Possibile copertina_marrone - Euclide. Giornale di matematica per i

Gli alunni delle scuole d’Italia
hanno scritto su
Matematica ed Arte:
Connubio ideale
Pixel di De Agostini Luca & C. s.n.c.
INDICE
Presentazione
La prospettiva, 3^B Liceo Sc. ‘’Darwin’’, Roma.
Illusioni e realtà nelle opere di Escher e Penrose, S.I.A. “A. Guarasci”, Rogliano (CS).
La geometria degli origami, Scuola Sec. di I° Gr. “Don Milani”,. Genova,
Brunelleschi, Una misteriosa cupola matematica, 4^B Ist. Tec. Inf. ‘’A. Meucci’’, Firenze,
MatemArte, 2^L Scuola. Sec. 1°GR ‘’R. Ortiz’’ e 5^C Scuola Pr. “Villaggio Celdit”, Chieti.
Le meridiane di Roma, un itinerario turistico, 3^ Ist. Tec. Turistico ‘’Darwin’’, Roma,
Come funziona una meridiana, 3^A Ist. Tec. Turistico ‘’Darwin’’, Roma.
Matematica e Arte, due mondi complementari, 1^B Liceo Sc. ‘’E. Siciliano’’, Bisignano (CS),
Traslazioni e simmetrie nei quadri di Escher, Scuola Sec. di I° Gr., Gramolazzo (LU),
Alla scoperta della Collegiata di S. Maria, 3^A Sc. Sec. 1°Gr, Figline Valdarno (FI),
Matematica e arte secondo noi, Scuola Sec. di I° Gr. , Gramolazzo (LU).
Matematica e Arte, 1^B Liceo Sc. ‘’Enzo Siciliano’’, Bisignano (CS).
La geometria descrittiva nell’opera di Gaudì, S.I.A.“A.Guarasci”, Rogliano (CS),
Matematica e Arte, connubio ideale, 1^A Liceo Sc. ‘’Enzo Siciliano’’, Bisignano (CS).
Arte e matematica secondo noi, Scuola Sec. di I° Gr. , Gramolazzo (LU),
La sezione aurea nell’Arte, S.I.A. “A. Guarasci”, Rogliano (CS).
Arte e Matematica, connubio ideale, 1^B Liceo Sc. ‘’Enzo Siciliano’’, Bisignano (CS).
Presentazione
Nell’aprile 2011 è nato Euclide.Giornale di matematica per i giovani soprattutto con il fine di dare la possibilità ai nostri giovani di poter pubblicare un loro lavoro e lo scopo è stato raggiunto in quanto sono pervenute moltissime ricerche che
avevano fatto con la guida dei loro insegnanti.
Ma nel 2013 si è pensato di bandire dei concorsi con tema fisso con la caratteristica di non proclamare vincitori e di pubblicarli tutti nel Capitolo 8 di Euclide,
sempre se meritevoli. Sia gli alunni che gli insegnanti ricevono un Attestato di partecipazione. Per uniformità si chiede di attenersi alle “Modalità di stesura” che vengono inviate a tutti coloro che desiderano partecipare.
Il successo della prima edizione ci ha invogliato a continuare l’esperi-mento
ed i risultati sono stati sempre ottimi.
I Concorsi hanno avuto nell’ordine i seguenti temi:
Concorso Euclide-Scuola 2013 – “L’argomento che mi ha appassionato di più”.
Concorso Euclide-Scuola 2014 – “Come sarebbe la nostra vita senza la matematica”
Concorso Euclide-Scuola 2015 – “Matematica e Arte: Connubio ideale”.
Ed il prossimo sarà:
Concorso Euclide-Scuola 2016 – “Matematica: Cosa mi piace di più e cosa di meno”.
La partecipazione al primo concorso è stata estesa agli alunni delle scuole secondarie di primo e secondo grado e costituiva un sondaggio su come avrebbero
reagito i ragazzi su un argomento al di fuori delle materie curricolari.
Per il secondo ho voluto fare un esperimento che ritenevo azzardato, ovvero
estendere la partecipazione al concorso sia alle scuole primarie, limitatamente alle
ultime due classi, sia agli insegnanti.
Pensavo di essermi spinto troppo oltre, quando invece venni a sapere che
“Il Gruppo di Ricerca e Sperimentazione in Didattica e Divulgazione della Matematica” di Bologna aveva inviato un messaggio a tutte le insegnanti delle scuole primarie collegate al Gruppo di Ricerca invitandole a partecipare a questo concorso ed
una di queste insegnanti nel suo intervento a un congresso sulla didattica della matematica così si espresse:
“ …La matematica che si fa in aula non può bastare a giustificare se stessa. Si deve con frontare, inevitabilmente, con quella che si riscontra e che vive esterna all’aula, che spesso è rappresentata e proposta in modo diverso.
Sempre di più, in questi ultimi anni, si sente parlare del “senso da dare alla matematica”. Per
l’anno 2014, per esempio, la redazione di Euclide, un giornale di matematica per i giovani, ha
proposto come tema di concorso agli allievi, dalla quarta primaria all’ultimo anno della scuola
secondaria, il tema: Come sarebbe la nostra vita senza la matematica. Lo scopo è quello di
sensibilizzare gli allievi alle numerose applicazioni dirette e indirette che la matematica può
avere nella vita quotidiana… La matematica si incontra dappertutto; è nelle espressioni della
natura, così come è nelle creazioni culturali umane (D’Amore, 2007)…”.
A questo concorso hanno partecipato molti alunni delle scuole primarie, ed
anche un’insegnante. Alcuni alunni di una quarta primaria della Scuola “San Biagio
Platani – Francesca Morvillo” di Roma organizzarono, sulla scorta dei contenuti dei
loro elaborati, un simpatico spettacolo teatrale che è stato ospitato nel corso del
28° Convegno Nazionale di Castel San Pietro (BO).
Molti sono stati gli elaborati pervenuti anche dalle scuole superiori e tutti di
ottima qualità. Ma la cosa che mi ha fatto molto piacere sono state le dichiarazioni
di alcuni docenti che mi hanno riferito che su questo tema si erano cimentati con
molto entusiasmo molti ragazzi che sino ad allora si erano dimostrati apatici nei
confronti della matematica.
Per il terzo concorso, dal titolo “Matematica e Arte: Connubio perfetto”, sono pervenuti molti eccellenti lavori da scuole dell’Abruzzo, della Calabria, del Lazio,
della Liguria e della Toscana e per tale motivo si è ritenuto opportuno raccoglierli in
un volume e offrirlo come ricordo a tutti partecipanti, sia alunni che insegnanti.
Successivamente sarà messo in rete su Euclide come Ebook a disposizione di tutti.
La Redazione di Euclide
Antonio Salmeri
Alunna: Gaia Marica, 3^ B Liceo, IISS Charles Darwin, Roma
Referente: Assunta Chiummariello
Introduzione
Alcune caratteristiche della percezione visiva sono sempre state utilizzate dall’uomo
nella sua esperienza del mondo reale; consapevolmente o meno, chi opera nello
spazio tridimensionale sa che un’immagine recepita dall’occhio è composta di forme
variabili con la posizione di chi guarda; sa anche che la grandezza apparente di un
oggetto diminuisce con l’aumento della distanza.
Vari altri indizi (luminosità, nitidezza, ecc.) forniscono all’osservatore la percezione
tridimensionale.
Fin dall’antichità queste caratteristiche furono impiegate in modo empirico da chi,
artista o tecnico, dovesse rappresentare il mondo reale attraverso immagini o segni;
con la cultura ellenica però questi elementi furono oggetto di indagini scientifiche.
Così come per tutte le branche del sapere, soggette a teorizzazioni che fondarono le
scienze antiche, anche nel campo della visione si operò uno studioso rigoroso, che
avrebbe istituito una nuova scienza: l’ottica.
La scienza della visione nell’antichità
L’opera più antica che possediamo è dovuta a Euclide ( III secolo a.C. ), padre della
geometria, che nel suo trattato sull’Ottica indagò il campo della visione attraverso
gli strumenti e i metodi della geometria. Il trattato si occupa della visione di oggetti
uguali, della profondità, del movimento.
Stabilite alcune premesse iniziali con rigore dimostrativo Euclide definisce una serie
di teoremi; alcuni di essi saranno decisivi nel Rinascimento per la nascita della
prospettiva.
Per esempio l’annuncio del teorema 5 così recita: “Grandezze uguali poste a
distanze diverse, appaiono diverse, e più grande appare quella che sta più vicina
all’occhio”.
Oppure il Teorema 6 dice: “ Segmenti paralleli appaiono convergenti, e la loro
distanza più vicina all’occhio appare più grande di quella lontana”. Quest’ultimo
teorema descrive implicitamente la convergenza verso un punto, che verrà poi
definito dalla scienza prospettica come punto di fuga.
Il trattato di Euclide non prendeva in esame i problemi della rappresentazione e le
tecniche grafiche che potevano scaturire dalle sue teorie geometriche. Ma gli echi di
queste indagini scientifiche consentirono agli artisti del mondo greco e romano di
mettere a punto delle tecniche grafiche che suggeriscono la tridimensionalità nella
pittura e nei fondali scenografici. Non a caso lo storico romano Vitruvio ( I secolo
a.C. ) nel suo trattato De Architectura descrive queste tecniche codificandole sotto il
nome di scaenographia.
Ma la base scientifica di queste tecniche doveva essere ben chiara se è vero che il
poeta Lucrezio ( I secolo a.C. ) nel suo poema De rerum natura così si esprime “ Un
portico, sebbene consti di un tracciato ( Di colonne ) a eguale distanza e
prolungandosi ininterrottamente sia composto da colonne di uguale altezza, tuttavia
quando visto nel suo insieme da una sua estremità si restringe verso il vertice di un
cono, avvicinando il tetto al pavimento e tutto il lato destro al sinistro, finchè non
convergano nell’oscura punta del cono.
La percezione visiva in questo caso è chiaramente ricondotta a una descrizione
geometrica, in cui appare anche il termine cono, che in futuro diventerà il cono
visivo o la piramide visiva dell’Alberti.
L’Ottica
L’ottica fu una delle prime teorie scientifiche ellenistiche e quello di Euclide il primo
trattato di ottica geometrica della storia. Dopo aver sistemato tutte le coscienze e il
sapere matematico della tradizione culturale greca che lo aveva preceduto, Euclide
dispone di uno strumento formidabile che egli utilizza per studiare il processo visivo,
partendo dall’idea che il risultato del rapporto fra l’occhio umano e la realtà
naturale sia indagabile.
Partendo dunque dai phaenomena, dalle percezioni visive, Euclide applica ad esse gli
strumenti che ha a disposizione, le figure geometriche: i segmenti, le semirette, gli
angoli, i coni.
La razionalizzazione delle percezioni visive rende la realtà conoscibile e misurabile e
permette ad Euclide di costruire una teoria. Egli scrive dunque un trattato di
geometria, non formula una teoria della luce e della percezione visiva.
I raggi visuali della sua costruzione logica non sono reali, e vengono tracciati da
Euclide attraverso delle semirette, che hanno origine nell’occhio e che poi si
estendono verso le cose che l’occhio vede, formando un cono. La costruzione del
cono visuale è un altro elemento fondamentale del pensiero euclideo, il cono dei
raggi esce dagli occhi per dare un modello della percezione visiva.
L’ampiezza dell’angolo al vertice del cono determina la grandezza apparente dell’oggetto e i raggi formano un insieme discreto con una distanza angolare reciproca
variabile in quanto il modello è creato in base alla struttura della retina dell’occhio
umano.
L’opera è senza prologo, inizia con sette premesse o postulati, che verranno
successivamente presi in esame, nei quali sono esposti gli elementi su cui si fonda
l’opera: i segmenti rettilinei, o raggi, il cono visuale, ed i rapporti angolari che si
generano fra soggetto e oggetto nel fenomeno visivo.
Seguono cinquantotto teoremi con dimostrazioni e disegni, oggetto di successiva
trattazione, in cui sono analizzate le percezioni visive ed alle linee tracciate con la
riga, che sono proprie delle figure degli Elementi, sono sostituite le direzioni dei
raggi visuali.
L’Ottica è stata studiata per tutta l’antichità, nel medioevo e agli inizi dell’evo
moderno ed è ancor oggi alla base dell’ottica geometrica.
La scienza della visione nel Medioevo
Il percorso delle tecniche artistiche dell’antichità fino a tutto il Medioevo si sviluppò
parallelamente al pensiero scientifico; la scienza della visione, l’ottica, tradotta in
latino con il termine di Perspectiva, mantenne connotati esclusivamente geometrici
e matematici, mentre le tecniche di rappresentazione tridimensionale rimasero
caratterizzate da uno spirito empirico, ormai privo del supporto scientifico che le
tecniche antiche forse possedevano.
Il sapere degli antichi fu mantenuto in vita dalla cultura araba, che approfondì gli
aspetti fisiologici della visione; tra gli altri l’astronomo e matematico Alhazen (9651038), studiando la fisiologia dell’occhio, sostenne che dagli oggetti osservati
partono dei raggi visivi che convengono nel globo oculare.
La notorietà delle opere di Alhazen contribuì a far risorgere in Europa l’interesse per
l’Ottica, e ispirò trattati di Perspectiva in grandi studiosi del tardo medioevo, quali
Roberto di Lincoln, detto Grossatesta, Ruggero Bacone, Witelo, detto Vitellone e
Biagio Pelacani.
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Parallelamente la ricerca artistica si spinse verso la conquista definitiva della
spazialità; la raffigurazione pittorica non era più una rappresentazione concettuale,
ma visione dello spazio reale interpretato dall’artista con tonalità cromatiche e
descrizioni ambientali.
A questo scopo vennero elaborate regole pratiche per una rappresentazione
verosimile alla realtà; la tecnica della visione di scorcio, la convergenza apparente di
linee parallele, il dimensionamento delle figure sulla base della distanza, anche se in
modo empirico, si fecero largo nell’arte del Trecento, soprattutto grazie a Duccio di
Boninsegna ( 1255-1319 ), Giotto ( 1267-1336 ) e Ambrogio Lorenzetti ( 1285-1348 ).
Sotto il segno della loro arte la pittura conquistò irrevocabilmente la ricerca spaziale
in modo sempre più esigente e rigoroso, fino alla definitiva conquista rinascimentale
di una moderna tecnica di rappresentazione basata su fondamenti scientifici.
L’invenzione della prospettiva nel Rinascimento
Il fervore economico e culturale che permeò tutta l’Italia,
e in particolare Firenze dall’inizio del XV secolo, produsse
la miracolosa fioritura della prospettiva.
Questa nuova tecnica, esplicitamente concepita al servizio della rappresentazione artistica, ebbe un padre universalmente riconosciuto in Filippo Brunelleschi ( 13771446 ), il grande architetto che aprì la strada della nuova
arte rinascimentale con capolavori, il primo fra tutti la
spettacolare cupola di S.Maria del Fiore a Firenze, che
hanno suscitato ammirazione universale.
I suoi studi e le sue esperienze misero a punto una nuova
disciplina scientifica che si distingueva nettamente dall’Ottica antica e medievale; mentre quest’ultima era
esclusivamente finalizzata allo studio delle leggi della visione con strumenti geometrici, la nuova scienza definì i
metodi di rappresentazione sul piano di una figura tridimensionale osservata da una
precisa posizione.
La prospettiva dunque nacque al servizio delle arti sulla base di una rigorosa
interpretazione geometrica della visione monoculare: nell’occhio convergono i raggi
visivi, che formano così una piramide visiva, che interseca il quadro formando
un’immagine che coincide con quella recepita dall’osservatore.
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Questa tecnica era basata su astrazioni ( rette, piani, punti ) e su leggi geometriche,
ma forniva un’immagine che in modo legittimo poteva sostituirsi a quella naturale.
Grandi artisti e trattatisti del Rinascimento, quali Leon Battista Alberti, Leonardo da
Vinci e Piero della Francesca, diedero a quella invenzione del Brunelleschi una
sistemazione scientifica di grande valore. Vennero espresse le norme fondamentali e
si delinearono le diverse modalità della visione prospettica: oltre alla prospettiva
lineare che regolava le distorsioni formali e dimensionali, si analizzò anche la
prospettiva aerea, che determinava intensità di colori e nitidezza dell’immagine.
La fortuna che la nuova scienza prospettica ebbe tra gli artisti del rinascimento fu
determinata dalla sua consonanza che il nuovo spirito dell’arte e del pensiero.
L’uomo tornava al centro dell’universo e dell’interpretazione della realtà; la
prospettiva era lo strumento per rappresentare oggetti e ambienti nella loro dimensione spaziale secondo lo specifico punto d’osservazione dell’uomo.
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L’uso prevalentemente artistico della nuova tecnica di rappresentazione divenne
talmente generalizzato da indurre architetti e pittori ( quali Vignola, Serlio ) a
scrivere trattati divulgativi ad uso degli artisti.
Parallelamente agli studi si inventarono macchine prospettiche per chi fosse
sprovvisto delle basi scientifiche necessarie per il disegno prospettico.
Gradualmente la prospettiva divenne un esercizio di virtuosismo illusionistico ma
perse la connotazione scientifica iniziale ( fatta eccezione per alcuni contributi
originali come quelli di Guidobaldo del Monte e Girard Desargues nel XVII secolo ).
Brunelleschi e l’invenzione della prospettiva
La ricerca artistica del XIV secolo, in particolare con Giotto e Ambrogio Lorenzetti,
produsse alcuni procedimenti per organizzare in modo accettabile lo spazio pittorico
al fine di renderlo più verosimile. L’urgenza di provare un sistema scientificamente
rigoroso per rappresentare lo spazio si fece più pressante nel ‘400; con Filippo
Brunelleschi ( 1377-1446 ) si ebbe la prima incontestata ( dai contemporanei fino ad
oggi ) definizione della nuova scienza della rappresentazione: la prospettiva.
La paternità di questa invenzione è suffragata da testimonianze di contemporanei,
primo tra tutti Leon Battista Alberti che, scrivendo nel 1436 il trattato De Pictura in
lingua volgare, dedica l’opera a “ Pippo architetto “, auspicando che egli, grazie al
suo “ ingegno maraviglioso “ , potesse correggere eventuali errori o debolezze nelle
dimensioni della sua opera.
Le tavole prospettiche di Brunelleschi
Nato a Firenze da padre notaio, ebbe un
formazione culturale di tipo umanistico,
ma presto i suoi interessi si volsero alle
arti, praticando la professione dell’orafo e
dello scultore, e successivamente all’architettura.
I suoi viaggi di studio a Roma ( uno nel
primo decennio del XV secolo e l’altro alla
fine del secondo decennio ), gli diedero
modo di conoscere approfonditamente
l’architettura antica, dedicandosi con passione a rilievi condotti con tecniche scientifiche.
La sua padronanza di procedimenti matematici, geometrici ed ottici produsse un
primo clamoroso risultato, verso il 1413,
con la tavoletta prospettica che rappresentava il battistero di S. Giovanni a Firenze.
