = 1 e nessuna per a < 1. 6] α = e2 , xo = 2; 7] max = 1, min = −1/2; α ≤ 0
[si tratta di vedere per quali α il polinomio −αx2 − 2x + α ≤ 0 per ogni x ∈ [0, 1];
Facendo il limite per x → 0, troviamo α ≤ 0; si calcolino poi le radici e si imponga
6
che [0, 1] stia all’interno del’intervallo delle radici.] 8] 1 soluzione per α > 0 oppure
α < −1/3; due sol. per α = 0 e α = −1/3 e tre sol. per −1/3 < α < 0 [I punti
di max e min sono {1, α} (non nell’ordine!) e f (α) > 0 se e solo se α < 0, mentre
f (1) > 0 se e solo se α < −1/3]. 9] a < 12 (1 + log 2). 10] (D)
ESERCIZI SU de L’HOPITAL1 , E LA FORMULA DI TAYLOR2
Corso Prof. Fabio Podestà
1] Usando il teorema di De L’Hopital (se possibile) calcolare i seguenti limiti:
lim (
x→0
1
1
−
);
x sin x
tan x − sin x
;
x→0
x3
lim
lim x · log(
x→+∞
lim (
x→0
1
1
−
);
2
x
tan2 x
lim (
x→0
x3 sin x + sin4 x
;
x→0
(1 − cos x)2
lim
1
1
− log( )).
x
x
x3 (log x)2
x→+∞
ex
lim
1
x+1
sin x 12
log(sin x) + sin x − 1
); lim (
) x ; lim (ex + e3x ) x ; lim
x→+∞
x − 1 x→0 x
(x − π/2)2
x→π/2
2] Usando la formula di Taylor e il principio di sostituzione degli infinitesimi, calcolare gli sviluppi di Taylor nel punto xo = 0 delle seguenti funzioni fino all’ordine
specificato in parentesi quadre.
f (x) = sin(x2 · cos x) [6];
f (x) = 1/ cos x [4];
f (x) = cos(
f (x) = e2x sin x [6];
3] Calcolare il
lim
x→0
x
) [4]
1+x
f (x) = log(2ex − cos x) [4]
x
) − e2x sin x
cos( 1+x
x · log(2ex − cos x)
4] Dato il limite limx→0 x1α ( sinx x − sinx x ), dire quale delle seguenti affermazioni è
vera (una sola lo è!):
(A) il limite esiste solo se 0 < α ≤ 2;
(B) il limite vale +∞ se α > 2;
(C) il limite esiste se α ≤ 2;
(D) esiste α ∈ R tale che il limite valga 1;
(E) il limite esiste se e solo se α = 0.
Risposte. 1] Nell’ordine: 0; 2/3; +∞; 1/2; 8; 0; 2; e−1/6 ; e3 ; −1;
1 2
4
4
2] Nell’ordine: x2 − 12 x4 − 18 x6 + o(x6 ); 1 − 12 x2 + x3 − 35
24 x + o(x ); 1 + 2 x +
5 4
5 4
41 6
1 2
1 4
4
2
6
4
24 x + o(x ); 1 + 2x + 3 x + 60 x + o(x ); 2x − 2 x + 4 x + o(x )
3] − 54 . 4] (C).
1 Guillaume
2 Brook
Francois Antoine de l’Hopital (1661 - 1704)
Taylor (1685-1731)
7
ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE
Corso Prof. Fabio Podestà
1] Tracciare un grafico approssimativo della funzione f (x) = xx + x−x .
2] Discutere al variare di k ∈ R il numero delle soluzioni dell’equazione
1
x · e log x = k.
3] Tracciare un grafico approssimativo delle funzioni seguenti
1
f (x) = x x −1 ;
f (x) = (sin x)sin x ;
f (x) = log(|1 − sin x|) − 2 log(| cos x|).
4] Dire quante soluzioni hanno le seguenti due equazioni
x2 − 4x + 2 + √
x
= 0,
x−1
x2 − 2x · log x − 2 = 0.
5] Provare che per ogni x > 0 vale
x2 + 1
x2
≥
.
8
(x + 1)2
(Sugg. Studiare il grafico della funzione differenza e di questa funzione trovarne il
valore minimo.)
6] Calcolare il seguente limite
√
cos( x) − e−x/2
lim
.
x→0 log(cos2 x − x2 )
(Risposta: 1/24.)
7] Calcolare il seguente limite
lim 2x3 log(
x→+∞
x2 + 1
) − 2x2 − 3x
x2 − x
(Sugg. Porre x = 1/t e considerare il limite quando t → 0, usando Taylor. Il limite
vale 2/3)
8
ESERCIZI GEOMETRIA I.
1] Dire per quali valori del parametro reale k ∈ R i vettori di R3 dati da v1 =
t
(1, 2, −1), v2 = t (−1, 0, 2) e v3 = t (k, 2, 1) sono linearmente indipendenti e calcolare
dim L(v1 , v2 , v3 ).
2] Sia dato U = {t (x, y, z) ∈ R3 ; 2x+y−5z = 0} e V = {t (x, y, z) ∈ R3 ; x+6y+2z =
0}. Trovare una base per U e V ed una base per l’intersezione U ∩ V .
3] Sia U l’insieme dei polinomi p(x) a coefficienti reali di grado minore o uguale a
3 tali che p(1) = 0. Provare che U e’ uno spazio vettoriale; trovarne una base e la
dimensione.
4] Sia V = {t (x, y, z) ∈ R3 ; 3x − 2y + 4z = 0} e sia W = L(t (3, −1, 0), t (1, 1, 1)).
Trovare una base di V ∩ W e un’equazione del piano W .
5] Dato il vettore t (1, 2, 1) ∈ R3 , completarlo ad una base di R3 .
6] In R4 si consideri il sottoinsieme V = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x+2y−t = 0, 2x−z+3t =
0}. Provare che V e’ un sottospazio e trovarne una base; completare quindi la base
trovata ad una base di R4 . Dato poi il sottospazio W = {t (x, y, z, t); 10x + 16y +
kz − 5t = 0}, discutere al variare di k la dimensione di V ∩ W .
7] Sia f : R2 → R2 una applicazione lineare tale che f (t (1, 2)) = t (1, 2) e f (t (1, 3)) =
t
(−1, −2). Trovare l’espressione di f (t (x, y)) per ogni t (x, y) ∈ R2 . Trovare quindi
l’immagine di f e il suo nucleo.
8] Sia f : R3 → R2 data da f (t (x, y, z)) = t (2x + y, ky + 2z). Calcolare l’immagine
di f e il suo nucleo al variare del parametro reale k ∈ R.
9] Sia f : R2 → R3 un’applicazione lineare tale che f (t (1, 1)) = t (1, 1, 1) e
f (t (1, 0)) = t (1, a, 1). Dire al variare di a ∈ R se f e’ iniettiva e calcolare l’immagine
di f .
10] Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare data da
f (t (x, y, z)) = t (2x + y − z, kx − y, −x + 2y − z).
Calcolare al variare del parametro reale k ∈ R la dimensione dell’immagine e del
nucleo.
9
SOLUZIONI ESERCIZI GEOMETRIA I
1] I vettori v1 e v2 sono lin. indip. perche’ v1 = av2 implica 2 = a · 0 = 0,
assurdo. Quindi basta guardare quando v3 = av1 + bv2 per certi a, b ∈ R. Questo
si traduce nel sistema dato da a − b = k, 2a = 2, −a + 2b = 1 che e’ equivalente a
a = 1, b = 1 e 1 − 1 = k; quindi se k = 0 i vettori sono li. dip. e la dimensione dello
spazio da essi generato vale 2 perche’ v1 , v2 sono una base; se k 6= 0, i tre vettori
sono lin. indip. e la dimensione cercata vale 3.
2] U e’ dato da tutti i vettori del tipo t (x, 5z−2x, z) = xt (1, −2, 0)+z t (0, 5, 1) mentre
V e’ dato dai vettori del tipo t (−6y − 2z, y, z) = y t (−6, 1, 0) + z t (−2, 0, 1). Per
l’intersezione bisogna mettere a sistema le due equazioni, ottenendo y = 5z−2x, x =
−6y − 2z e quindi y = 5z − 2(−6y − 2z) = 9z + 12y, x = −6y − 2z, ovvero
z = −11/9y, x = −6y + 22/9y = −32/9y. Quindi l’intersezione ha come base il
vettore t (−32/9, 1, −11/9) o, se si preferisce, t (−32, 9, −11).
3] Se p1 (x), p2 (x) ∈ U , allora (p1 + p2 )(1) = p1 (1) + p2 (1) = 0 + 0 = 0; inoltre
a · p1 (1) = a · 0 = 0. Se p(x) = ax3 + bx2 + cx + d e’ un polinomio di grado
minore o uguale a tre, allora p ∈ U se e solo se a + b + c + d = 0, ovvero p(x) =
ax3 + bx2 + cx − a − b − c = a(x3 − 1) + b(x2 − 1) + c(x − 1) e la base e’ data da
x3 − 1, x2 − 1, x − 1, quindi la dimensione e’ 3.
4] Troviamo un’equazione {ax + by + cz = 0} di W . Abbiamo che i vettori base
di W devono soddisfare l’equazione e quindi 3a − b = 0, a + b + c = 0, ovvero
b = 3a, c = −4a e l’equazione e’ a(x+3y −4z) = 0 ovvero x+3y −4z = 0. Mettendo
a sistema con l’equazione di V si ha x = 4z−3y e 3(4z−3y)−2y+4z = 16z−11y = 0,
cioe’ y = 16/11z, x = 4z − 48/11z = −4/11z ed una base dell’intersezione e’
t
(−4/11, 16/11, 1).
5] Prendiamo un vettore che non stia sulla retta generata da t (1, 2, 1), ad esempio
t
(1, 0, 0) = v2 . Troviamo ora l’equazione del piano generato da questi due vettori:
ax + by + cz = 0 deve essere soddisfatta dai due vettori, ovvero a = 0, a + 2b + c = 0,
cioe’ a = 0, c = −2b e l’equazione e’ y−2z = 0. Basta allora prendere il terzo vettore
che non soddisfi a questa equazione, ad esempio t (0, 1, 0).
6] Risolvendo il sistema di equazioni che definiscono V abbiamo t = x+2y, z = 2x+
3t = 5x + 6y e quindi i vettori di V sono tutti e soli quelli della forma xt (1, 0, 5, 1) +
y t (0, 1, 6, 2). Prendiamo un terzo vettore che non stia in V , ovvero non soddisfi
ad almeno una delle due equazioni. Lo scegliamo in modo che non soddisfi ad
una delle equazioni, ma soddisfi all’altra. Ad esempio, prendiamo v3 = t (0, 0, 1, 0).
Allora lo spazio generato dai tre vettori e’ contenuto nello spazio {x + 2y − t = 0};
poiche’ hanno la stessa dimensione (ovvero 3), essi coincidono. Per scegliere il
quarto vettore, basta prendere un vettore che non soddisfi a {x + 2y − t = 0},
es. t (1, 0, 0, 0). Mettendo a sistema l’equazione di W , abbiamo t = x + 2y, z =
2x + 3t = 5x + 6y, 5x(1 + k) + 6(1 + k)y = 0. Ne segue che se k 6= −1, 5x = −6y, t =
−2/3y, z = 0 e V ∩ W e’ generata da t (1, −5/6, 0, −2/3). Se invece k = −1 l’ultima
equazione e’ un’identita’ e quindi V ⊂ W e la dimensione dell’intersezione e’ due.
7] Notiamo che t (1, 2), t (1, 3) e’ una base di R2 ; dato t (x, y) scriviamolo come una
comb. lineare di questi vettori. Abbiamo t (x, y) = at (1, 2) + bt (1, 3). Risolvendo il
10
sistema in a, b si trova a = 3x−y, b = y−2x. Quindi f (t (x, y)) = (3x−y)f (t (1, 2))+
(y − 2x)f (t (1, 3)) = t (5x − 2y, 10x − 4y). Il nucleo e’ dato da {5x = 2y} che ha
dimensione uno. L’immagine, che ha dimensione uno, e’ generata da t (1, 2).
8] Il nucleo e’ dato da {y = −2x, k(−2x)+2z = 0}, ovvero e’ generato da t (1, −2, k)
ed ha dim. 1. L’immagine ha dimensione due e quindi f e’ surgettiva per ogni k.
9] L’immagine e’ generata da t (1, 1, 1) e t (1, a, 1). Questi sono lin. dipendenti se
e solo se a = 1. Quindi l’immagine ha dimensione due se e solo se a 6= 1 ed e’
iniettiva se e solo se a 6= 1. Se a = 1 l’immagine e’ la retta generata da t (1, 1, 1),
mentre se a 6= 1 l’immagine e’ il piano x = z.
10] Calcoliamo il nucleo ponendo a sistema 2x+y−z = 0, kx−y = 0, −x+2y−z = 0,
ovvero y = 3x, z = 7x, y = kx. Quindi se k 6= 3 l’unica soluzione e’ x = y = z = 0 e
il nucleo ha dimensione 0 e f e’ surgettiva, mentre se k = 3 il nucleo ha dimensione
1 e dim Imf = 2.
SISTEMI LINEARI
1] Per ciascuno dei seguenti sistemi lineari, si dica se il sistema e’ risolubile e si
trovi la dimensione dello spazio di soluzioni al variare di k ∈ R.