La cronaca ( 1475 ) di Antonio Manetti,
biografo di Brunelleschi descrive l’esperimento, su una tavoletta di forma quadrata
con lato di mezzo braccio ( circa 30 cm )
egli aveva dipinto il battistero con i suoi
intarsi marmorei in un modo talmente
accurato <<che non è miniatore che
l’avessi fatto meglio >>.
Per dimostrare la verosimiglianza dell’immagine dipinta con quella reale, nella
tavoletta fu praticato un foro svasato verso il retro del dipinto in modo che l’occhio
dell’osservatore, posto in un punto preciso ( circa 60 cm all’interno della porta
centrale del Duomo ) potesse percepire l’immagine reale della scena.
successivamente con l’aiuto di uno specchio
sorretto dall’alta mano dell’osservatore e
regolato a distanza opportuna, egli poteva
vedere l’immagine dipinta riflessa nello
specchio e ammirare la perfetta coincidenza
dell’immagine dipinta con quella reale.
La verosimiglianza era accentuata dall’effetto
creato da una lamina d’argento che nel dipinto cospargeva l’area del cielo, al fine di ottenere un’immagine riflessa del cielo reale e
un’esaltazione dell’effetto illusionistico. Per
sopperire all’inversione tra destra e sinistra
con cui l’immagine riflessa dallo specchio
mostrava il dipinto, questo venne eseguito
con rovesciamento simmetrico.
Questo sistema escogitato da Brunelleschi aveva lo scopo di dimostrare la precisione
di un disegno realizzato con la geometrica definizione di un punto di vista ( la
posizione dell’occhio dell’osservatore ).
Per rendere inconfutabile la validità della sua
costruzione, Brunelleschi scelse un edificio
esistente e non immaginario, in modo da
verificarne i risultati. Altrettanto fece con la
seconda tavoletta realizzata in Piazza della
Signoria, con la vista di Palazzo Vecchio e
della Loggia dei Lanzi; ma la posizione angolata non presentava una simmetria come
nella prima tavoletta e pertanto non adottò
l’espediente del foro e dello specchio.
Ritagliata però la parte del cielo sul dipinto, era possibile far collimare il profilo degli
edifici disegnati con quello dell’immagine reale e verificarne la perfetta coincidenza
visiva.
Il lascito storico di Brunelleschi
Il Manetti non fornisce precise informazioni sulle tecniche impiegate da Brunelleschi
per queste due tavole, ma Giorgio Vasari nelle sue Vite ( circa 1550 ) riferisce che
nell’invenzione della prospettiva egli <<trovò un modo per costruirla correttamente,
che fu di disegnarla per mezzo della pianta e del prospetto e per via della
intersecazione >>.
Dagli elementi disponibili per mezzo delle varie fonti,
gli studiosi hanno formulato molte ipotesi, talvolta
contradditorie, ma tutte concordano sul riconoscimento che questi due esperimenti di Brunelleschi
hanno fondato la prospettiva lineare ( o prospettiva
artificiale ) secondo costruzioni scienti-fiche, forse già
note, ma di cui egli fece una mirabile sintesi.
I capisaldi di questa nuova scienza erano:
 La rappresentazione è basata sulla definizione di un punto di vista, dal quale
partono i raggi visivi che formano la piramide visiva;
 L’immagine prospettica non è altro che l’intersezione della piramide visiva con
il piano del quadro;
 Le linee parallele convergono in un punto ( punto di fuga );
 Il punto di fuga delle rette perpendicolari al quadro coincide con il punto di
vista centrale ( punto principale );
 Le rette inclinate a 45° rispetto al quadro convergono in punti ( punti di
distanza ) posti dal punto principale a distanza pari a quella del punto di vista
dal quadro.
La rigorosa definizione teorica e la divulgazione del lascito storico del Brunelleschi fu
opera di grandi scienziati e artisti ( Alberti, Piero della Francesca, ecc. ), ma
l’adozione della nuova scienza prospettica nell’arte rinascimentale si propagò
rapidamente, trovando nella <<regola brunelleschiana>> lo strumento più consono
alla padronanza dello spazio da parte dell’artista e dell’uomo, nuovo centro dell’indagine sull’universo.
La prospettiva in età contemporanea
Per vedere rifiorire gli studi sulla prospettiva
bisognò attendere la nascita della geometria
descrittiva opera di Gaspard Monge ( 17461818 ). Tutte le tecniche di rappresentazione
vennero ricondotte a un sistema unitario basato sulla geometria e la matematica.
Gli architetti continuarono a impiegare la
prospettiva come uno strumento sempre più
accessorio alle altre tecniche di rappresentazione, soprattutto alle proiezioni ortogonali.
La rigida percezione spaziale secondo un punto
di vista fisso spinse gli artisti ( in particolare il cubismo ) a privilegiare tecniche
sganciate da questi vincoli, per meglio rappresentare la realtà del movimento.
L’architettura razionalista trovò
preferibile l’assonometria per una
resa tridimensionale più oggettiva
e funzionale al controllo spaziale.
Però molti architetti hanno continuato a trovare nella prospettiva
uno strumento insostituibile per
fornire una descrizione a misura
d’uomo degli oggetti integrati nell’ambiente naturale e nel-lo spazio
urbano.
La sezione prospettica
Oltre alle proiezioni ortogonali e all’assonometria le sezioni si si possono applicare
anche alla prospettiva. In tal modo la rappresentazione prospettica acquista i
connotati di una descrizione tecnica delle strutture murarie, pur mantenendo la
peculiarietàdi una visione soggettiva, legata al punto di vista dell’osservazione.
Le sezioni prospettiche possono essere generate da un piano di sezione verticale
oppure orizzontale ( piante prospettiche ), ma anche con semipiani di sezione.
Il fascino di una rappresentazione che unisca elementi di oggettività ( descrizione
tecnica delle figure ) e di soggettività ( visione relativa al punto di vista ) ha
affascinato architetti di tutte le epoche dal Rinascimento con Leonardo da Vinci,
Sebastiano Serlio e Giovanni Battista Montano, fino ai contemporanei.
Oltre alle proiezioni ortogonali e all’assonometria le sezioni si possono applicare
anche alla prospettiva. In tal modo la rappresentazione prospettica acquista i
connotati di una descrizione tecnica delle strutture murarie, pur mantenendo la
peculiarità di una visione soggettiva, legata al punto di vista dell’osservatore.
Quelli che si innamorano della pratica senza scientia sono come nocchieri che
entrano in naviglio senza timone o bussola, che mai hanno certezza dove si
vadano.
Sempre la pratica deve essere edificata sopra la buona teoria, della quale la
prospettiva è guida e porta e senza questa nulla si fa bene.
Leonardo da Vinci
Sitografia
www.mathuniroma2.it
www.didascienza.formazione.unimib.it
www.web.stanford.edu
www.online.scuola.zanichelli.it
www.cultura.bioigrafieonline.it
www.istitutomaserati.it
www.settemuse.it
www.sapere.it
www.duomofirenze.it
www.controradio.it
www.mauriziogalluzzo.it
www.wga.hu
www.padovamedioevale.it
Illusioni e realtà nelle opere di Escher e Penrose
Alunni: Classe IV A Sistemi Informativi Aziendali, indirizzo Tecnico
Economico “A. Guarasci” Rogliano, dell’Istituto Istruzione Superiore IPSIA
“Marconi” Cosenza –Lic Sc.e ITE Rogliano (Cs)
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ALTOMARE ANGELO
ALTOMARE GIUSEPPINA
AMATO LIA
ANSELMO PAOLO
CERAVOLO ALESSIA
CHERUBINO JENNYFER LUCIA
DOMANICO MIRKO
GABRIELE RITA
GAROFALO ANDREA
GERACE GUIDO
GIULIANI OSCAR
MANCUSO GIUSEPPINA
MARSICO SABRINA
NOTTE SALVATORE
PASQUA RITA
RUSSO MARIANNA REBECCA
 TOSTI RICCARDO
Docente referente: Prof.ssa Rosa Marincola
La realtà è una cospirazione creata dall'illusione dei sensi
Roger Penrose
La classe IV A SIA ITE Rogliano
INTRODUZIONE
Questo contributo vuole essere una sintesi di un lavoro di ricerca sulle prospettive
impossibili e le tassellature piane nelle opere d’arte di Maurits Cornelis Escher e di
Roger Penrose. Un artista il primo e un matematico il secondo, capaci di affascinare
con le loro opere anche i non addetti ai lavori, mostrando la bellezza e l’armonia
della matematica in creazioni molto originali.
LA TASSELLATURA PIANA
Una tassellatura o tassellazione o pavimentazione del piano è un insieme di figure
piane limitate che, collocate in modo adeguato, ricoprono il piano senza sovrapporsi, né lasciare spazi vuoti di fatto, "Tassellare" un piano significa poter rivestire
un piano con forme chiuse in modo che non restino spazi vuoti e che nessuna forma
sia sovrapposta a un'altra.
Le classiche tassellature sono quelle in cui si utilizza un solo tipo di forma costituita
da un poligono regolare come un triangolo equilatero, quadrato, esagono ecc, ma
spesso vengono utilizzate anche altre forme geometriche, ad esempio un rettangolo, per la facilità con cui si possono disporre queste figure una accanto all'altra.
Spesso si usano anche forme a contorno curvilineo (settori, segmenti circolari, ... ).
Se come forme geometriche vengono prese in considerazione dei poligoni
servendosi delle proprietà relative agli angoli interni del poligono considerato, per
stabilire in anticipo se il compito è possibile. Si può dimostrare, usando la formula di
Eulero relativa ai poligoni: v - s + f = 1 (dove le lettere indicano rispettivamente il
numero dei vertici, degli spigoli e delle facce) e alcuni concetti elementari di analisi
diofantea, che con nessun poligono generico (e quindi anche nessun poligono regolare) convesso, avente più di sei lati è possibile ricoprire il piano. E’ impossibile ricoprire il piano usando poligoni regolari con un numero maggiore di lati. Basti pensare che accostando i loro vertici non è possibile ottenere i 360° di un angolo giro.
Con triangoli, quadrilateri ed esagoni (concavi e convessi) è sempre possibile tassellare il piano, per quanto riguarda i pentagoni, esistono solo otto tipi di pentagoni
convessi capaci di saturare il piano (si veda:
http://www.matematicamente.it/staticfiles/approfondimenti/C.Sintini-Tassellatura.pdf).
La figura piana con cui avviene il ricoprimento è detta anche “tassello”, “tessera” o
“piastrella”.
Ci sono vari tipi di tassellature:
 regolari: quando i tasselli sono poligoni regolari uguali tra loro. Possono
essere utilizzati solo triangoli equilateri, quadrati ed esagoni equilateri;
 semiregolari: i tasselli sono poligoni regolari di tipo diverso;
 non regolari: i tasselli sono poligoni dello stesso tipo o di tipo diverso, oppure
figure geometriche più o meno complicate.
Dal punto di vista matematico le tassellature possono essere ottenute applicando
varie combinazioni di isometrie: traslazioni, rotazioni, simmetrie assiali o centrali.
Pavimentazioni con Geogebra
Ovviamente è possibile tassellare anche lo spazio e l’iperspazio. Si possono
realizzare delle composizioni estremamente creative, una vasta galleria di immagini,
suggerimenti, sono reperibili all’indirizzo.
http://www.tessellations.org/kali-win1.htm
in cui è segnalato il software libero Kali. Molto interessante e di facile utilizzo,
scaricabile dal link: http://www.geometrygames.org/Kali/index.html.
http://www.tessellations.org/kali-win1.htm
Simmetrie http://www.tessellations.org/tess-symmetry1.htm
LA TASSELLAZIONE DI PENROSE
Roger Penrose (Colchester, 8 agosto 1931) è un matematico, fisico, cosmologo e filosofo britannico, noto per il suo lavoro nel campo della fisica matematica, in
particolare per i suoi contributi alla cosmologia. I matematici hanno dimostrato che
esistono esattamente 17 diversi tipi di tassellature periodiche del piano. La tassellazione di Penrose è invece un modo non periodico per riempire il piano, quindi non
esiste una regione che si ripete sempre identica a se stessa. In un certo senso, si
potrebbe dire che la tassellazione di Penrose è molto varia, non si ripete mai. Per
costruirla, si utilizzano due forme: frecce (piastrelle colorate) e aquiloni (piastrelle
chiare). La cosa affascinante è che la tassellazione di Penrose non solo non è
periodica, ma non c'è modo di disporre i due tasselli in modo periodico: come pezzi
di un puzzle, il modo di incastrare tra loro le frecce e gli aquiloni di Penrose porta ad
avere una tassellazione non periodica del piano. La tassellazione di Penrose è uno
schema di figure geometriche basate sulla sezione aurea, che permette di ottenere
la tassellatura di superfici infinite in modo aperiodico. Esistono più insiemi possibili
di tasselli di Penrose. Uno dei più utilizzati è composto da due tasselli, ognuno ha
quattro lati di lunghezza unitaria. Entrambi sono legati alla sezione aurea. Il processo
di produzione dei tasselli avviene suddividendo ogni singolo rombo di un piano
esistente in cluster adiacenti di piccoli rombi. Tutti questi nuovi cluster collettiva-
mente compongono la prossima generazione dei rivestimenti. Il rapporto tra la
lunghezza dei nuovi rombi a quello della loro madre è pari a 1,618033... .
La suddivisione dei singoli rombi è fatta in base a rigide regole geometriche al fine di
garantire che le piastrelle aumentino indefinitamente in termini di dimensioni
(misurata dal numero di rombi contenuti).
Ecco due esempi delle tessellazioni di Penrose:
http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/penrose.htm
http://crema.di.unimi.it/~citrini/GC/Progetti_fatti/CD_GC/penrose.html
Volendo costruire delle tassellazioni non periodiche, di Penrose (ossia realizzate con
un certo numero di figure come tessere, ad esempio due diversi rombi), si può utilizzare il software libero Bob. Dal sito http://www.stephencollins.net/Penrose/ è possibile eseguire il download e trovare una vasta gamma di esempi.
http://stephencollins.net/penrose/
M. C. ESCHER
Maurits Cornelis Escher (Leeuwarden, 17 giugno 1898 – Laren, 27 marzo 1972), incisore e grafico olandese, fu artista e amante della matematica. Rimase affascinato da
ogni tipo di tassellazione, regolare ed irregolare che sperimentò anche contemporaneamente nelle sue opere. Nelle metamorfosi le figure cambiano e interagiscono le
une con le altre e a volte addirittura si liberano ed abbandonano il piano in cui giacciono.
Nel 1936 approdò in Spagna dove vide le decorazioni in maiolica e stucco del palazzo
trecentesco Alhambra. Qui rimase colpito dalle decorazioni e dalla bellezza dell’edificio tanto che nei giorni seguenti s’impegnò a realizzare schizzi, i quali saranno
dichiarati la fonte d’ispirazione più ricca che egli avesse mai incontrato.
Escher sperimentò le sue particolari tassellazioni applicando riflessioni, glisso-riflessioni, traslazioni e rotazioni ad una grande varietà di figure. Egli inoltre si preoccupò
di elaborare le figure regolari distorcendole fino ad ottenere animali, uccelli e altre
forme ancora.
Pesci, ranocchi, granchi, lucertole, farfalle, draghi e leoni: sono quaranta le “specie”
inventate da Escher, usate come tasselli, per ricoprire il piano e realizzare disegni
periodici, secondo le regole delle trasformazioni geometriche.
Come lui stesso diceva: “La divisione regolare del piano è diventata un’autentica
“mania”, a cui sono ormai assuefatto, e da cui talvolta mi è difficile allontanarmi”.
Già da giovane Escher era completamente coinvolto dal mondo della tassellazione,
dietro i suoi lavori c’è un grande studio matematico. I vari percorsi che Escher ha seguito per arrivare alla comprensione delle regole di costruzione dei suoi disegni, sono raccolti in una serie di quaderni fitti di appunti, semplici quaderni di scuola i cui
quadretti lo aiutano a tracciare le griglie dei tasselli elementari delle sue figure.
L’originalità è nella distribuzione del colore nei disegni periodici. Il colore è infatti
l’elemento che facilita l’individuazione delle singole figure, ognuna delle quali deve
svolgere alternativamente il ruolo di figura e di sfondo. Per esempio nei suoi Uccelli/pesci, gli uccelli sono acqua rispetto ai pesci e i pesci sono cielo rispetto agli uccelli.” La “simmetria del colore è la sua teoria, che verrà scoperta solo parecchi anni
dopo dai cristallografi che l’applicheranno con notevoli vantaggi nella classificazione
dei cristalli e delle loro proprietà. I suoi disegni sono provocazioni che egli crea per
affinare la nostra percezione dello spazio, per svelare i limiti e le ambiguità delle nostre capacità percettive.
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/Matematicae/Maggio_05/Img/image003.jpg
Le opere di Escher nel nostro mondo virtuale 3D Edmondo, sulla sim Roses
L’opera di Escher è conosciuta principalmente per le sue incisioni su legno, litografie
e mezzetinte che tendono a presentare costruzioni impossibili, esplorazioni dell'infinito attaverso lo studio dei rapporti tra le dimensioni. Si è soliti rappre-sentare
forme tridimensionali su superfici che non ne hanno che due. Questo antagonismo
crea dei “conflitti”. Escher sottomette le leggi della prospettiva a ricerche critiche e
trova nuove leggi che sperimenta direttamente sulle sue stampe.
Escher- Belvedere (litografia, 1958)
http://www.klatmagazine.com/illustration/m-c-escher-chiostro-del-bramante-necessary-265/14256
Un ragazzo ha in mano un cubo impossibile e osserva perplesso questo oggetto
assurdo. Pur avendo in mano gli elementi che gli permettono di notare che qualcosa
non va, pare non accorgersi del fatto che l’intero Belvedere è progettato su quella
stessa struttura. Escher nel suo primo libro scrive a proposito di quest’opera:
In basso a sinistra giace un pezzo di carta su cui sono disegnati gli spigoli di un cubo.
Due piccoli cerchi marcano le posizioni ove gli spigoli si intersecano. Quale spigolo è
verso di noi e quale sullo sfondo? E’ un mondo tridimensionale allo stesso tempo
vicino e lontano, è una cosa impossibile e quindi non può essere illustrato. Tuttavia è
del tutto possibile disegnare un oggetto che ci mostra una diversa realtà quando lo
guardiamo dal di sopra o dal di sotto.
Il cubo di cui parla Escher è noto con il nome di cubo di Necker.
A sinistra il cubo di Necker, a destra il cubo impossibile
https://it.wikipedia.org/wiki/Cubo_impossibile
Un’altra delle stampe dette impossibili è Salita e discesa. Rappresenta un complesso
di case i cui abitanti, che paiono monaci, camminano in un percorso circolare fatto di
scalini. Apparentamente tutto sembra a posto, ma osservando attentamente la
figura, ci si accorge che i monaci compiono un percorso sempre in discesa o sempre
in salita, lungo una scala impossibile.
Escher- Salita e discesa http://lariscossadellacivetta.com/2013/03/10/escher/
Il periodo che va dal 1946 al 1956 può essere indicato, all’interno dell’opera di
Escher, come il periodo della prospettiva. Nelle opere che risalgono a questo periodo, egli rivela il suo grande interesse per gli angoli di visione più insoliti. Escher è in
grado di produrre scene in cui l’alto e il basso, l’orientamento degli oggetti a destra
o a sinistra, dipendono dalla posizione che l’osservatore decide di prendere.
Nelle litografie Salita e discesa, Casa di scale e Relatività, il sopra e il sotto assumono
valenze estemporanee, legate al particolare che si sta osservando e a quale parte
della figura rappresentata si vuole fare riferimento.
La litografia più significativa in questo contesto è In alto e in basso, nella quale
l’artista rappresenta, utilizzando un punto di fuga relativo, dei fasci di linee parallele
come linee curve e convergenti.
Queste immagini così “innaturali” ricordano da vicino le attuali immagini virtuali che
ritroviamo nella grafica realizzata al computer. In questo contesto l’opera di Escher è
molto attuale, essa non solo ha raggiunto milioni si siti internet ma è approdata
anche al grande Cinema Holliwoodiano. Ci riferiamo a Casa di scale che viene citata
nel film “Nirvana”, di Gabriele Salvatores: durante un’incursione nel ciberspazio, il
protagonista ha una visione allucinata e da vertigine, provocata dalla visione delle
scale di questo disegno.
Alla fine di questo periodo, nel 1955, si può osservare un ritorno alla prospettiva
tradizionale, nell’intento di suggerire l’infinito dello spazio L'osservazione di Gregory
mostra come i paradossi delle figure assurde siano in realtà di natura logica, e non
fisica. Essi sono dunque tipici della prima metà del secolo, in particolare della storia
che inizia in negativo nel 1902 con il paradosso di Russell, e culminano nel 1931 con
il teorema di Gödel. L'esempio più venerando e illustre di questo genere di cose è
forse il famoso "paradosso del mentitore", una versione del quale è la seguente:"Questa frase è falsa". Naturalmente, se la frase fosse vera dovrebbe essere falsa
(perché questo è ciò che essa dice); e se fosse falsa dovrebbe essere vera (perché
questo è il contrario di ciò che essa dice). Un aspetto fondamentale della frase
precedente è l'autoriferimento, il fatto cioè che essa parli di se stessa. Tale aspetto è
esemplificato, nei disegni di Escher, dalla presenza di un richiamo della figura
principale in Stelle, del cubo impossibile, in Belvedere, e dei cubi reversibili sulla
bandiera di Concavo e convesso. Un aspetto secondario della frase precedente è
invece il fatto che l'autoriferimento sia ottenuto in un solo passo. Gli usi moderni dei
paradossi hanno anzi mostrato che è più efficace spezzare l'autoriferimento in due
passi, come nel caso della seguente versione del paradosso del mentitore, proposta
da Jourdain nel 1913: "La frase successiva è vera. La frase precedente è falsa". Il
fatto che essa sia in realtà l'accostamento inconsistente di due frasi separatamente
consistenti ricorda ovviamente le realizzazioni di Belvedere e La cascata. Ma i due
passi sono illustrati nel modo più efficace in Mani che disegnano: in quanto immagine del processo di riflessione di Escher sull'attività del disegnatore, essa è forse
anche il simbolo più indovinato di tutto il suo lavoro.
Mani che disegnano
https://www.debaser.it/recensionidb/ID_29142/MC_Escher_Mani_Che_Disegnano.htm
"Il disegno è illusione: suggerisce tre dimensioni sebbene sulla carta ce ne siano solo due."
M.C Escher
La geometria degli origami
Alunni: Nathalie Arce Ramos; Irene Carzo; Ladydiana Dieng; Seth
Gordo Gumen; Darò Liguori; Adriele Settimio; Emanuele Sanfelici;
(3D, anno scolastico 2014/15, scuola secondaria di primo grado “Don
Milani”, parte dell'Istituto Onnicomprensivo annesso al Convitto
Nazionale Cristoforo Colombo, Genova.)
Referente: Stefania Donadio
La geometria degli origami
SIGNIFICATO di origami: ori (piegare); gami (carta)
Gli origami iniziarono a diffondersi in Giappone nel sesto secolo, ma la prima
traccia di questa tradizione arriva dalla Cina, fin dal 200.
E' da molti secoli un famoso passatempo per i bambini giapponesi, e sarebbe
rimasto solo dei bambini se non fosse stato per l’operaio giapponese Akira
Yoshizawa, nato nel 1911 in una famiglia di lattai. Come tutti i bambini,
Yoshizawa si appassionò agli origami ma durante la crescita li abbandonò
gradualmente per poi riprenderli a vent'anni.
Aveva iniziato a lavorare in una fabbrica, dove insegnava la Geometria ai giovani
operai, e realizzò che gli origami potevano essere un modo semplice e efficace
per insegnare ai suoi studenti i concetti di angolo, linea e forma.
Con la pratica, Yoshizawa sviluppò alcune tecniche pionieristiche come quella
del “wet folding” (piega bagnata) che permetteva schemi più complicati e la
possibilità di realizzare su un singolo foglio un maggior numero di curve. Il suo
lavoro fece partire il rinascimento degli origami .Le sue nuove tecniche
cambiarono gli origami da passatempo a forma d’arte.
Con il disegno di schemi sempre più complessi, questa arte iniziò ad attirare
l’interesse dei matematici che avevano la stessa ideaa di Yoshizawa.
Gli elementi di Euclide e gli assiomi degli origami
Euclide di Alessandria era un matematico greco che visse più di 2000 anni fa ed
è considerato il padre della Geometria. Il libro di Euclide “Gli Elementi” è il più
famoso nella storia della Matematica.
Euclide sapeva che, usando una riga senza l’indicazione delle lunghezze e un
compasso, era possibile svolgere un gran numero di operazioni geometriche
come disegnare un pentagono, un esagono e un cerchio.
Tuttavia, quel che Euclide fece e che nessun altro aveva fatto prima, fu l’utilizzo
di un approccio sistematico alla Geometria. Ogni costruzione geometrica e ogni
risultato matematico contenuti ne “Gli elementi” derivava passo dopo passo da
un insieme di 5 assunzioni (assiomi), che includevano le operazioni di base che
era possibile fare con riga e compasso.
Proprio come Euclide che ideò gli assiomi per la Geometria piana, i matematici
moderni Humiaki Huzita e Koshiro Hatori hanno ideato un insieme di 7 assiomi
per descrivere la Geometria degli origami. Seguendo semplici indicazioni, è
possibile vedere come questi semplici assiomi ci permettono di piegare la carta
svolgendo numerose operazioni della geometria, anche la trisezione dell’angolo, un operazione impossibile per Euclide.
Esempi di geometria con gli origami
Perché nelle scuole orientali si studiano gli origami? E' un modo più facile di
insegnare l'arte e la matematica o la tecnologia.
L'origami, infatti, può favorire queste abilità logico-matematiche:
• il riconoscimento di figure geometriche e delle loro caratteristiche: le
pieghe possono chiarire il concetto di angolo, lato, bisettrice.
• il riconoscimento di angoli: tramite la piegatura della carta possiamo
creare angoli acuti, retti, ottusi, ecc.
• la creazione di solidi geometrici
• la comprensione concetti geometrici, come la simmetria, la congruenza,
le linee parallele e perpendicolari, i perimetri e le aree, le diagonali, ecc.
• lo sviluppo del concetto di frazione, di potenza: dividendo il foglio in
parti uguali, possiamo usare quantità numeriche uguali
• lo sviluppo del concetto di misura: imparare a misurare angoli, per
esempio dividendo un angolo retto a metà e scoprendo le misure dei due
angoli uguali che si formano, oppure il calcolo e il confronto di area e
perimetro di alcune figure, ecc.
• le proporzioni: in base alla grandezza del mio foglio di partenza avrò un
risultato finale di una certa dimensione.
Esempio n. 1: la trisezione dell'angolo
Con un origami abbiamo diviso un angolo in tre parti uguali (trisezione
dell'angolo).
Metodo per trisecare un angolo con l'origami
Ecco le istruzioni per la trisezione dell’angolo.
Disegna l’angolo
desiderato PBC in
modo che B sia in
un angolo del
quadrato.
Fai una piega
orizzontale in un
qualsiasi punto del
quadrato,
definendo la linea
EF.
Con l’angolo B
Riporta B nella
ancora in alto,
posizione iniziale.
piega entrambi gli
strati per
continuare la piega
che finisce in G in
modo che continui
fino al nuovo punto
J.
Piega la linea BC
sulla linea EF e
riapri il foglio,
creando la linea
GH.
Piega l’angolo in
basso a sinistra in
modo che il punto
E tocchi la linea BP
e il punto B la linea
GH.
Piega lungo la linea Le due pieghe BJ e
che parte da J
BK dividono
estendendola fino l’angolo originale
a B. Piega il lato in PBC in tre parti
basso BC sulla linea uguali.
BJ e riapro il foglio.
Esempio n. 2: le figure solide
Con l'origami si può creare una figura solida, senza piegare né incollare, ma
sovrapponendo la carta.
Costruzione di un cubo con l'origami: preparazione di sei moduli, il loro incastro e il cubo.
Con tre cubi si ottiene un parallelepipedo.
Esempio n. 3: lo sviluppo del concetto di frazione e di potenza
Piegando l'origami in 8 parti uguali, rappresentiamo le frazioni. Dividendo il
foglio in 4 parti uguali rappresentiamo la potenza di 2 x 2 = 4.
1/5
Dividendo il foglio in 8 parti uguali e in 16, rappresentiamo le altre potenze
di 2.
Esempio n. 4: le proporzioni e il Teorema di Haga
Il Teorema di Haga serve a trovare sul foglio lunghezze precise:
per esempio, nell'immagine, abbiamo diviso il foglio in due parti lunghe 1/5 e
1/5 del lato del quadrato:
1/4
3/4
1/5
1/5
Dividendo con il teorema di Haga possiamo utilizzare le misure che vogliamo.
Col teorema di Haga si può suddividere il foglio
ricavando il rettangolo aureo, che ha i lati in proporzione secondo la famosa
sezione aurea!
Con l'origami possiamo trovare un rettangolo aureo partendo dal quadrato: il
rettangolo avrà i lati in proporzione
1 / [ (1 + √ 5) / 2 ]
Le istruzioni per piegare l'origami sono:
La sezione aurea è una particolare proporzione tra le lunghezze di una figura
che spesso ritroviamo in contesti naturali, artistici e culturali, apparentemente
non collegati tra loro. Nei secoli queste proporzioni hanno impressionato la
mente dell'uomo che è arrivato, col tempo, a un ideale di bellezza e armonia,
spingendosi a ricercarlo ed a ricrearlo nel suo ambiente.
I rettangoli aurei nel Partenone: nella sua struttura sono diverse le sezioni auree che si
possono osservare ma tutte hanno la stessa proporzione.
Brunelleschi:
una misteriosa Cupola Matematica
Alunni: Ciabattini Biagio; Cini Lorenzo; D'Angelo Gabriele;
Di Vincenzo Marco; Duta Adrian; Florindo Fabio; Gapo Ralph Lorenz;
Garcia John Paul; Landi Federico; Nerucci Davide; Nurul Najmul;
Paolacci Lapo; Qukaj Alida; Russo Mattia; Somigli Riccardo;
Tarchi Lorenzo; Vannozzi Tommaso.
(Classe 4B Informatica Itis “A.Meucci”, Firenze).
Referenti: Proff.sse Baldi Maria Cristina e Marini Luisa.
La Cupola, un'architettura unica e misteriosa
La Cupola del Duomo di Santa Maria del Fiore di Firenze, la sua magnificenza e
la sua imponenza tuttora rendono Firenze orgogliosa di ciò che Filippo
Brunelleschi è riuscito a creare fra il 1420 ed il 1436. Ci vollero ben sedici anni
per innalzare tale opera. La costruzione della Cupola avvenne in periodo
umanistico e fu un vero capolavoro del tempo, che procurò grande orgoglio al
popolo fiorentino. Facciamo un salto indietro nel tempo, precisamente nel
1367, si modificarono le dimensioni di pianta e di alzato della cattedrale. Si
ingrandirono le dimensioni della base della Cupola, portandole alle dimensioni
attuali (45 metri). Queste varianti, se da un lato resero più imponente il
complesso della cattedrale fiorentina, dall'altro ne complicarono tutti i problemi
costruttivi: si trattava infatti della più grande Cupola del mondo da costruire in
muratura, cioè di una delle più complesse strutture architettoniche che mente
umana avesse concepito e iniziato a realizzare
fino ad allora.
Se la Cupola di Santa Maria del Fiore è oggi un
fatto compiuto lo dobbiamo solo alla genialità e
alla tenacia di Filippo Brunelleschi. Fu lui a
risolvere, con l’introduzione di nuove tecniche
costruttive e di nuove macchine, ma soprattutto
con il suo coraggio e la sua ostinazione, tutte le
incognite di tale costruzione. Si sa quanto ebbe a
lottare contro l'arroganza e l'ignoranza dei
costruttori più in vista del suo tempo e quanta
incredulità le sue soluzioni innovative incutes- Illustrazione 1: Base ottagonale
Cupola
sero. Si aggira intorno alla Cupola anche una
sorta di mistero dovuta al fatto dell'inesistenza di fonti, appunti o documenti
scritti da parte di Brunelleschi: molti studiosi si sono quindi cimentati
nell'ipotizzare il progetto costruttivo della Cupola sia da un punto di vista
architettonico che matematico. Il famoso architetto, non lasciò alcuna traccia
sul processo culturale e mentale per la costruzione della Cupola, ma nella
concezione strutturale si ha grazie a famosi studiosi, alcune ipotesi sul più
1
grande mistero di Firenze .
La Matematica ci può aiutare a capirne di più.
Iniziamo ad analizzare la geometria della Cupola. La base su cui è stata costruita
è un ottagono irregolare nel quale non si ha l'incidenza in un unico punto da
1
. Roberto Corazzi e Giuseppe Conti, “ Il segreto della Cupola del Brunelleschi a Firenze”, da
http://eprints.bice.rm.cnr.it/4046/1/Boll.n12_Brunelleschi.pdf
parte delle diagonali (Vedi Illustrazione 1) .
Brunelleschi, come è possibile notare dall'Illustrazione 2, delineò il il profilo
della Cupola interna ad un sesto di quinto acuto, mentre quella esterna ad un
2
sesto di quarto acuto . Il significato geometrico è il seguente: Il diametro della Cupola
interna viene diviso in cinque parti uguali,
mentre quello dell'esterna in quattro parti.
Successivamente si punta il compasso nei
due centri di quinto acuto, ciascuno dei
quali si trova a 9 metri dall’estremità del
diametro e si tracciano due archi di circonferenza con raggio pari a 36,00 metri.
Puntando il compasso negli stessi punti, si
tracciano gli archi di quarto acuto con raggio
pari a 40,50 metri.
Illustrazione 2: Profilo della Cupola
Illustrazione 3: Curva
catenaria di Ximenes
Quale curva descrive il profilo della Cupola?
Leonardo Ximenes (1716-1786), astronomo e geografo
fiorentino, interpretò geometricamente il profilo della
3.
Cupola. Si basò sulla catenaria , una curva che riesce a
sostenere un arco soggetto solo al proprio peso, come
dimostrato da Giovanni Bernoulli nel 1691 la cui
y=
a (e a x + e− a x )
2
equazione è
Le Illustrazioni 3 e 4, ci mostrano come fosse la catenaria . Scrive, infatti, lo
4.
Ximenes : “ Il Brunelleschi non sapeva certamente che, sarebbero venuti dopo
di lui alcuni Geometri che avrebbero dimostrato che per dare ad un arco, ad una
volta, ad una Cupola quella curvità che facesse massima la sua resistenza, era
necessario di dare a quell’arco l’andamento di una curva catenaria rovesciata.
Eppure egli è certissimo, che il sesto della nostra Cupola è tale che si accosta
assai dappresso alla curva catenaria, curva assai acconcia alla costruzione delle
cupole”.
2
Roberto Troli, “LA Cupola DI S. MARIA DEL FIORE:IL CERCHIO NELL'OTTAGONO”,Firenze.
http://www.encojournal.com/antico/2.html
3
4
.
Pasquale Catone, “La catenaria”, ITIS -LS “F.Giordani,Caserta
http://web.fisica.unina.it/biblio/AIFNapoli/CatoneCatenaria.pdf
.
L. Ximenes:Del vecchio e nuovo gnomone fiorentino e delle osservazioni astronomiche,
fisiche e architettoniche. Stamperia Imperiale, Firenze (1757).
Recentemente gli studiosi fiorentini Giuseppe Conti e Roberto Corazzi hanno
verificato l'intuizione interpretativa di Ximenes grazie a rilievi effettuati
direttamente sulla Cupola (Vedi Illustrazione 4).
Osserviamo che, in realtà, la Cupola di Santa
Maria del Fiore è formata da due cupole: una
interna, che è la struttura portante ed ha uno
spessore di circa 2,4 metri, ed una esterna, più
sottile (circa 0,9 metri), la quale, come disse il
Brunelleschi, serve a proteggere la Cupola interna
dalle intemperie e dagli sbalzi di temperatura ed a
renderla più magnifica e gonfiante. Fra queste due
cupole vi è uno spazio di circa 1,2 metri,
attraverso il quale è possibile salire fino alla sua
sommità, cioè alla base della lanterna.
Illustrazione 4: La curva
catenaria della Cupola.
Una curiosità: nella Cupola si ritrovano i numeri di Fibonacci.
La Cupola inizia da un’altezza di 55 metri, poggia su un tamburo di 13 metri, è
alta mediamente 34 metri ed è sormontata dalla Lanterna di 21 metri. Si
possono riconoscere alcuni numeri della successione di Fibonacci che, com’è
noto, sono legati alla sezione aurea. In Matematica, la successione di Fibonacci,
indicata con Fn è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun numero
è la somma dei due precedenti. I primi due termini della successione sono per
definizione F1 = F2 = 1 . Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva
secondo la seguente regola: Fn=Fn-1+Fn-2, (per ogni n>2). I primi termini della
successione di Fibonacci sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. L'intento di
Fibonacci era quello di trovare una legge Matematica che potesse descrivere la
crescita di una popolazione di conigli. Il rapporto Fn/Fn-1, per n tendente
all’infinito, tende al numero algebrico irrazionale Φ , chiamato sezione aurea o
numero di Fidia. In termini matematici il tutto può essere scritto: : Fn=Fn-1+Fn-2
Fn
F n− 2
= 1+
F n− 1
F n− 1
Fn
=x
F n− 1
dividendo per Fn-1 si ha
posto il rapporto
nel senso che
per n molto grande la sequenza dei rapporti tende a “stabilizzarsi” verso un
1+ √5
x=
2
2
valore costante x si ricava l’equazione x − x− 1= 0 da cui si ricava che
cioè x è proprio il numero aureo.
La navigazione e le vele della Cupola
La Cupola è formata da otto vele che non presentano la stessa continuità delle
cupole a pianta circolare, infatti ciascuna vela
non è una porzione di una sfera, ma rappresenta una porzione del mantello di un cilindro a sezione retta ellittica (Vedi Illustrazione 5).