½
½
 2x + 2y − kz = 1
2x + 3y − kz = 1
x + ky − 3z = 1
4x + 6y − 2z = −1
4x + 6y − 2z = −1
kx + y − 2z = −1

x−y
=2
(Sol.:(1) se k 6= 1 ∞1 -soluzioni; se k = 1 ∅. (2) ∞1 sol. ∀k ∈ R. (3) 1 sola sol. per
k 6= 4/5; se k = 4/5, ∅.)
2] Sia dato un sistema lineare con n incognite e k equazioni. Dire quale delle
seguenti affermazioni e’ vera:
A) se il sistema e’ omogeneo e k = n + 1 allora vi sono almeno ∞1 - soluzioni;
B) se il sistema e’ non omogeneo e n = k + 1 vi sono almeno ∞1 -soluzioni;
C) se il sistema e’ omogeneo e n = k + 2 vi sono almeno ∞2 -soluzioni;
D) se il sistema e’ non omogeneo e k = n + 2, vi sono almeno ∞2 -soluzioni;
E) nessuna delle precedenti e’ vera.
11
ESERCIZI GEOMETRIA II
1] Discutere al variare del parametro reale k la risolubilita’ dei seguenti sistemi
lineari, indicando anche la dimensione dello spazio delle soluzioni.