Brunelleschi, grazie agli studi sugli edifici
romani apprese la tecnica dei corsi di mattoni a spina di pesce. Sfruttando la forza di
coesione offerta dai mattoni collegati a spina,
se ne servì per riempire gli spazi tra i costoIllustrazione 5: Vele della Cupola
loni, realizzando un equilibrio statico.
sezione di cilindro ellittico
I mattoni risultano sempre ortogonali ai
meridiani della Cupola, che risulta simile a
quelle di rotazione, disponendosi su linee concave verso l'alto dette corde
blande che sono le corrispondenti dei paralleli nelle cupole semisferiche in
quanto perpendicolari alle linee meridiane.
Come possiamo notare dalla Illustrazione 6, Brunelleschi dispose i mattoni ad
intervalli regolari; in questo modo egli
fu in grado di costruire la Cupola senza
necessità di alcun tipo di centina . I
mattoni hanno una pendenza massima
di 60°5.. Ma come ha fatto Brunelleschi
a sapere precisamente dove andavano
disposti i mattoni? Da qui alcune teorie
Illustrazione 6: Disposizione dei mattoni a
hanno cercato di svelare il grande mistespina di pesce
ro.
Per quanto riguarda la regola seguita
per la formazione delle corde blande, ci sono due interpretazioni. La prima,
sostenuta da Salvatore Di Pasquale e Lando Bartoli (Vedi Illustrazione 7),
afferma che le curve delle corde blande si ottengono intersecando un cono
variabile con la vela (che è una porzione di cilindro ellittico). La seconda
sostenuta da alcuni architetti, come Ximenes, suppone che le corde blande
siano lossodromiche ortogonali dei meridiani, cioè curve che in ogni punto sono
ortogonali ai meridiani delle vele. Questa teoria è più semplice dal punto di
vista operativo, perché tale curva viene determinata localmente: è sufficiente
costruire la curva che in ogni punto Po è perpendicolare alla meridiana dalla
5
.
Roberto Troli, “LA Cupola DI S. MARIA DEL FIORE:IL CERCHIO NELL'OTTAGONO”,Firenze.
http://www.enco-journal.com/antico/2.html
vela passante per quel punto. In
navigazione, la lossodromia (losso dal greco antico loxos, curvo, e dromos, percorso,
da dramein, correre) è la spirale logaritmica, nel caso sferico, che inviluppa i
poli e che unisce due punti qualsiasi sulla
superficie terrestre, tagliando tutti i meridiani con lo stesso angolo è sufficiente
pensare ad una nave che solca il mare
mantenendo la bussola sempre con lo
Ill
stesso angolo rispetto al Nord. Le curve
ustrazione 7: Corde blande ottenute
della spina pesce (Vedi Illustrazione 8) socon l'intersezione di coni variabili (Di
no lossodromie e geodetiche:
Pasquale)
lossodromie perché formano un angolo di
45° con le generatrici del cilindro ellittico e geodetiche in quanto essendo eliche
cilindriche, sono la linea più breve che unisce due punti. Infatti, sviluppando il
cilindro in un piano l'elica si trasforma in una retta.
In realtà le due teorie sono praticamente coincidenti, a parte un errore
massimo di 0,4° e quindi quasi trascurabile.
Curioso è che a Firenze, le scale lato Maratona dello stadio Artemio Franchi,
costruito tra il 1930 ed il 1932, si ritrovino le curve lossodromiche a forma di
elica cilindrica notabili nell'Illustrazione 9.
Illustrazione 8: Linea spina pesce
che si rastremano verso l’alto
Illustrazione 9: Scale progettate
dall'architetto G.Michelucci
Una Cupola in miniatura
Il professor Massimo Ricci docente
presso la facoltà di Architettura dell’Università Firenze, da alcuni decenni
sta indagando sul mistero della Cupola.
Egli nel 1989, iniziò a costruire un mo6.
dellino in scala 1:5
che oggi
ritroviamo presso il parco pubblico
fiorentino dell'Anconella (Vedi Illustrazione 10). Secondo Ricci, le maestranze
del Brunelleschi avrebbero utilizzato
Illustrazione 10: Modellino scala 1:5 della
Cupola nel parco dell'Anconella
corde per posizionare i mattoni le quali
erano fissate ad uno sche-ma a forma
di fiore. Più in dettaglio, un capo della corda sarebbe stato fatto scorrere su
una curva particolare chiamata concoide di Nicomede, mentre l’altro capo
fornisce immediatamente posizione ed inclinazione dei mattoni, basta solo
controllare che la corda passi nel centro geometrico stabilito anche questo con
corde .
La concoide è una curva algebrica razionale, piana, simmetrica rispetto all’asse
delle ascisse, usata per risolvere i problemi classici della trisezione dell’angolo e
della duplicazione del cubo.
Illustrazione 11: Schema utilizzato dal prof.Ricci
per la costruzione del modello in scala, si noti il
sistema di corde e l'arco di concoide disegnato sul
piano ottagonale alla base della Cupola
6
.
La concoide o clocodie prende il
nome dal matematico e filosofo
Nicomede vissuto nel II sec. a. C.
tra Grecia ed Egitto, più precisamente Atene ed Alessandria, il
quale introdusse la curva che
chiamò appunto concoide (in
Greco conchiglia). Questa curva
serve per la soluzione grafica del
problema della divisione di un
dato angolo in tre parti uguali
ossia della trisezione dell'angolo.
Associazione Filippo di Ser Brunellesco,”Il Modello”,Firenze.
http://www.filippodiserbrunellesco.org/home/index.php?c=TU9ERUw=
Costruzione della curva: (Vedi Illustrazione 12)
Sia data una retta l, un punto non sulla retta O ed una distanza k. Tracciare una
retta passante dal punto O e un punto qualsiasi della retta l che chiamo P. La
concoide di Nicomede è il luogo dei punti Q1 e Q2, in modo tale che PQ1 e PQ2
siano uguali a k , cioè PQ1 = PQ2 = k al variare del punto P sulla retta l.
Illustrazione 12: Costruzione della concoide di
Nicomede
Ma quanta Matematica si nasconde dietro la Cupola, certamente per noi è stata
una scoperta inaspettata!
Sitografia:
[1.]
http://eprints.bice.rm.cnr.it/4046/1/Boll.n12_Brunelleschi.pdf
[2.]
http://www.filippodiserbrunellesco.org/home/index.php?c=TU9ERUw=
[3.]
http://www.geometriefluide.com/pagina.asp?cat=brunelleschi&prod=invenzion
ibrunelleschiane
[4.]
http://www.encojournal.com/antico/2.html
[5.]
http://web.fisica.unina.it/biblio/AIFNapoli/CatoneCatenaria.pdf
“MatemArte”
Alunni: De Angelis Pierpaolo Nicolò; Iezzi Melissa; Moretti Stefano; Scioli Lisa
Amalia; Maccione Giorgia; Valente Laura.
(Classe 2a L della Scuola Secondaria di I Grado “R. Ortiz” dell'Istituto Comprensivo 4 – Chieti).
Colanzi Daniele, Cupido Miriam; D'Antonio Camilla; Della Sciucca Jacopo; Delle
Donne Michela; Di Bartolomeo Sofia; Di Muzio Emanuele; La Rovere Davide;
Maccarone Federico; Ottaviano Ludovica; Peca Chiara; Picherri Matteo; Possanza Mattia; Sabatini Gaia; Salcuni Arianna; Schiazza Michelangelo; Sciocchetti Alessia; Serra Ludovico; Tiberio Lorenzo; Valloreia Alessandro; Vita Lorenzo.
(Classe 5a C della Scuola Primaria “Villaggio Celdit” dell'Istituto Comprensivo 4 –
Chieti).
Referente: Prof.ssa Beatrice Creati
Docenti di scuola primaria: Enrica Zappacosta ed Annamaria Cotellese
Il presente articolo verte su una sperimentazione didattica riguardante la sezione aurea che ha coinvolto alcuni alunni di una scuola secondaria di I grado in
veste di formatori sia ai compagni della loro classe, sia ad alunni di una scuola
primaria della classe 5a.
Esso vuole essere un contributo atto a dimostrare che tematiche interdisciplinari di un certo livello possono essere affrontate dagli ordini di scuola inferiori, facendo leva su una modalità di apprendimento congeniale ai ragazzi propria del
tutoraggio, che risulta significativa e motivante all'apprendimento di entrambi i
soggetti dell'educazione.
Le esperienze degli alunni della scuola
secondaria di I grado
FIBONACCI E IL NUMERO AUREO
Gli alunni della 2a L della scuola secondaria di I grado “R. Ortiz” dell'Istituto
comprensivo n. 4 sono stati introdotti allo studio della sezione aurea, ad un livello adeguato a loro, tenendo conto che alcune conoscenze basilari devono
ancora essere acquisite nel corso dell'anno scolastico. Tale approccio è risultato,
comunque, interessante ed introduttivo a quegli argomenti che saranno affrontati in seguito e di cui prenderanno maggiore consapevolezza, proprio grazie a
tale pregressa conoscenza. Infatti alcuni alunni, particolarmente motivati e volenterosi, si sono cimentati nello studio della sezione aurea, sfidati dalla bellezza e novità del tema e si sono assunti il compito di documentare e formare i
compagni di classe e gli alunni di una scuola primaria. Infatti l'alunno Pierpaolo
De Angelis è stato onorato di aver partecipato a questo lavoro e di aver relazionato ai ragazzi di 5a C della scuola primaria “Villaggio Celdit”, accrescendo le loro conoscenze e soprattutto le proprie su questa tematica che lo affascinava da
tanto tempo.
Le due classi si sono incontrate due volte durante le ore curricolari, per promuovere momenti di formazione sulla sezione aurea, tenuti dagli alunni della 2a
L. Le tematiche e le correlate attività pratiche sono di seguito descritte.
Gli alunni della classe 5a C sono stati introdotti a conoscere il personaggio e la
storia di Leonardo Pisano, noto anche con il nome di Fibonacci, che visse tra il
XII e il XIII secolo e fu uno dei più grandi matematici del Medioevo.
Nel suo Liber Abaci (“Il Libro dell'Abaco”), dove scrive dei metodi matematici e
algebrici usati nei paesi arabi, un problema fornisce l'occasione per introdurre
la successione numerica che oggi porta il nome del matematico pisano e che si
riscontra in numerosi esempi in natura e nell'approssimazione del rapporto aureo. Infatti a Fibonacci fu posto il seguente problema che egli risolse in un modo
così disinvolto che i suoi interlocutori sospettarono che si trattasse di una truffa.
Il problema poneva il seguente quesito: un contadino chiuse nella sua conigliera
una coppia di conigli per avviare un allevamento e nel secondo mese la coppia
prese a prolificare una nuova coppia di conigli. Nei mesi che seguirono, la coppia capostipite continuò a generare regolarmente una coppia al mese, e altrettanto fece ciascuna delle coppie generate, ciascuna però a partire dal secondo
mese dopo la propria nascita. Quante coppie di conigli popolarono la conigliera
dopo un anno se nel frattempo non morì alcun coniglio? Inizialmente nella conigliera c'era una coppia che, trovandosi al secondo mese di vita, prolificò una
nuova coppia di conigli, così le coppie diventarono due. Al secondo mese la
coppia capostipite prolificò una nuova coppia di conigli per cui le coppie diventarono tre. In ciascuno dei mesi successivi nella conigliera vi furono tante coppie quante quelle del mese precedente, più le coppie nate in quello stesso mese, che furono tante quante le coppie già in grado di prolificare, cioè con almeno due mesi di anzianità.
Il grande matematico per risolvere l'arcano ideò una successione che rappresentava le coppie di conigli in ciascun mese:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233...
Infatti:
1+1=2;
1+2=3;
2+3=5;
3+5=8
e così via. Alla fine dell'anno la conigliera fu popolata da 377 coppie di conigli.
Questa successione ha molte proprietà, ma si andrà ad analizzare quella più
importante:
se si prende un elemento della successione, ad esempio 34, e lo si divide per il
suo precedente, ovvero 21, si avrà:
34 : 21 = 1,61904...
Se si divide ogni termine, a partire dal terzo, per il suo precedente, la successione dei rapporti tende al rapporto aureo = 1,61803...
5 : 3 = 1,66666...
8 : 5 = 1,6
13 : 8 = 1,625
21 : 13 = 1,61538...
Più si va avanti con la successione più il risultato si approssima sempre di più a
1,618.
LA SPIRALE AUREA
Si possono rappresentare i termini della successione di Fibonacci con dei quadrati aventi per lato un numero di quadratini corrispondente a ciascun termine.
Pertanto in questa attività pratica la costruzione della spirale aurea viene effettuata dagli alunni di scuola primaria di pari passo alla costruzione mostrata da
Pierpaolo su un poster a quadretti. Si comincia disegnando un quadrato di lato
pari ad un quadratino di quaderno e alla sua destra un altro uguale. Si forma
così un piccolo rettangolo costituito da due quadratini che individuano un lato
di due quadratini di un nuovo quadrato da costruire, 2x2.
Procedendo nella costruzione dei quadrati in senso antiorario a partire dalla
somma delle dimensioni dei lati di volta in volta formati, si costruiscono dei
quadrati di lato progressivamente maggiore, conformemente alla successione
numerica, quindi, di seguito, un quadrato di 3x3 quadratini, poi uno di 5x5, uno
di 8x8 e così via. E cosi si costruiscono quadrati di lato 5, 8, 13, 21 quadratini.
Una volta riempito il foglio del quaderno con la serie dei quadrati, si uniscono i
vertici opposti di questi, disegnando degli archi di circonferenza, a partire dai
quadrati iniziali che sono i più piccoli. Si ottiene, così la formazione di un'armoniosa spirale detta “spirale aurea”, simbolo di perfezione.
Se poi di ogni rettangolo si divide la dimensione maggiore per quella minore, il
quoziente, come prevedibile, è all'incirca pari a 1,618. Un rettangolo così costruito si dice aureo. Questa spirale ha numerosi riscontri in natura, come nella
forma del DNA, nella forma a spirale delle nubi, nel cavolfiore che è persino un
frattale, nel girasole, nelle corna arrotondate del muflone, nella disposizione
delle foglie nelle piante, nella splendida conchiglia del Nautilus e in molti altri
elementi naturali.
La spirale aurea ha anche molti esempi nell'architettura, come nella scala a volute dell'abbazia benedettina di Melk (Austria),
nella monumentale rampa del Museo Guggenheim di New York,
nel Palazzo Farnese di Caprarola a Viterbo
e in molte altre opere architettoniche.
IL RETTANGOLO AUREO
Un rettangolo aureo è un qualsiasi rettangolo i cui lati stanno nel rapporto aureo. Un rettangolo aureo può essere facilmente costruito a partire da un quadrato.
Sebbene il rettangolo aureo sia costruito con il righello e il compasso, gli alunni
di classe 5a lo hanno costruito solo con il righello, secondo la seguente procedura. Sia AEFD questo quadrato. Si unisce il punto A', punto medio del lato DF al
vertice E, tracciando il segmento A'E. Si prolunga il lato DF dalla parte di F e il lato AE dalla parte di E. Si misura con il righello la lunghezza del segmento A'E e la
si riporta sul prolungamento di DF, individuando il punto C. Dal punto C si traccia il segmento perpendicolare a DC che incontra il prolungamento di AE nel
punto B. Si ottiene così un rettangolo aureo di cui si verifica la sua particolarità,
dividendo la base per l'altezza e se si ottiene un risultato vicino a 1,618 la costruzione è ben riuscita.
Questo speciale rettangolo ha diverse proprietà. Eccone un paio:
1. Sottraendo da un rettangolo aureo il quadrato costruito sul suo lato minore,
si ottiene un altro rettangolo aureo.
2. Sommando ad un rettangolo aureo il quadrato costruito sul suo lato maggiore si ottiene un altro rettangolo aureo. Le due operazioni possono essere reiterate, ottenendo una successione di quadrati e di rettangoli che circoscrivono
una spirale, come quella che si è precedentemente costruita.
Il rettangolo aureo si riscontra in numerosi esempi architettonici:
nella Stele del Re Get,
nella Grande Piramide di Giza,
nel Tempio della Concordia,
nel Partenone,
nel Pantheon,
nella Cattedrale di Notre Dame,
nella Cattedrale di Colonia,
nel Duomo di Milano,
nel portale di Castel del Monte,
nell'architettura di Raffaello,
nel Modulor di Le Corbusier,
e in molte altre opere.
La presenza del rettangolo aureo non manca neanche nella pittura, in quanto lo
si rinviene ad es. ne L'ultima cena e ne La Gioconda di Leonardo da Vinci, nella
Venere di Sandro Botticelli, in molti quadri di Pier Mondrian ed in altre opere
pittoriche. Dopo aver familiarizzato con il rettangolo aureo, nel secondo incontro con la scuola primaria, agli alunni sono state consegnate le immagini e de
L’ultima cena e de La Gioconda perché potessero verificare che i rettangoli evidenziati al loro interno fossero realmente aurei. Dato che i metodi di costruzione del rettangolo aureo esulano dallo scopo di questo lavoro, perché al di sopra
delle possibilità degli alunni, le immagini sono state fornite con il rettangolo già
disegnato. Pertanto gli alunni si sono limitati a verificarne le proporzioni auree
mediante gli opportuni calcoli.
Ne L’ultima cena la figura di Gesù è racchiusa in un rettangolo aureo, per cui gli
alunni calcolando il quoziente dei lati del rettangolo hanno verificato che esso si
approssima a 1,618.
Ne La Gioconda il rapporto aureo è presente nel contorno della tela, nelle dimensioni del viso, nell’area che va dal collo e arriva sopra le mani e nell’area che
inizia dalla scollatura dell’abito e arriva fino a sotto le mani.
Anche in questo caso gli alunni hanno operato allo stesso modo, verificando che
ciascun rettangolo fosse aureo.
La parola agli alunni di 5a C della scuola primaria
Un'esperienza interessante ed istruttiva.
Noi alunni di classe 5a della scuola primaria "Villaggio Celdit" abbiamo aderito
ad un progetto chiamato "MatemArte" con gli alunni della classe 2a L della scuola secondaria. Per prima cosa vogliamo chiarire che ci siamo molto stupiti e meravigliati nello scoprire il collegamento tra due materie scolastiche così diverse
tra loro, come la matematica e l'arte. Non avevamo mai immaginato che nelle
raffigurazioni artistiche ci fossero nozioni di matematica! Già leggendo il titolo
del progetto "MatemArte" ci siamo chiesti: "Che c'entra la matematica con l'arte?" Beh, dopo questa esperienza ci siamo dati una risposta perché abbiamo
imparato davvero tanto. A spiegarci il progetto è stato Pierpaolo e questo ci ha
meravigliati molto perché non accade spesso che uno impari da un altro alunno.
Pierpaolo ci ha spiegato la successione di Fibonacci, la spirale aurea e il rettangolo aureo. Successivamente anche noi abbiamo trovato "il numero magico" e
abbiamo disegnato spirale e rettangolo aureo. Scoprire la spirale magica nelle
costruzioni architettoniche, nella forma delle verdure e perfino nel nostro DNA
così come scoprire il rettangolo aureo nella rappresentazione di quadri famosi
come La Gioconda, ci ha meravigliati tantissimo. Che emozione! Che emozione
essere, in due occasioni, sia un matematico che un artista! E' stata un'esperienza fantastica ed imperdibile e ringraziamo le nostre maestre e la professoressa
Creati per averci dato questa opportunità, grazie alla quale abbiamo scoperto
cose nuove ed interessantissime.
Esperienze di formazione nella classe 2a L
Il seguente argomento, di una certa complessità poiché richiede conoscenze
pregresse non ancora completamente affrontate dagli studenti, è stato appreso
ed esposto da un'alunna di 2a, Giorgia Maccione, ai compagni di classe, per introdurli nella conoscenza di tali tematiche che verranno riprese ed approfondite
in seguito. Altre due figure geometriche che presentano proporzioni auree sono
il pentagono regolare e il triangolo isoscele in cui gli angoli alla base sono di 72°
e l'angolo al vertice è di 36°.
Se si osserva bene la figura ed i suoi angoli si può notare che il triangolo ACB è
simile al triangolo CBM, dove il segmento CM è la bisettrice dell'angolo AĈB
perchè sono entrambi triangoli isosceli e hanno gli angoli rispettivamente congruenti. Si osserva che CB è congruente a CM perché lati obliqui di un triangolo
isoscele e che MB è congruente a ME per differenza di segmenti congruenti da
diagonali congruenti. Da questi presupposti si deduce che
AB : CB = CB : MB rapporti uguali a 1,618,
da cui si evince che sono fra loro in rapporto aureo anche le due parti in cui una
diagonale del pentagono è tagliata da un'altra diagonale consecutiva:
AM : MB = 1,618
CM : ME = 1,618
Il lato del pentagono regolare è la sezione aurea della sua diagonale che avvalora le precedenti uguaglianze.
Gli artisti nella storia si sono richiamati al pentagono stellato nelle costruzioni
architettoniche, come nella struttura del palazzo Farnese di Caprarola,
nel Pentagono in USA
e nel portale di Castel del Monte nella provincia di Barletta-Andria-Trani.
Nel campo della scultura la forma della maschera di Tutankhamon entra
precisamente in un pentagono e segue le diagonali che formano il
pentagramma.
Anche nella pittura si riscontra il pentagono stellato nella Sacra Famiglia di
Michelangelo,
nella Crocifissione di Raffaello dove le figure sono disposte secondo le linee del
pentagono stellato.
Anche Giorgia ha scoperto questo argomento molto interessante e formativo,
tale da impiegare tutte le sue energie e capacità per conoscere e comprendere
tale tematica ancora sconosciuta a molti. Dallo studio e dall'affronto della matematica nell'arte si deduce che ogni cosa che ci circonda non è bella per puro
caso, ma perché sotto c'é un calcolo matematico: quello della sezione aurea.
Conclusioni
Il lavoro nell'ambito della sezione aurea è stato innovativo per gli alunni e ha
rappresentato un modo originale ed avvincente di studiare la matematica,
come fondamento e ragione della bellezza e quindi dell'arte. Sulla base delle
considerazioni espresse dagli alunni della scuola primaria si evince che questo
lavoro è stato molto motivante ed accattivante, tale da favorire un approccio
positivo alla matematica, sfatando l'idea della matematica come materia ostica
per molti alunni. Sebbene tale sperimentazione non abbia visto come un attivo
protagonista della formazione l'intera classe della scuola secondaria, tuttavia
essa è stata un'esperienza positiva perché tutti gli alunni hanno potuto
confrontarsi con l'originalità della tematica e con l'originalità della metodologia,
il tutoraggio. La presenza nella classe di compagni che si sono liberamente
coinvolti in questo lavoro ha rappresentato una vera e propria provocazione sia
per l'insegnante perché ha superato quella che è una problematica scolastica,
purtroppo frequente, che è la mancanza di motivazione all'apprendimento, sia
per gli alunni stessi che hanno potuto vedere i loro compagni all'opera, i quali
hanno rappresentato un esempio positivo e propositivo da imitare
consapevolmente. Quindi tale sperimentazione rappresenta un interessante
esempio a cui ispirarsi nel futuro per l'affronto di altri argomenti di matematica
e delle altre materie scolastiche.
Bibliografia
Prof.ssa Emanuela Pulvirenti del Liceo Scientifico “R. P. Vassalli”, tratto da
http://www.didatticarte.it/storiadellarte/11%20sezione%20aurea.pdf
Dott. Giorgio Monti del Corso di teorie e tecniche costruttive nel loro sviluppostorico tratto da
http://dsg.uniroma1.it/monti/ar-tetcss/testi/La%20Sezione%20Aurea.pdf
Prof. Gianfranco Metelli, autore di un articolo pubblicato nella rivista “Didattica
delle scienze” n. 267 di aprile 2010 e n. 268 di maggio 2010, tratto da
http://www.istitutoarici.it/metelli/mat_didattico/aurea.pdf
Alessandra Simi, autrice degli Appunti per il Corso di teorie e tecniche costruttive nel loro sviluppo storico, tratto da
http://dsg.uniroma1.it/monti/artetcss/testi/Appunti%20sulla%20Sezione%20Aurea.pdf
Le meridiane di Roma: un itinerario turistico
Alunni: Armagno Giorgia (3C);Bordoni Beatrice (3F); Chen Shuxian (3E);
Spiridigliozzi Chiara (3C); Xie Kelly (3A), Istituto Tecnico per il turismo,
IISS Darwin, Roma
Referenti: Rosanna Lombardi, Daria Mattiozzi, Vania Visone
Le meridiane ti aspettano!
Cos’è la meridiana
L’orologio solare denominato comunemente «meridiana», in realtà è chiamato
«quadrante», sul quale si disegnano le linee orarie.
La meridiana è la principale di queste linee ed indica il mezzogiorno e poiché
indica l’ora solare locale, la sua posizione varia di località in località.
Le meridiane sono vere e proprie opere d’arte, segnano il trascorrere dei giorni
e delle stagioni e spesso riportano motti che fanno riflettere sul senso dell’ esistenza umana.
OBELISCO PIAZZA S.PIETRO
L’obelisco più importante di Roma è
quello che si erge in Piazza San Pietro.
Nel 37 d.C., Caligola lo fece trasferire da
Alessandria a Roma.
Nel 1817 l’astronomo Gilij pose una rosa
dei venti e una meridiana alla base
dell’obelisco.
MERIDIANA PIAZZA DEL POPOLO – UN PROGETTO
L’obelisco di Piazza del Popolo proviene
da Heliopolis, dove fu innalzato davanti
al Tempio del Sole dai Faraoni Seti I e
Ramsete II poco prima del 1200 a.C. Fu
uno dei primi ad essere trasportato a
Roma da Augusto nel 10 a.C., per celebrare la vittoria sull'Egitto. Fu inizialmente posto a Circo Massimo.
Nel 1589 il papa Sisto V lo fece collocare
nella posizione attuale. Nei geroglifici è
scritto: «Il cielo degli dei è soddisfatto
per quello che fece il figlio del Sole Seti I
dagli spiriti di Eliopoli amato come il sole».
L’architetto Gasbarri ha recentemente presentato un progetto per trasformare
l’obelisco in uno gnomone della «meridiana della storia di Roma».
Il disegno tracciato è una stella incastonata nella pavimentazione i cui raggi sono riempiti dall’ombra dell’obelisco al mezzogiorno corrispondente alle date
degli eventi che hanno segnato la Storia di Roma e lambiscono le relative lapidi
commemorative incastonate nella pavimentazione della Piazza.
MERIDIANA SANTA MARIA DEGLI ANGELI
Sul pavimento della crociera di S. Maria degli angeli, l’imponente basilica costruita nelle Terme di Diocleziano su progetto di Michelangelo e poi di Vanvitelli si vede la Meridiana o Linea Clementina.
La Meridiana fu eseguita per volontà di Clemente XI, verso il 1700 da una
Commissione della quale era segretario il Canonico Bianchini, matematico, astronomo, archeologo e storico, al fine di verificare ulteriormente la validità
della Riforma Gregoriana del Calendario e per la determinazione della data della Pasqua nella migliore concordanza possibile con i moti del Sole e della Luna e
con le regole date dai Padri del Concilio di Nicea.
La Meridiana è una grande linea di bronzo inserita in una fascia di marmo distesa quasi diagonalmente per circa 45 metri. A destra della linea sono raffigurate,
con intarsi di antichi marmi policromi, i segni zodiacali delle costellazioni estive
e autunnali; a sinistra quelli delle costellazioni primaverili e invernali. Alle due
estremità appaiono i segni delle costellazioni del Cancro e del Capricorno.
L'immagine del Sole, il centro dello
stemma araldico di Clemente XI,
percorre durante l'anno, a mezzogiorno solare vero, tutta la Linea,
partendo dal Cancro al Solstizio
d'Estate, raggiungendo il Capricorno al Solstizio d'Inverno e compiendo successivamente il percorso inverso.
MERIDIANA DI AUGUSTO
L'Orologio di Augusto, conosciuto anche
come Horologium Augusti, è un'antica meridiana, la più grande del mondo antico, che
si trovava in Campo Marzio, nell'area antistante l'Ara Pacis.
Nel Medioevo IX secolo, l'obelisco crollò a
terra, rompendosi in cinque pezzi. Rinvenuto nel XV secolo, fu innalzato durante il
pontificato di Pio VI, divenendo l'obelisco di
Montecitorio.
Ogni 23 settembre, anniversario della nascita di Augusto, l'obelisco proiettava la sua
ombra sull'ingresso dell'Ara Pacis.
MERIDIANA DI VILLA BORGHESE
Intorno al 1680 fu realizzato il palazzo
della Meridiana su progetto di Carlo
Rainaldi. Il prospetto interno è chiamato "Facciata dell'Orologio" per la
presenza di una meridiana sul frontespizio, opera del pittore Pietro Valeri.
Sotto la cornice tra la meridiana e la
sottostante finestra la scritta «Siderea
non terram mente colenda docent», ci
insegnano che si devono considerare
con la mente gli astri, non la terra".
L'orologio solare è contenuto in un'opulenta cornice di stucchi, ai vertici della
quale si trovano quattro teste con ali di farfalla a rappresentare i Venti, a guance rigonfie. L’orologio è munito di ortostilo, è fortemente declinante a levante
e indica sia le ore vere sia le ore italiche.
MERIDIANA DI PALAZZO SPADA
All’interno di Palazzo Spada (ora sede del
Consiglio di Stato) si trova la galleria della
meridiana catottrica o a riflessione. La meridiana, opera di Emanuel Maignan, fu realizzata nel 1644 e diversamente dalle meridiane comuni non si basa su un’ombra bensì su
di un punto di luce riflesso. La luce, entrando
da un piccolo foro posto in una finta finestra
del mezzanino del cortile, viene poi riflessa
sulla meridiana che adorna la volta della galleria.
Di fronte a Palazzo Spada, sul prospetto
laterale di Palazzo Ossoli, un quadrante
solare monumentale è inciso nell'intonaco.
Declinante a ponente, è a ore francesi
segnate da numeri romani, mentre le linee orarie delle 11, delle 13 e delle 17
sono evidenziate da fiori di giglio in ottone.
MERIDIANA DI VIA DEL COLOSSEO
In via del Colosseo, una salita lunga e stretta
parallela a via dei Fori, sul prospetto di una
schiera di case orientate a mezzogiorno è collocato un orologio solare d'epoca.
È inciso su lastra di marmo di piccole dimensioni.
In alto il motto «Tempus fugit».
MERIDIANE DI VIALE REGINA MARGHERITA
In un elegante complesso condominiale di primo Novecento, due edifici attigui,
esposti l'uno a mezzogiorno, l'altro a ponente, sono ornati da orologi solari di
bella fattura, con stilo polare.
Il quadrante a ponente reca il motto «Perpetuo vobis hora beata fluat», "siano
per voi liete in eterno le ore"; il secondo «Horas non numero nisi serenas», "segno solo le ore serene.
MERIDIANA DI VIA DELLE SETTE CHIESE
Via delle Sette Chiese si trova alle
falde della Garbatella, quartiere creato negli anni Venti sul modello delle
"Città giardino".
Al civico 101 si trova la Chiesoletta
dedicata ai santi contadini Isidoro ed
Eurosia e annessa alla Parrocchia San
Filippo Neri in Eurosia, della Confederazione dell'Oratorio di San Filippo
Neri.
Sulla facciata laterale si trova una meridiana firmata Ps 88, con il motto «Insegnaci o Signore a contare i nostri giorni»; a destra un secondo motto «È sempre
l'ora per un buon bicchier di vino».
Il quadrante, inciso su lastra di marmo, è declinante a ponente e segna le ore
dalle 10 alle 15; sono indicate le date dei solstizi e degli equinozi mentre un riquadro in basso a sinistra indica i minuti che sono da togliere o da aggiungere
all'ora indicata dal Sole nei diversi mesi dell'anno.
Come si arriva...
Dalla stazione Roma Termini si prende la metro A direzione Battistini
M Repubblica
Piazza della Repubblica
Meridiana Santa Maria degli Angeli
M Spagna
Campo Marzio
Meridiana di Augusto
M Flaminio
Piazza del Popolo
Meridiana Piazza del Popolo
M Ottaviano
Piazza S. Pietro
Obelisco S. Pietro
.
Come funziona una meridiana
Alunni: Matteo Figoli (3A Tecnico Turistico );Istituto di Istruzione Superiore
“Darwin”, Roma, (RM)
Referenti: Anna Maria Roncolato, Vania Visone
Si parte da lontano ...
La Terra ruota intorno a se stessa e gira intorno al Sole
L’orbita della Terra si svolge sul piano dell’ ECLITTICA
L’asse di rotazione della Terra è inclinato di 23°27’ rispetto all’asse dell’eclittica
quindi, vedendo le cose da un altro punto di vista ...
All’ EQUINOZIO DI PRIMAVERA e
all’ EQUINOZIO D’AUTUNNO,
indicati nella figura a fianco ...
... a mezzogiorno i raggi solari
sono perpendicolari al suolo
all’ equatore.
Dove noi viviamo i raggi solari
formano con la verticale un
angolo UGUALE alla latitudine.
Al SOLSTIZIO D’ESTATE,
indicato nella figura a fianco ...
... a mezzogiorno i raggi solari
arrivano all’equatore con un
angolo di 23° 27’ dalla parte
dell’ emisfero nord.
Dove noi viviamo i raggi solari
formano con la verticale un
angolo
MINORE
della
latitudine.
Precisamente
Latitudine – 23° 27’
Al SOLSTIZIO D’INVERNO,
indicato nella figura a fianco ...
... a mezzogiorno i raggi solari
arrivano all’equatore con un
angolo di 23° 27’ dalla parte
dell’ emisfero sud.
Dove noi viviamo i raggi solari
formano con la verticale un
angolo
MAGGIORE
della
latitudine
Precisamente
Latitudine + 23° 27’
Tuttavia, in qualsiasi giorno dell’
anno, se piantiamo al suolo un’asta
PARALLELA ALL’ASSE DI ROTAZIONE DELLA
TERRA l’angolo che i raggi solari
formano con quest’asta è SEMPRE LO
STESSO a qualsiasi ora.
Lo stilo delle meridiane (si chiama
“gnomone”) è parallelo all’asse di
rotazione della Terra, quindi forma,
con il suolo, un angolo uguale alla
latitudine.
Guardando le cose dal suolo ...
... sulla superficie della Terra vediamo il Sole ruotare intorno a noi.
Il Sole appare con angoli diversi nelle varie stagioni, ma percorre sempre
PERPENDICOLARI ALLO GNOMONE DI UNA MERIDIANA.
PIANI
Per segnare le ore va
considerato che il Sole
impiega 24 ore a compiere il
giro completo.
Un giro corrisponde a 360°
quindi il Sole percorre 15°
ogni ora e produce, SU UNA
CIRCONFERENZA, un’ ombra che
si sposta di 15° ogni ora.
Se vogliamo una meridiana piana ?
Se l’ombra è proiettata sul terreno o su un muro occorre fare dei calcoli poiché
il Sole non percorre esattamente 15° ogni ora !
L’angolo fra le varie ore dipende dalla latitudine. Nelle figure che seguono è
raffigurata una meridiana piana orizzontale per alcune città.
La differenza è evidente.
MATEMATICA E ARTE, DUE MONDI COMPLEMENTARI!
Alunni: Amodio Pierluigi, Camera Marta,Sposato Maria Elisabetta, Le Pera David, Attico Francesco Maria, Barbieri Lorenzo, Giovinco Noemi. Classe IB Liceo
Scientifico “Enzo Siciliano” Bisignano CS.
Referente: Prof.ssa Franca Tortorella
1
MATEMATICA E ARTE, DUE MONDI COMPLEMENTARI!
La matematica è la disciplina che studia le quantità, lo spazio, le struttura e i
calcoli. Essa studia i problemi che riguardano la quantità, estensioni e figure
parziali, movimenti di corpi e tutte le strutture che permettono di trattare questi aspetti in modo generale. L'arte è invece, l'espressione estetica dell'interiorità umana rispetto alle opinioni dell'artista nell'ambito sociale, morale, culturale, etico o religioso. L'arte, oggi, è strettamente connessa alla capacità di trasmettere emozioni e messaggi soggettivi. Se la matematica é un modo di scoprire e rappresentare la realtà per giungere ad una sua razionale conclusione si
può dire che si avvicina all'arte nel momento in cui anch'essa diventa espressione del soggetto che ricostruisce la realtà. Sin dall'antichità gli scienziati e i filosofi hanno fatto dei paragoni tra queste due discipline e crediamo che ormai
questo sia uno dei concetti su cui la storia si è soffermata maggiormente. La
matematica e l'arte sembrerebbero due discipline appartenenti a due mondi
diversi ma che, infondo, hanno molte caratteristiche comuni. Parlando di arte
classica si può, infatti, individuare il senso matematico dell'arte che, nelle sue
varie forme, ha molte caratteristiche analoghe alla matematica. L'arte e la matematica sono, infatti, creazioni umane che hanno alla base la fantasia e un linguaggio rigoroso.
Il triangolo Aureo
Gli architetti e gli artisti greci progettavano le loro opere in funzione del rettangolo aureo, figura dalle proporzioni perfette, quasi magiche, per esempio, la
pianta del Partenone (tempio greco che sorgeva sull'acropoli di Atene) è un rettangolo con lati di dimensioni tali che la lunghezza sia pari alla radice di 5 volte
la larghezza, mentre nell'architrave in facciata il rettangolo aureo è ripetuto più
volte; un'altro esempio lo troviamo della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e
nel Palazzo dell'ONU a New York, dove troviamo utilizzate le proporzioni del
rettangolo aureo. In passato si faceva anche ricorso alla sezione aurea, che veniva considerata quasi la chiave mistica dell'armonia nelle arti e nelle scienze.