=1 
y−z−t
= 1  2x − y + 4z + kt = −2
 ky − z
2x − y + 3z = k
kx − y + 3z + 5t = 1
−2x + y − 7z + t = −1



2x + 2z
=2
2x + kz + 4t
=k
4x − 2y + 5z + 4t = k
(Sol.nell’ordine: (1) 1 soluzione per k =
6 1, ∞1 - sol. per k = 1; (2) ∞1 -sol. per
k 6= 2 e ∞2 -sol. per k = 2; (3) ∞1 -sol. per k 6= 1 e ∅ per k = 1.)
2] Calcolare la caratteristica delle seguenti matrici al variare del parametro k ∈ R.

 

k+1
1
1
1 −1 0 −2
 2 k 1 −1   k + 2 k 2 + 1 2 
3 1 4 6
2k
1
1
(Sol. nell’ordine: (1) car = 3 se k 6= −1, car = 2 per k = −1 ; (2) car = 3 se
k 6= ±1, car = 2 se k = ±1.)
3] Calcolare i determinanti delle seguenti

 1 1 1
0 1 2004
2 2 2
 0 0
π  
3 3 4
−1 0
0
4 5 6
matrici:
 
1
1
3  1
 
5
1
7
−1
−1
1
−1
1
1
−1
−1
18

1
−1 

1
1
(Sol. nell’ordine: −π; −1; −8.)
4] Calcolare al variare di a, b ∈ R le caratteristiche delle seguenti matrici:

 