2
I numeri
I numeri sono per molti artisti moderni un soggetto affascinante ed enigmatico, dal punto di vista formale e grafico. Ad esempio, Charles Demuth, pittore statunitense, dipinse nel 1928 "Figure Five in Gold" ispirandosi ad un camion dei pompieri rosso fuoco con un 5 in oro disegnato sopra. Ugo Nespolo,
poi, ha usato come soggetto per i suoi acrilici sul legno i numeri in chiave, prevalentemente decorativistica. I numeri offrono, quindi, la chiave di lettura di
molte opere d'arte, in quanto metafora della rappresentazione tradizionale, in
perfetta sintonia con la cultura moderna che è fortemente caratterizzata i molti
campi della presenza della matematica.
La prospettiva
Un' esempio della relazione tra arte e matematica può essere la prospettiva.
Essa è un insieme di proposizioni e di procedimenti di carattere geometricomatematico che consentono di costruire l'immagine di una figura dello spazio
su un piano, proiettando la stessa da un centro di proiezione posto a distanza
finita. La prospettiva fu il primo tra i metodi usati di rappresentazione a essere,
per così dire, codificato. Non si trovano però riferimenti a essa negli antichi
trattati classici di geometria e la perdita totale della grande pittura parietale
greca non ci permette di sapere con sicurezza se quei pittori adoperassero o
meno procedimenti tecnici utili a una corretta rappresentazione prospettica del
reale.
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Dunque, concludiamo con una frase molto significativa di due grandi storici:
"Benché la pittura e la matematica siano due discipline molto diverse, che
spesso sono state considerate totalmente contrapposte, tra loro vi sono stati
molti punti in comune"
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TRASLAZIONI E SIMMETRIE NEI QUADRI DI ESCHER
Alunni: Classe 2^, a.s. 2014-2015, Scuola Secondaria di 1^ grado di
Gramolazzo –LU
Referente: Antonella Ferri.
Questa attività è stata svolta in seconda come approfondimento della tematica
trasformazioni geometriche e con lo scopo di sviluppare l'abilità di riconoscimento di traslazioni e simmetrie in contesti diversi.
E oltre alla realtà, cosa c'è di più affascinante del mondo dell'arte? Nel caso
specifico ci siamo soffermati sui quadri di Escher che sono "intrisi" di matematica e che, sul tema delle trasformazioni, offrono una fonte inesauribile di
spunti. Passare poi alle tassellazioni del piano è stato naturale.
Un'alunna racconta, a suo modo, l'attività.
"Prima di arrivare ad Escher, noi alunni di seconda, abbiamo attraversato un
"lungo" percorso.
Il primo passo sono state le simmetrie accompagnate dalle traslazioni. Per
disegnare una figura simmetrica di una figura data e rispetto ad un asse di
simmetria assegnato, si devono misurare le distanze dei vertici dall'asse di
simmetria e riportare le misure dalla parte opposta dell'asse. Per traslare una
figura secondo un vettore assegnato, si deve misurare il vettore e dopo
assegnarlo ad ogni vertice.
Da qua la professoressa ci ha introdotto un grande artista olandese: Escher. Poi
siamo passati a contemplare i suoi quadri fantasmagorici e in questi abbiamo
trovato traslazioni e simmetrie.
Inoltre poiché nei quadri c'erano figure che si ripetevano, sempre uguali,
abbiamo provato anche noi a "tassellare" il piano, imitando Escher.
Contemporaneamente siamo andati a caccia delle "simmetrie intorno a noi" e le
abbiamo fotografate. Infine abbiamo realizzato, lavorando a coppie, dei
cartelloni per documentare l'attività".
Alla scoperta delle figure geometriche
dell’Insigne Collegiata di Santa Maria in Figline V.no
Alunno: Damiano Simoni
(3°, A, scuola secondaria di I grado, Istituto Comprensivo di Figline
Valdarno, Figline e Incisa Valdarno, FI).
Insegnante: Michela Oresti (sostegno)
Mi chiamo Damiano e sono uno studente della classe 3° A dell’Istituto Comprensivo
di Figline Valdarno, comune di Figline e Incisa Valdarno (FI).
Amo disegnare e trovo molta soddisfazione in quest’attività in cui mi impegno con
dedizione per molto tempo della mia giornata. Davanti alla pagina dell’album riesco
a vincere ogni timore ed a risolvere ogni difficoltà, tanta è la gioia che metto nel
disegnare.
Per questo concorso ho fatto riferimento ad un edificio del mio paese che si trova
non lontano da casa mia. Ho prima osservato l’Insigne Collegiata di Santa Maria, ho
poi ascoltato la sua storia e mi sono infine messo all’opera con il disegno
individuando in esso i maggiori elementi geometrici.
La partecipazione a questo concorso rappresenta per me prima di tutto uno
strumento per esprimere il mio talento, e spero anche un modo per mostrare il mio
impegno e le mie capacità.
Matematica ed arte: secondo noi.
Alunni: Ferri Remo; Giambelli Chiara; Pesci Valentina; Piastra Diego; Torre
Matilde. (Classe 2^, a.s. 2014-2015, Scuola Secondaria di 1^ grado di
Gramolazzo -LU)
Referente: Antonella Ferri.
Letteralmente connubio significa unione, alleanza tra due cose, situazioni o
persone. Da sempre l'arte e la matematica si sposano, già dalle piramidi, dall'arte greca, romana, ogni opera veniva fatta sicuramente attraverso calcoli
matematici, misurazioni e progetti. Il disegno viene in genere pensato come
un'attività che rappresenta la realtà. Ciò è senz'altro vero, ma non è l'unica potenzialità che il disegno possiede. In questo senso il disegno è uno strumento
progettuale. Pensiamo ad una casa: se per vedere se mi piace o meno devo prima costruirla, corro un rischio, perchè se poi non mi piace devo demolire il
tutto e ricominciare daccapo.
Prima di cominciare a realizzare qualcosa devo essere sicuro del risultato che
devo ottenere, come nel caso dell'architettura, quindi si parla di misurazioni,
calcoli e disegni.
Già gli antichi Greci avevano realizzato un sistema progettuale: gli ordini
architettonici, avevano fissato un insieme di regole per proporzionare gli elementi che componevano l'edificio. Il disegno invece è un opera di Visualizzazione cioè ci permette di vedere il risultato finale prima di realizzare l'opera.
Oggi abbiamo molti strumenti progettuali come il computer ecc. Guardando i
disegni di Leonardo da Vinci ci rendiamo conto che il disegno è lo strumento
principale dell'artista: grazie ad esso l'artsta può progettare opere d'arte, di
architettura, militari, di ingegneria e infinite altre cose. Col disegno si può progettare praticamente di tutto.
L'artista divide il momento dell'ideazione da quello dell'esecuzione attraverso
l'uso di rette parallele e altezza. L'artista scopre la prospettiva che rende l'immagine tridimensionale. E' straordinario notare in alcune opere come “La pietà”
di Michelangelo l'uso perfetto della proporzione sicuramente ottenuta attraverso calcoli matematici.
Pensando ai grandi teoremi come quelli di Euclide e di Pitagora, mi viene in
mente quante volte saranno stati usati per fare dell'arte.
Il gusto dell'estetica e della bellezza, accompagnati dall'uso del colore, della
prospettiva, delle proporzioni, hanno permesso, nel corso dei secoli, la nascita
di opere magnifiche (tutt'ora esistenti) per mano di grandi artisti che hanno
reso la storia indimenticabile. Remo
Analizzando la matematica e l’arte potrebbe sembrare che esse non leghino
molto.
Da una parte vediamo un insieme di numeri infiniti che combinati tra loro
formano altri numeri, dall’altra vedia mo immagini a colori che raffigurano
oggetti e persone; invece non è cosi. Approfondendo l’argomento si può ben
notare che in molti casi queste due materie sono unite tra loro. Anche disegni
"illusionistici" legano molto matematica e arte. In alcuni quadri molti artisti
famosi le uniscono.
Alcuni usano la geometria nei dipinti, come ad esempio Raffaello Sanzio che
costruiva uno o più triangoli con alcuni elementi dei suoi dipinti.
Come si può notare dall’immagine le tre teste raffigurate dal pittore formano un
triangolo.
Molti pittori della nostra storia; invece usano le figure geometriche per costruire i loro dipinti.
Un pittore divenuto famoso grazie auesti quadri è Kandischij che, unendo
elementi geometrici come linee, poligoni e non poligoni, ha formato quadri
astratti di inestimabile valore.
Alcuni pittori hanno usato nei loro quadri
la prospettiva, cioè procedimenti di
carattere geometrico. Un famoso pittore
che usò molto spesso nei dipinti la
prospettiva fu Masaccio, come si può
vedere nella foto.
Insomma la matematica, essendo molto
utile in tutto, fa il
suo lavoro anche
nell’arte. Chiara
Esiste una forte relazione tra il mondo dell'arte figurativa e il mondo della mateaica. L'arte e la matematica sono, infatti, creazioni umane che hanno alla base
la fantasia, l'immaginazione e la creatività.
Si trovano connessioni dai fregi antichi ornamentali ai frattali, dalle incisioni
rupestri alla computer grafica, dal paesaggio primordiale alla città cosmica.
Ipotesi artistiche e concetti matematici sono realizzazioni mentali dell'uomo che
si sottraggono ai vincoli della concretezza per rappresentare mappe cognitive
costellate da sogni e visioni, affinità e differenze, paradossi e anomalie. Forme
artistiche e modelli matematici viaggiano su latitudini parallele.
L'ingresso della matematica nel campo della rappresentazione artistica si
delinea attraverso contesti di riferimento che vanno dalla grafica alla pittura,
dalla scultura alla architettura e che includono per certi aspetti, anche la sfera
della fotografia, del cinema, della letteratura e della musica.
Nel corso dei secoli ritroveremo forme a spirale, elicoidali, ellittiche e
labirintiche. Elementi decorativi come le spirali, le eliche e i fregi ornamentali,
possono essere introdotti e studiati matematicamente; i labirinti possono esse-
re analizzati razionalmente dal punto di vista della loro struttura matematica. I
labirinti sono preceduti da un' altra figura astratta ricorrente nei manufatti del
mindo preistorico: la spirale.
Anche l'architettura è stata influenzata dalla spirale con la realizzazione delle
scale spiraliformi ed esempi di spirali si ritrovano nella pittura di Van Gogh e
Picasso. Anche le forme elicoidali sono presenti nell'arte e nell'architettura
come le colonne che si ritrovano nei dipinti di Giotto. Le immagini di spirali si
evolvono dando origine a veri labirinti, dal più famoso del palazzo di Cnosso a
Creta ai labirinti medioevali.
Le grandi ricerche geometriche hanno inciso nella formazione di nozioni
fondamentali come la prospettiva. I risultati di geniali matematici come
Fibonacci e Mobius, i capolavori di artisti come Escher e Reutersvard rappresentano autentici punti d'incontro tra la cultura matematica e quella artistica.
Un esempio di connubio tra arte e matematica sono le piastrelle multicolori che
arredano l'Alhambra. Valentina
Parlare di Matematica e arte, a prima vista, potrebbe sembrare insolito e
strano, poiché la prima tratta di formule, numeri e calcoli matematici e non è
altro che la disciplina che studia la quantità; l’arte invece è ogni attività umana
volta a creare, in tutti i sui generi.
Ma l’arte e la matematica sono davvero così diverse e inconciliabili?
Alcuni esempi che ora farò avvicinano i due generi, in maniere da renderli
entrambi un connubio ideale.
Leonardo da Vinci che ha fatto delle due cose la sua ragione di vita, con
"L’uomo Vitruviano" ci presenta la figura umana sdoppiata in due parti, una
rispetto al quadrato e una rispetto al cerchio.
Salvador Dalì con l’aiuto di un matematico rumeno si dedicò per tre mesi a studi
matematici e dipinse la "Leda Atomica", singolare dipinto in cui tutto è sospeso
nello spazio e ogni cosa non tocca l’altra.
La piramide egizia di Khufu o Grande Piramide, è stata costruita su basi
matematiche e geometriche, alcune che ho già studiato e altre no, come la
formula del (pi greco), la (sezione aurea), il Teorema di Pitagora e i numeri della
successione di Fibonacci.
Infatti, architetti e artisti greci progettavano le loro opere in funzione del
triangolo e rettangolo aureo.
Un altro interessante esempio di perfetto connubio tra arte e matematica sono
le opere dell’artista Escher; rappresentazioni in cui l’illusione ottica ha un ruolo
fondamentale.
Anche nella poesia, altra forma di arte, troviamo la matematica, con la formula
della metrica e del ritmo.
Insomma possiamo concludere che la matematica ha offerto ispirazione e
spunti alla rappresentazione dell’arte in tutti i sui aspetti sia antichi che
moderni. Diego
Questo non è un argomento facile da trattare, però se ci penso bene capisco
che in fondo e proprio vero che la matematica e l'arte si intrecciano bene tra
loro.
Nel disegno artistico non penso si abbia bisogno della matematica perché,
persone molto brave nell'arte, fanno quadri, pitture e disegni a mano libera;
se invece parliamo di opere più complicate come i paesaggi, i disegni in
prospettiva o i disegni geometrici, senza l'aiuto della matematica si va poco
lontano perché i numeri ci servono per sapere in che punto fare il nostro
disegno. A noi è capitato di fare un disegno in prospettiva e a me
personalmente è risultato difficilissimo e molto impegnativo.
Un pittore per esempio può essere Kandinskij che faceva tutti i suoi disegni con
alcune figure geometriche e con un tocco di colore ... via all'allegria di un
dipinto come il suo.
O come altri artisti che con le figure fanno disegni di illusioni ottiche, tutto
questo accade mischiando tante figure insieme. Insomma ho capito che per
l'arte la matematica è molto importante in certi casi essenziale. Matilde
MATEMATICA & ARTE
Alunni: Lirangi Antonio, Migliuri Fabiola, Roscioli Francesca, Scotti
Leonardo, Savaglia Giuseppe, Prezioso Chiara (Classe IB Liceo Scientifico “Enzo Siciliano” Bisignano CS )
Referente: Prof.ssa Franca Tortorella
1
Matematica e Arte: due mondi paralleli
E universalmente riconosciuto il forte legame tra la Matematica, mezzo per la
scoperta e la descrizione della realtà e l’Arte che
questa stessa realtà vuole raffigurare. La storia
della civiltà è testimone delle forti influenze che la
Matematica ha avuto ed ha sull’Arte.
L’arte classica obbedisce a regole su misure e proporzioni, gli artisti (in senso lato: pittori, scultori, architetti) utilizzano il rettangolo aureo, fanno ricorso alla sezione aurea, alla teoria delle proporzioni che
era alla base della Geometria e della Scienza Greca. Nella civiltà Greca uno dei
criteri per l’Arte è proprio la teoria delle proporzioni. Oggetti matematici, creati
da filosofi e matematici greci, sono stati considerati essere i simboli della bellezza classica. Ci riferiamo ad esempio, ai solidi platonici (esaedro, tetraedro,
ottaedro, icosaedro e dodecaedro) definiti da Platone nel Timeo come gli oggetti più belli dell’universo. Nel Rinascimento l’artista si presenta
come un intellettuale completo: è pittore, scultore, architetto, matematico,
uomo di scienza e non solo dipinge, scolpisce, progetta, ma pubblica opere di
argomento matematico e geometrico di interesse. Tanto è vero che Piero della
Francesca, Durer, Brunelleschi e Alberti possono essere considerati tra i matematici dell’epoca. L’esigenza dei pittori di rappresentare fedelmente il mondo
tridimensionale su tele a due dimensioni finisce con il mettere in crisi la geometria introdotta e formalizzata da Euclide e porta alla nascita di nuove teorie geometriche che diano ragione dei punti di fuga. Da questo intreccio tra Matematica e Arte nasce la geometria proiettiva.
2
La matematica dell’arte
Gli artisti cominciano ad utilizzare il computer per realizzare e riprodurre opere
d’arte. Si pensi ad esempio alla riproduzione da parte dell’artista contemporaneo Vila della bellissima cesta di frutta del Caravaggio, realizzata interamente
con tecniche di Computer Graphics sfruttando le potenzialità di moderni programmi di grafica bi e tri dimensionali.
La storia della civiltà è dunque testimone delle influenze che la matematica ha
avuto sull’arte e sugli artisti. Lo stesso M. C. Escher indiscusso “inventore” di
oggetti impossibili e di mondi immaginari fu influenzato, nel realizzare le sue
opere più belle e note, dalle teorie matematiche di Poincarè e Penrose. Da una
analisi delle influenze della Matematica nell’Arte `e inoltre possibile dedurre
che nel corso del tempo `e cambiato il modo stesso di utilizzare la Matematica
da parte degli artisti. Nell’arte classica e anche in quella Rinascimentale la Matematica è stata utilizzata come “strumento tecnico”. Con l’utilizzo di canoni
matematici ben precisi, quali ad esempio le misure e le proporzioni, gli artisti
dell’epoca rappresentano forme caratterizzate dall’essere rigide ed immutabili,
rispondenti a canoni di invarianza metrica. Ciò è evidente in opere come la Venere di Botticelli, l’Uomo Vitruviano di Leonardo o il Battesimo di Cristo di Piero
della Francesca. Osservando la Venere, possiamo ad esempio osservare
3
l’utilizzo della sezione aurea considerata la “chiave mistica dell’armonia”:
l’ombelico è posto ad una altezza che è in rapporto aureo con l’altezza della figura rappresentata. L’opera di Piero della Francesca (attualmente alla National
Gallery) è realizzata su una tavola costituita da due quadrati sovrapposti sormontati da un semicerchio il cui centro geometrico coincide con la Colomba
posta sulla testa del Cristo. Il Cristo stesso è posto sull’asse centrale dell’opera.
Guardando infine all’Uomo Vitruviano, uno dei disegni più noti di Leonardo, è
possibile osservare che l’artista sdoppia la figura umana in due posizioni: una
rispetto al quadrato e l’altra rispetto al cerchio. L’uomo risulta così sospeso tra
queste due figure geometriche.
4
La geometria descrittiva nell’opera di Gaudì
Alunni: Classe V A Sistemi Informativi Aziendali, indirizzoTecnico
Economico “A. Guarasci” Rogliano, dell’Istituto Istruzione Superiore IPSIA
“Marconi” Cosenza – Lic Sc. e ITE Rogliano (Cs)
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AIUOLA MIRIANA
ANSELMO MATTIA
BERARDI CARMELA
BUFFONE KEVIN CARLO
CONVERTINI MARTA
DAMIANO PASQUALINA MARTINA
FERRARO MATTEO
GABRIELE FRANCESCO
GABRIELE LAURA
MAGUZIA ROBERTO
PASCUZZO CARMINE
PERRI MAURIZIO
SCALZO RITA DONATELLA
SIDOTI SIMONE
Docente referente: Prof.ssa Rosa Marincola
Figura 1. La classe V A SIA ITE di Rogliano
INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA DESCRITTIVA
La geometria descrittiva è la scienza che permette, attraverso determinate
costruzioni geometriche, di rappresentare in modo inequivocabile su uno o più
piani, oggetti bidimensionali e tridimensionali. La rappresentazione può essere
finalizzata a visualizzare oggetti già esistenti, come nel rilievo (per lo più architettonico), e/o oggetti mentalmente concepiti, come nella progettazione di manufatti tridimensionali.
Fin dall'antica civiltà egiziana, è stato dimostrato, attraverso il ritrovamento di disegni che illustravano copertura ellittica di tombe, un corretto utilizzo delle proiezioni
ortogonali, ma non correlate tra loro come sarà solo successivamente grazie a
Monge.
https://www.google.it/search?q=la+geometria+descrittiva&hl=it&tbm=isch&source=lnms&sa=X
&ved=0CAcQ_AUoAWoVChMIs4_Z5ar7xwIVBG4UCh3grQ9a&biw=1920&bih=979&dpr=1#q=la+g
eometria+descrittiva&hl=it&tbm=isch&imgrc=K8vt5KdY43GDBM%3A
Tra il I secolo a.C. e il I secolo d.C. Vitruvio, nei suoi trattati intitolati "De
architectura" usava come elementi di rappresentazione di edifici le piante ed i
prospetti da lui denominati icnografie e ortografie. In epoca successiva, nell'opera di
Jacopo Barozzi da Vignola "i cinque ordini di architettura", viene adoperato quello
che diverrà noto come metodo di Monge. Nello stesso periodo, Alberto Dürer (14711528) definì alcuni procedimenti grafici riguardanti le coniche, come sezioni piane di
un cono quadrico e, anche, lo studio della prospettiva. Nel 1600 gli studiosi Girard
Desargues e Guarino Guarini hanno posto i fondamenti per la nascita della disciplina
"geometria descrittiva", con questo nome è stata battezzata dallo scienziato francese Gaspard Monge (1746-1818). Nel 1799 fu pubblicato il libro "Geometrie
descriptive" in cui vengono poste le regole fondamentali della geometria descrittiva.
Regole che sono finalizzate, soprattutto, a rappresentare, su uno stesso piano (detto
piano di proiezione), gli oggetti in 3D. Attualmente la geometria descrittiva
comprende come parte integrante la geometria proiettiva in cui studi più significativi e conclusivi si devono a Jean Victor Poncelet (1788-1867) discepolo di Monge.
Con la geometria proiettiva viene introdotto il concetto di "ente geometrico improprio" (punto, retta e piano), che determina una sostanziale differenza con la geometria euclidea, pur considerando validi i rimanenti postulati di Euclide.
LE QUADRICHE
Si designa col nome di quadrica ogni superficie di 2° ordine, vale a dire il luogo dei
punti dello spazio le cui coordinate cartesiane soddisfano un'equazione quadratica
(cioè di 2° grado) in tre variabili. Fu appunto la discussione di una tale equazione che
permise ad Eulero (1748), a G. Monge e ai suoi discepoli (50 anni dopo) di fare la
classificazione completa delle quadriche e di scoprirne le principali proprietà. Alcuni
casi particolari, oltre la sfera, i coni e i cilindri, erano noti anche ai geometri greci.
Archimede considera l'ellissoide rotondo (che egli chiama sferoide), il paraboloide
rotondo (conoide retto) e la superficie generata dalla rotazione di un ramo d'iperbole intorno all'asse trasverso (da lui detta conoide ottusangolo). L'iperboloide
rotondo a una falda, generato dalla rotazione di un'iperbole intorno all'asse non
trasverso, è preso in esame (sotto il nome di cilindroide) da C. Wren (1669), il quale
si è accorto che la superficie si può generare anche facendo rotare una retta intorno
a una retta sghemba.
La classificazione nominata si fonda sopra particolarità metriche. Le quadriche si
suddividono anzitutto in due famiglie: quadriche a centro, dotate di un centro di
simmetria che biseca ogni corda per esso; e quadriche senza centro o a centro improprio.
Una quadrica a centro possiede tre piani di simmetria (piani principali) mutuamente
perpendicolari e secantisi lungo i tre assi; ogni asse incontra la superficie in due
vertici, reali o immaginarî. Assumendo come piani coordinati i tre piani principali,
l'equazione della quadrica si riduce a forma normale o canonica, contenente soltanto i quadrati delle tre coordinate e il termine noto. Tenendo conto dei segni dei vari
termini, si distinguono i casi seguenti:
Ellissoide: la sua equazione è
La superficie è tutta contenuta entro un parallelepipedo ortogonale di spigoli 2a, 2b,
2c; se a > b > c, a e c forniscono la massima e la minima distanza di un punto dell'ellissoide dal centro. Se due dei tre semiassi a, b, c sono uguali, l'ellissoide è
rotondo (sferoidedi Archimede), ed è generato da una ellisse rotante intorno a uno
dei suoi assi; se sono tutti e tre uguali, si ha la sfera. Le sezioni piane di un ellissoide
sono ellissi.
Le figure seguenti sono state create ed esplorate col motore di conoscenza online
WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com/)
Figura 2. Ellissoide
Iperboloide a una falda: la sua equazione è
Il piano xy sega l'iperboloide nella ellisse di gola la più piccola ellisse che si possa
tracciare sulla superficie; questa sta tutta al di fuori del cilindro retto che ha quell'ellisse come base. La superficie è connessa (cioè si può sempre passare da un punto ad un altro della superficie lungo una linea continua tracciata su essa) e si estende
all'infinito.
Se i due semiassi trasversi a e b sono uguali, la superficie è rotonda e si può generare facendo rotare un'iperbole intorno all'asse non trasverso (cilindroide di C.
Wren).
Un piano può segare l'iperboloide a una falda secondo un'ellisse o una parabola o
un'iperbole; la sega in coppie di rette reali, se è tangente.
Figura 3. Iperboloide a una falda
Iperboloide a due falde: la sua equazione è
La superficie si compone di due falde a forma di coppe rivolte in senso opposto ed
estese all'infinito; esse sono separate dallo strato compreso fra i due piani paralleli x
= ± a, che toccano la superficie nei vertici dell'asse trasverso x. La superficie ammette sezioni piane ellittiche, paraboliche e iperboliche. Se b = c, l'iperboloide è rotondo
ed è generato da un'iperbole rotante intorno all'asse trasverso.
Figura 4. Iperboloide a due falde
Le quadriche senza centro, o paraboloidi, ammettono due piani di simmetria (piani
principali), che si intersecano ortogonalmente lungo l'asse, questo incontra la superficie in un punto, detto vertice (e in un secondo punto all'infinito, detto talora centro
improprio). L'equazione della superficie, riferita ai due piani principali e al piano perpendicolare all'asse nel vertice, contiene i quadrati di due coordinate e la terza a primo grado. Si distinguono i due casi seguenti (ove p, q designano due numeri positivi):
Paraboloide ellittico: la sua equazione è
La superficie si compone di una sola falda, estesa all'infinito, e situata tutta da una
banda del piano z = 0 che la tocca nel vertice. Le sezioni piane sono generalmente
ellissi; solo i piani paralleli all'asse segano la superficie lungo parabole. Se p = q, il
paraboloide è rotondo ed è generato da una parabola rotante intorno al proprio
asse.
Figura 5. Paraboloide ellittico
Paraboloide iperbolico: la sua equazione è
La superficie, a forma di sella, ha sezioni piane generalmente iperboliche; solo i piani
paralleli all'asse z la segano lungo parabole.
Figura 6. Iperboloide iperbolico
A questi cinque tipi di quadriche reali vanno aggiunte le quadriche degeneri, e precisamente:
1. il cono la cui equazione si può porre sotto la forma
le sezioni piane sono ellissi, parabole e iperboli; il cono è rotondo, se a = b;
Figura 7 Cono rotondo
2. il cilindro, che può essere ellittico (cioè a sezioni ellittiche):
Il cilindro iperbolico:
Il cilindro parabolico:
GAUDÍ: L’ARCHITETTO DI DIO
Antoni Gaudí i Cornet (Reus, 25 giugno 1852 – Barcellona, 10 giugno 1926) vive tutta
l’esperienza culturale contemporanea, dall’eclettismo storico all’Art Nouveau anticipando soluzioni architettoniche e figurative ancor oggi attuali. Una notevole capacità di costruttore, un forte senso di continuità della storia, uno spiccato uso dei
materiali, l’intuizione di alcuni principi morfologici-costruttivi (arco parabolico) si
manifestano nelle sue opere. Per lui il Modernismo Catalano non si pone come
negazione della sua precedente produzione, così come avviene per Horta, Wagner,
Mackintosh; proprio questo senso di continuità con la tradizione fu l’ap-porto di
Gaudì all’Art Nouveau. Gaudì aggiunse al nuovo stile un acceso simbolismo fatto di
motivi zoomorfi, fiabeschi, religiosi. Ma che senso ha questo mondo popolato di
animali primitivi, di forme arcane, di simboli mistici: il senso proprio della dimensione dell’immaginario. Ed è proprio a questa valenza imma-ginaria si deve il fatto
che nell’architettura di Gaudì sono ritrovabili anticipazioni di molti altri momenti e
tendenze dell’arte moderna, dall’espressionismo al surrealismo, dal cubismo all’informale.
http://2.bp.blogspot.com/_ZKKPQHRaR0I/SC1dduTctOI/AAAAAAAAACU/VSiFyKx6zrQ/s400/
gaudi_hidalgo.jpg
La sua importanza storica (indipendentemente dalla genialità delle sue invenzioni
plastiche) consiste nell’avere concepito la tecnica caposaldo della sua ricerca, una
tecnica d’immagine, non scientifica. Non produce emozioni bensì una sorta di eccitazione crescente e mai soddisfatta. Questa esaltazione collettiva è tutto il fine
sociale di Gaudì.
Egli è stato definito da Le Corbusier come il "plasmatore della pietra, del laterizio e
del ferro". Sette delle sue opere, situate a Barcellona, sono state inserite nella lista
dei patrimoni dell'umanità dell'UNESCO nel 1984. Il Temple Expiatori de la Sagrada
Família (Tempio Espiatorio della Sacra Famiglia) di Barcellona in Catalogna (Spagna),
o più semplicemente Sagrada Família, è una grande basilica cattolica, tuttora in
costruzione. La vastità della scala del progetto e il suo stile caratteristico ne hanno
fatto uno dei principali simboli della città, nonché una delle tappe obbligate del
turismo di massa. Secondo i dati del 2011 è il monumento più visitato in Spagna, con
3,2 milioni di visitatori (seguito dal Museo del Prado e dall'Alhambra di Granada). I
lavori iniziarono nel 1882 sotto il regno di Alfonso XII di Spagna. L'edificio venne
iniziato in stile neogotico, ma quando Gaudí subentrò come progettista dell'opera
nel 1883, all'età di 31 anni, fu ridisegnato completamente. Secondo gli auspici del
comitato promotore l'opera potrebbe essere completata, nella migliore delle
ipotesi, per il 2026, a 144 anni dalla posa della prima pietra, tuttavia il procedere dei
lavori è discontinuo e dipende in larga parte dall'afflusso delle donazioni. Come
accaduto per altri progetti destinati a durare uno o più secoli (per esempio la
Basilica di San Pietro o il Duomo di Milano) la chiesa è stata consacrata ancora non
conclusa, il 7 novembre 2010, da papa Benedetto XVI, che l'ha elevata al rango di
Basilica minore.
Figura 8. Sagrada Família https://it.wikipedia.org/wiki/Sagrada_Fam%C3%ADlia
Gaudì fu un sottile osservatore della natura, prima di lui gli architetti hanno sempre
usato la geometria euclidea, eseguendo costruzioni con riga e compasso. La natura
in molti casi segue un’altra geometria, Gaudì fu un appassionato studioso di
geometria descrittiva durante tutta la sua vita e soleva dire: “El paraboloide es el
padre de toda la Geometria”. La sua architettura si basa concretamente sul paraboloide, sull’iperboloide a una falda, sul paraboloide iperbolico e sull’elicoide.
Riproduceva forme della zoologia, della geologia e della botanica che arricchiva con
elementi decorativi. Un tronco d’albero, spesso ha la forma di un iperboloide a una
falda; e così il femore, che, per Gaudì, è una magnifica colonna fatta da Dio per
camminare, che funziona meglio di una colonna cilindrica. Proprio questa è la forma
con cui il maestro ha costruito alcune colonne nella Sagrada Familia, una sorta di
foresta pietrificata. Esempi magistrali di volte e superfici a forma di paraboloide
iperbolico si trovano nella cripta della chiesa nel Parco Güell e nelle Scuole
Temporanee della Sagrada Familia. Come architetto, Gaudì è stato un grande
innovatore, ma, nei suoi progetti, così originali, ha sempre usato la geometria più
classica: quella delle curve e superfici di facile descrizione analitica. Gaudì dedicò gli
ultimi quindici anni della sua vita per cercare di precisare tutte le regole
geometriche che avrebbero permesso ai posteri di proseguire il cantiere della
Sagrada Familia.
Il Parco Güell (in catalano Parc Güell) fu progettato agli inizi del Novecento, sarebbe
dovuto diventare una città-giardino. È un parco pubblico con all'interno un museo a
cielo aperto, visitabile tutto l'anno, e uno dei monumenti-simbolo della città catalana, con un'alta frequentazione turistica.
Questa meravigliosa opera architettonica è composta da vari elementi tra cui spiccano:
Le due case dell’ingresso con tetti a forma di fungo e cupola adornata da dettagli
colorati. Sempre qui, originariamente, si trovavano due gazzelle meccaniche a grandezza naturale, che vennero però distrutte durante la guerra Civile.
Figura 9. Le due case dell'ingresso
La scalinata –completamente decorata con ceramiche e vetri rotti disposti come un
mosaico, seguendo una tecnica nota come trencadís.
Figura 10. La scalinata
‘Sala delle 100 colonne’ – Benché in realtà siano 85, e non 100, queste colonne in
stile dorico sostengono la terrazza sovrastante, il soffitto è decorato con simboli religiosi, mitologici ed astrologici elaborati con il mosaico.
Figura 11. La sala delle 100 colonne
La panchina – Questa panca, completamente ricoperta con un mosaico dall’assistente di Gaudí, Josep Maria Jujol, segue la forma di una serpentina che delimita
l’area di una terrazza panoramica sulla città.
Figura 12. La panchina
Le quattro immagini precedenti sono tratte dal sito:
http://www.oh-barcelona.com/it/blog/2013/guida-turistica/attrazioni/park-guell-17218
“Matematica e Arte, connubio ideale”
Alunne: Straface Teresa, Barbieri Maria Rosaria e Arturi Chiara (classe I A
dell’IIS “Enzo Siciliano”, Liceo Scientifico, Bisignano CS.
Docente: Franca Tortorella
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“Forme del pensiero artistico e matematico”
In questo elaborato parleremo di un tema di grande fascino e importanza, come quello dei rapporti tra la matematica e l'espressione artistica: un mondo
dove si incontrano poliedri e nastri infiniti, sfere e bolle di sapone, labirinti e
vie dritte impercorribili, figure impossibili e l’infinito. Matematica e arte sono
due bellezze. E, se ci pensiamo, la matematica è arte: è un modo di scoprire e
rappresentare la realtà attraverso un processo di astrazione per giungere ad
una sua razionale rappresentazione.
Partiamo dal significato della matematica. Che cos’è? La matematica è la disciplina che studia le quantità, i numeri, lo spazio, le strutture e i calcoli. Per l'origine del termine bisogna andare al vocabolo egizio <<matt>>, nella cui composizione appare il simbolo del cubito, strumento di misura lineare, un primo accostamento al concetto matematico. Alla base di tutte le discipline conosciute
dall’uomo vi sono concetti matematici; infatti la matematica è nell’essere umano, nei palazzi, nelle piante e negli animali, e come parte di esse ne regola le
caratteristiche. Nella matematica niente è a caso e tutto torna prima o poi.
E’ una grande soddisfazione riuscire a risolvere un’operazione o un problema.
Una volta che si capisce un problema, molti suoi aspetti diventano improvvisamente semplici, come dicono i matematici di tutto il mondo: “ogni cosa o è impossibile o è banale”.
L’arte, invece, è una forma di espressione molto profonda. Le opere artistiche,
quindi, hanno l'importante compito di essere una fonte comunicativa di testimonianza dei valori.
L'arte non riguarda solo l’ambito culturale, ma convive con ciascuno di noi nel
quotidiano. Il prodotto artistico scaturisce da un atto creativo dell'artista, colui
che da antico artigiano a genio per antonomasia ha attraversato, nella storia,
tutti i ceti sociali. Questo percorso storico ha permesso la nascita di molti "topos" sulla figura del creativo, di colui che possiede quella strana capacità di generare dal niente un "oggetto", frutto di una sua idea. Per questo la nascita
dell'arte determina anche la nascita culturale dell'uomo.
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Secondo il matematico Godfrey Harold Hardy la bellezza è una delle caratteristiche della matematica e dice che “Le forme create dal matematico, come
quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle”, “le idee, come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. Ci sono infatti molti aspetti
che rendono la matematica e l’arte una coppia.
“Ma la verità è che non esiste nulla di più poetico e visionario, nulla di più radicale, sovversivo e psichedelico della matematica. La matematica è la più pura
delle arti, e la più fraintesa. E’ la musica della ragione. Fare matematica significa impegnarsi in un atto di scoperta e ipotesi, di intuizione e ispirazione; significa essere in uno stato di confusione; significa avere un’idea; provare la frustrazione di un artista; significa sentirsi vivi, maledizione!”
- Paul Lockhart
Matematica e geometria hanno da sempre affascinato gli artisti e gli architetti,
fornendo loro gli strumenti e i modelli per realizzare le loro opere.
“Sezione Aurea”
La sezione aurea è un esempio concreto dell’unione tra arte e matematica.
La sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, nell'ambito delle arti figurative e della matematica, indica il
rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. In formule, se è la lunghezza
maggiore e quella minore.
b : a = a : (a+ b)
Essa è stata presa in considerazione per ottenere una dimensione armonica
delle cose.
Con l’applicazione della sezione aurea nella scultura si intende mettere in rilievo lo stretto legame che vi è tra il lavoro del matematico e quello dell'artista. Il
matematico, come il poeta o il pittore, crea inseguendo un suo ideale estetico.
La matematica viene quindi presentata attraverso uno dei suoi aspetti meno
noti, quello della bellezza, del suo connubio con l'arte e la scultura in particolare. Pitagora diceva: "Se il numero è ordine, come accordo di elementi illimitati
e illimitanti, e se tutto è determinato dal numero, tutto è ordine".
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La sezione aurea riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole è stata usata come base per la composizione di quadri o di elementi architettonici.
Gli artisti e i matematici del Rinascimento tra cui Leonardo da Vinci, Piero della
Francesca, Bernardino Luini e Sandro Botticelli rimasero molto affascinati da
essa, che era conosciuta anche come “divina proporzione” e veniva considerata quasi la chiave mistica dell’armonia nelle arti e nelle scienze.