1
2 a −1
2 −1 1 b
 1 −1 1 b   a 1 b 1 
−1 3 0 3
0 a 0 −2
(Sol. nell’ordine: car = 2 per √(a, b) = (5/2, −11/5),
altrimenti car = 3; car = 2 per
√ 1+ 5
√ 1−√5
(a, b) = (−2, −1), (1 + 5, 2 ), (1 − 5, 2 ), altrimenti car = 3.)
5] Date le due rette r = {x − y = 1, 2x − 3z = 1} e s = {x = 3t + 2, y = 3t + 1, z =
at + b, t ∈ R} dire per quali valori dei parametri a, b le due rette coincidono (Sol.
a = 2, b = 1). Dato poi il punto P = (1, 1, −2), scrivere un’equazione cartesiana
della retta passante per P e parallela a r (Sol.:{x = y, 2x − 3z = 8}).
6] Dati i due piani π1 = {x − y = 1} e π2 = {2x − y + z = 3} e il punto P = (1, 1, 1),
scrivere un’equazione cartesiana della retta passante per P e parallela ai due piani.
(Sol. {x = y, y = 2 − z}.)
7] Dati i piani π1 = {x − z = 18}, π2 = {2x − 3y + z = 2} e data la retta
r = {y = z, x = y + z} trovare l’equazione del piano parallelo a π1 e passante
per il punto di intersezione r ∩ π2 . (Sol:{x − z = 1}.)
8] Scrivere l’equazione del piano passante per (1, 2, 1) e parallelo alle due rette
r = {x−y = 1, 2x+3z = 18} e s = {x−2y = 0, 2x+z = 1} (Sol.:10x−8y+3z = −3.)
12
ESERCIZI GEOMETRIA III
1] Date le due rette r = {x+y = z, z +x = 2y +7} e s = {z −3x = 4, y −ax = a+1},
dire per quali valori di a ∈ R le due rette sono parallele e per quali ortogonali.
Possono essere perpendicolari ? (Sol. a = 2, a = −5 rispettivamente; no)
2] Dato il piano π = {x + 2y − 3z = 10} e il punto P = (1, −1, 1), trovare il piede
H della perpendicolare abbassata da P al piano π. Trovare quindi il punto P 0
simmetrico di P rispetto al piano π. (Sol: H = (2, 1, −2) e P 0 = (3, 3, −5))
3] Data la retta r in forma parametrica r = {x = 1 − t, y = 2 − t, z = −1 +
2t; t ∈ R} e il punto P = (1, 1, k), determinare l’equazione del piano π passante
per P e contenente r; trovare poi i valori del parametro k ∈ R in modo che π sia
perpendicolare al piano x + 2y − 4z = 18 (Sol:(1 − k)x + (k + 1)y + z = k + 2; k = 1).
4] Trovare l’equazione del piano passante per i punti P = (1, 1, 1), Q = (2, 1, −1) e
R = (1 + t, −t + 2, 2t + 1) e trovare i valori del parametro t ∈ R in modo che il piano
trovato sia parallelo alla retta {z = 1; x + y = 0} (Sol: 2(1 − t)x − 4ty + (1 − t)z =
−7t + 3; t = −1).
5] Date le due rette r = {x − y = 1, z − x = 1} e s = {x + y = 2, y + z = 0}
trovare gli eventuali punti P ∈ r e Q ∈ s tali che la retta che congiunge P con Q
sia contemporaneamente perpendicolare alla retta {x = z = 0} e parallela al piano
{4x + 3y − z = 4} (Sol: P = (2, 1, 3), Q = (1, 1, −1)).
6] Date le due rette r = {x − y = 1, 2x − z = 2} e s = {3x + z = 1, y + 2z = 0}
verificare che sono sghembe e trovare un piano che contiene r ed e’ parallelo a s
(Sol: 3x − y − z = 3).
7] Date le due rette r = {x − y + z = 0, ax + y + z = a} e s = {2x − y + az =
1, x + y + z = 0}, discutere
al variare di a ∈ R la loro posizione reciproca (Sol:
√
sghembe per a 6= 1±2 5 , incidenti altrimenti, mai ortogonali).
8] Date le due rette r = {x + y + z = 1, 2x − z = 0} e s = {x = −t, y = t − 1, z =
2t + 1; t ∈ R} e dato il punto P = (1, 0, 1), individuare se possibile una retta
passante per P che intersechi contemporaneamente r e s. (Sol: si trova la retta che
congiunge P con il punto (0, −1, 1) ∈ s, quindi {z = 1, x = y + 1}.)
9] Si trovi la retta passante per il punto (2, 1, −1), ortogonale alla retta {x−y+2z =
1, 2x + y − z = 0} e anche incidente la retta {x = z + 1, y = −z + 1} (Sol.:
{x − 5y − 3z = 0, x + 2y + z = 3} ed ha come vettore direttore (1, −4, 7).)