Sia le sue proprietà artistiche e matematiche che la frequente riproposizione in
svariati contesti naturali e culturali apparentemente non collocati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell’uomo la conferma dell’esistenza di un
rapporto tra Dio e l’uomo, l’universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la
parte che si ripeteva all’infinito tra la stessa parte più grande e la più piccola, e
così di seguito attraverso ulteriori suddivisioni. Diversi filosofi e artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricercarlo nell’ambiente antropico quale “canone di bellezza”; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di “aureo” o “divino”.
La sezione aurea è forse il numero più affascinante della storia della matematica. La sua ricorrenza in ambito matematico non è la sola cosa a rendere la sezione aurea un numero tanto significativo e profondo. E come se ciò non fosse
sufficiente, legate alla sezione aurea esistono anche una serie di forme geometriche che l’occhio umano percepisce come particolarmente belle e che sono
state per questo usate da pittori, scultori e architetti di ogni epoca.
La geometria pentagonale e’ abbondantemente presente in natura e
stra l’origine scientifica e biologica della sezione aurea.
dimo-
“L’arte e la matematica in natura”
Considerando che arte e matematica sono nate grazie all’uomo,un essere vivente, possiamo osservare come tutto ciò che è in natura segue uno schema
logico e matematico ed è allo stesso tempo bello come l’arte, quindi possiamo
paragonare matematica e arte alla natura. Su ciò possiamo citare molti esempi:
collegando gli archi di circonferenza inscritti nei quadrati costituenti il rettan-
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golo aureo, si ottiene una sorta di spirale, che sotto mentite spoglie si presenta
in numerose situazioni nella natura che ci circonda, come nel nautilius, una
grossa conchiglia a forma di spirale che può raggiungere anche i 20 centimetri
di diametro; oppure esistono dei fiori a forma di pentagono (già dall’antichità si
era notato che, collegando tramite segmenti i cinque vertici di un pentagono in
tutti i modi possibili, si otteneva la figura di una stella a cinque punte: questo
simbolo, che viene chiamato pentagramma, veniva usato come amuleto in tutte le più antiche civiltà ed è forse uno dei più antichi simboli della storia umana). Il pentagono presenta delle proporzioni molto particolari che, non a caso,
hanno sollecitato l’immaginazione di filosofi, artisti e scienziati.
Inoltre, innumerevoli piante, per riuscire a rendere massima l’esposizione al sole, alla pioggia e all’aria, collocano le proprie foglie secondo criteri matematici
ben precisi. Il modo migliore e più razionale di disposizione delle foglie segue il
numero divino, cioè esse avanzano lungo il fusto distanziandosi l’una dall’altra
all’incirca di 137.5°, corrispondente alla parte aurea dell’angolo di 360°.
Poi, nel corso della storia, è sempre stato profondo il legame tra musica e matematica. Numerosi musicisti sono rimasti affascinati dal numero aureo e lo
hanno usato deliberatamente nelle loro composizioni.
Il numero aureo si può anche trovare in importanti strumenti come il pianoforte e il violino. Ad esempio in alcuni tipi di violino le casse sono inscrivibili in un
rettangolo approssimativamente aureo e le misure della lunghezza della cassa
e del manico risultano spesso in proporzione aurea.
Noi pensiamo che la matematica, come l’arte faccia parte della quotidianità,
che sia ovunque in ogni momento.
Anche se siamo molto giovani, ci siamo accorte dell’importanza dell’arte e della
matematica che riescono a migliorare davvero la nostra vita e molte volte non
ce ne accorgiamo neanche. La matematica è fondamentale per le situazioni
pratiche, che ci capitano giornalmente, come ad esempio un’operazione numerica o un calcolo di percentuale, ma può rappresentare anche un ottimo argomento di discussione e confronto. L’arte è sempre presente nella nostra esistenza e ci permette di esprimere le nostre emozioni, andando oltre alle semplici parole. Matematica e arte sono delle attività che si svolgono all’interno di
una società e si sviluppano storicamente
Come potremmo vivere senza loro?
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Ci è piaciuto citare la frase del grande scienziato Albert Einstein perché ci ha
colpito molto:
“Dove il mondo cessa di essere il palcoscenico delle nostre speranze e dei nostri desideri per divenire l’oggetto della libera curiosità e della contemplazione,lì iniziano l’arte e la scienza. Se cerchiamo di descrivere la nostra esperienza
all’interno degli schemi della logica,entriamo nel mondo della scienza;se invece
le relazioni che intercorrono tra le forme della nostra rappresentazione sfuggono alla razionalità entriamo nel mondo artistico, ciò che accomuna due mondi è
l’aspirazione
a qualcosa di non arbitrario, di universale.”
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Arte e Matematica: secondo noi.
Alunni: Casotti Erica; Davini Lisa. (Classe 3^, a.s. 2014-2015, Scuola Secondaria
di 1^ grado di Gramolazzo, LU)
Referente: Antonella Ferri.
A prima vista può sembrare che tra matematica e arte non ci sia alcun legame,
perché la prima è basata sulla razionalità mentre la seconda sull'emotività.
L'arte si avvina alla matematica nel momento in cui quest'ultima diventa
espressione del soggetto che ricostruisce la realtà.
Basta pensare all'Uomo Vitruviano di Leonardo Da Vinci e a tutti i suoi calcoli
sulle proporzioni del corpo umano.
Cercando informazioni su internet ho scoperto che gli antichi greci progettavano le loro opere in base al rettangolo aureo, una figura ritenuta dalle
proporzioni perfette tanto che viene definito "divina proporzione", ad esempio
la pianta, e non solo, del Partenone lo rispecchia.
Anche nell'arte moderna troviamo legami con la matematica: molti pittori
dipingono figure astratte e geometriche. E infine uno stretto legame tra arte e
geometria lo troviamo nei mosaici, per i quali gli antichi hanno dovuto fare vari
calcoli. Erica
Matematica e arte, arte e matematica.
Due parole che sembrano cosi lontane ma in realtà sono cosi vicine e legate fra
di loro. Cosa sarebbe la vita stessa e quindi intesa come l’arte di vivere, senza la
matematica?
Matematica intesa come rapporti, proporzioni, misure, che nel loro insieme
regolano il mondo intero.
Il passare delle ore, lo scorrere della vita, la distanza fra i pianeti, non sono
altro che sequenze di numeri collegati fra loro che segnano incessantemente il
passare del tempo.
Arte intesa come perfetta proporzione di oggetti strettamente legati fra di loro.
L’arte della pittura, della musica, del costruire, non sono altro che segni evidenti
lasciati dall’uomo, regolati fra di loro da proporzioni e numeri che, presi separatamente non avrebbero nessun senso.
L’artista che ha l’ispirazione di una statua, di un quadro, o una qualunque altra
ispirazione che nasce spontaneamente dentro di lui, mette in pratica ciò che il
suo spirito poetico o di inventore illumina in quel momento.
Cosa sarebbe un pensiero pur bello o unico che sia, senza una precisa logica di
realizzazione?
Pensiamo a Michelangelo quando scolpì il David.
L’opera scultorea forse fra le più apprezzate ed ammirate al mondo, non sarebbe stata niente se l’artista, insieme al suo pensiero, non avesse messo in pratica
le sue conoscenze matematiche e geometriche, intese come proporzioni fra la
misura degli arti, la grossezza di una mano e il suo rapporto preciso con le dita,
l’ampiezza del capo con la grandezza della bocca.
Se Michelangelo non avesse amalgamato tutte le sue conoscenze e non solo
artistiche, oggi non avremmo il suo capolavoro.
Scendendo ancor di più nella storia dell’uomo, pensiamo alle piramidi egiziane,
con i loro precisi rapporti fra altezza e lunghezza del lato della base, oltre al
preciso rapporto fra il suo peso e il suo volume.
Sicuramente anche gli Egizi nell’antichità avevano già chiaro che la geometria
formava le basi per l’equilibro delle loro mega costruzioni.
Ma arte e matematica non sono solo presenti nelle scoperte dell’uomo o nelle
invenzioni.
Il rapporto fra queste due parti delle scienze, le ritroviamo anche nella quotidiana vita che ogni giorno, ogni uomo o animale vive.
Gli uccelli, le farfalle, i pesci compiono movimenti e azioni che se viste da occhio
non attento potrebbero essere solo giudicate uniche, belle, meravigliose.
Ma se guardiamo o esaminiamo attentamente i loro movimenti vediamo che
tutto è regolato da precise regole numeriche, precisi rapporti matematici che si
amalgamano con la quotidianità della vita.
Il volo stesso, che rappresenta una delle cose più belle al mondo, è un insieme
di regole e funzioni fisico matematiche senza le quali sicuramente il volatile non
riuscirebbe nemmeno a saltellare.
Questo non vuol dire che gli uccelli conoscono la matematica o la fisica, è la
natura che mescola le scienze a beneficio del movimento compiuto in quel
momento per sfuggire a un predatore, per procurarsi il cibo ecc.
Ho letto poi che ci sono delle farfalle che si svegliano, si riproducono e muoiono
seguendo precise serie numeriche.
Non è meraviglioso tutto questo?
Non è meraviglioso sapere che la natura nella sua straordinaria linea segue
precise formule matematiche?
Anche la musica pensata e rappresentata come una fra le più difficili discipline,
è strettamente collegata a precise regole matematiche come il ritmo, il tono.
Lo spartito se letto attentamente rivela l’arte musicale e il suo collegamento alla
matematica, con numeri e proporzioni perfettamente collegate fra di loro ed
esempi come questo potremmo farne a centinaia.
Concludendo possiamo affermare che la matematica e l’arte sono l’una parte
fondamentale dell’altra, una esiste se esiste l’altra, e quando una di queste due
non viene applicata, non viene raggiunto nessun risultato, ma solo fallimenti.
Lisa
La sezione aurea nell’arte
Alunni: Classe III A Sistemi Informativi Aziendali, indirizzo Tecnico
Economico “A. Guarasci” Rogliano, dell’Istituto Istruzione Superiore IPSIA
“Marconi” Cosenza – Lic. Sc. e ITE Rogliano (Cs)
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ALTIMARI GIUSEPPE
ALTOMARE LUCA
BONACCI MATTEO
CARPINO LUIGI
CITRIGNO FRANCESCO
DOMANICO EGIDIO
FISENKO DARIA
GAROFALO VALENTINA
GENCARELLI FRANCESCO
GERMANESE VINCENZO
GIULIANI ALDO
GRECO NICHOLAS
LE ROSE SERENA
MAGUZIA LUCA
MERENDA FRANCESCO
RIZZUTO MARCO
SPINELLI ILARIA
VIZZA ALESSANDRO
Docente referente: Prof.ssa Rosa Marincola
Figura 1. La classe III A SIA ITE di Rogliano
LA SEZIONE AUREA
La sezione aurea è una proporzione matematica. Dato il segmento AB, si definisce
sezione aurea, il segmento AP, con P compreso tra A e B, medio proporzionale tra
l'intero segmento AB e la parte rimanente PB.
La definizione si traduce nella proporzione AB : AP = AP : BC
Se AB misura , sia AP = x, la precedente proporzione diventa:
: x = x : ( -x)
da cui si ricava: x2 = ( -x)
x=
Ponendo = 1 , si ottiene l'equazione di 2° grado: x² + x – 1 = 0.
La lunghezza della parte maggiore nella divisione del segmento di lunghezza = 1 è
data dalla soluzione positiva, cioè x = 0,618.
Il numero ottenuto dal rapporto tra la misura del segmento e la sua sezione aurea è
stato chiamato sin dall'antichità rapporto aureo o proporzione aurea e anche divina
proporzione. Il raporto aureo è circa 1,618 e viene riconosciuto come ideale di
bellezza e armonia, spesso utilizzata nelle opere d’arte in molteplici esempi, sin dal
più antico passato e fino ai giorni nostri, nelle arti figurative, nella musica nell’architettura, come il Partenone di Atene.
Figura 2. http://utenti.unife.it/alessandra.fiocca/divulgazione/2009/architettura3.php
Sezione Aurea: Costruzione con riga e compasso
Costruzione della sezione aurea AP del segmento AB, (descrizione della costruzione
realizzata col software di geometria dinamica GeoGebra riportata in figura):
1) si traccia il segmento AB e il suo punto medio M;
2) si traccia la perpendicolare t ad AB in B;
3) si traccia la circonferenza c di centro B e raggio BM;
4) sia O il punto d’intersezione tra la perpendicolare t e la circonferenza c;
5) si traccia la circonferenza g di centro O e raggio OB;
6) unendo i punti AO, il segmento ottenuto interseca la circonferenza g nel punto C;
7) si traccia la circonferenza di centro A e raggio AC, essa interseca il segmento AB
nel punto P cercato per cui vale la proporzione:
AB: AP =AP:PB
Figura 3 costruzione della sezione aurea di un segmento
La costruzione di un rettangolo aureo con riga e compasso
1) si costruisce un quadrato DEFG e il punto medio H del lato DE;
2) si prolunga il lato DE (semiretta);
3) si traccia il segmento HF e la circonferenza c di centro H e raggio HF;
4) l'intersezione tra la circonferenza c e la semiretta DE è il vertice I del rettangolo
aureo cercato.
Il rettangolo aureo (il rapporto tra il lato maggiore e quelli minore è pari al numero
aureo) è un ente matematico presente sin dall’antichità in arte, in architettura, in
natura e anche in pubblicità. Studi psicologi hanno dimostrato che esso è uno dei
rettangoli più piacevoli all’occhio umano. Lo ritroviamo in moltissime opere dell’ingegno umano: nella piramide egizia di Cheope, nei megaliti di Stonehenge, nella pianta e nella facciata del Partenone di Atene, nella progettazione della Cattedrale di
Notre Dame e in quella del Palazzo dell'ONU, ecc. Fu nell'Ottocento che alla "Divina
proporzione" venne dato il nome di "Sezione aurea". Gli architetti greci del V secolo
a.C. erano consapevoli della sua armonia, sapevano costruirla e come usarla per
costruire il rettangolo aureo, Euclide, intorno al 300 a. C., lasciò la più antica testimonianza scritta sull'argomento. Nel XIII libro dei suoi Elementi, a proposito della
costruzione del pentagono, egli fornisce la definizione di divisione di un segmento in
"media ed estrema ragione". Non a caso la sezione aurea viene indicata con la lettera φ, iniziale del nome di Fidia, il famoso scultore che usava il rettangolo aureo
nelle sue opere. Negli oggetti quotidiani, possiamo trovare alcuni esempi di sezione
aurea come: le schede telefoniche, le carte di credito, i bancomat, le carte SIM dei
cellulari e, le musicassette (sono tutti rettangoli aurei con un rapporto tra base ed
altezza pari a 1,618). In natura il rapporto aureo è riscontrabile in molte dimensioni
del corpo umano. La sezione aurea è presente soprattutto nelle opere artistiche di
Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Bernardino Luini, Sandro Botticelli, Giotto,
Duccio e Cimabue dove secondo le tesi di Charles Bouleau si ricorreva spesso alla
sezione aurea (la divina proporzione), perché considerata quasi la chiave mistica
dell'armonia nelle arti e nelle scienze.
Oltre al rettangolo aureo di notevole importanza è anche il triangolo aureo (un
triangolo isoscele con due angoli di 72° e uno di 36° avente come base un lato di un
pentagono regolare e come lati congruenti due diagonali. Le diagonali di un
pentagono regolare si intersecano in media ed estrema ragione (in figura 6, AD : AB
= AB : AE) e determinano la stella pentagonale (figura 5) che fu il simbolo della
Scuola Italica o Pitagorica, sorta a Crotone nel VI secolo a.C.
Figura 4. triangolo aureo
Per i Pitagorici la stella pentagonale era simbolo di Salute, Armonia e Disciplina, oggi
è usata come sigillo dello Stato Italiano, nelle Stellette dell’Esercito Italiano e come
simbolo di aggregazione tra Stati (si pensi alla bandiera degli Stati Uniti e a quella
dell’Unione Europea)
Figura 5. Stella pentagonale o pentagramma
LEONARDO
Leonardo di ser Piero da Vinci Nasce a Vinci, 15 aprile 1452 e muore ad Amboise, 2
maggio 1519 è stato un pittore, ingegnere e scienziato italiano. Uomo d'ingegno e
talento universale del Rinascimento, incarnò in pieno lo spirito della sua epoca, portandolo alle maggiori forme di espressione nei più disparati campi dell'arte e della
conoscenza. Ricordiamo solo alcune delle sue opere.
L’ultima cena: nel 1494 Leonardo ricevette una commissione per il convento di
Santa Maria delle Grazie, luogo caro a Ludovico il Moro. Leonardo attinse alla tra-
dizione fiorentina dei cenacoli, reinterpretandola però in maniera estremamente
originale con una maggiore enfasi sul momento drammatico in cui Cristo afferma
«Qualcuno di voi mi tradirà» e sui "moti dell'animo" degli apostoli turbati. Essi sono
ritratti a gruppi di tre, come una serie di onde emotive successive, con al centro la
figura isolata e dominante del Cristo. Leonardo cambiò l'iconografia tradizionale
scegliendo di non rappresentare Giuda da solo su un lato del tavolo, ma accanto agli
altri sul medesimo lato rivolto allo spettatore. L'opera era conclusa nel 1498,
quando venne ricordato nel De Divina Proportione di Luca Pacioli. La tovaglia che
copre la tavola mostra delle pieghe, particolare che indica evidentemente una
tovaglia originalmente piegata; una volta «spiegata» mostra un certo numero di
rettangoli; quelli visibili sono esattamente 16 nella lunghezza e 7 compresi tra quelli
che coprono la tavola (4 e 1/2) e quelli che discendono (2 e 1/2) per un totale di 112.
L'apostolo Giacomo Maggiore è rappresentato a fianco di Gesù con le braccia aperte
in un gesto assai simile a quello con il quale si mostra una misura; si può misurare
che la distanza obliqua tra i medi di Giacomo (a) è uguale alla distanza dei medi di
Gesù (b), la distanza degli indici dell'apostolo indicano il segmento maggiore c della
sezione in cui d è il minore, segmento che misura esattamente e: ovvero la metà
della base del triangolo che circoscrive Gesù; quest'operazione permette di trovare il
punto medio del quadrato di base 2e=f, dunque di costruire la sezione il cui
segmento minore è dato dall'ampiezza del gesto dell'apostolo (limite delle dita),
sezione che permette di ritrovare ancora la sezione aurea del quadrato e l'altezza
dell'occhi di Gesù. Gesù, il solo personaggio veramente divino, è dipinto con le
proporzioni divine, ed è racchiuso in un rettangolo aureo.
Figura 6 L'ultima cena http://www.liceoberchet.gov.it/ricerche/sezioneaurea/sez6.htm
La Gioconda: nemmeno il ritratto de La Gioconda si sottrae al fascino della sezione
aurea: vari studi dimostrano come la il volto della Monna Lisa, tanto nell’insieme
quanto nei dettagli, si articola in un’elegante successione di rettangoli aurei.
La Divina Proportione non è stata individuata solo nel viso, ma nella disposizione del
quadro, nell’area che va dal collo fino alle mani e in quella che va dalla scollatura
dell’abito fino a sotto le mani.
Figura 7 La Gioconda
L’uomo vitruviano: Leonardo applicò le conoscenze scientifiche sulle proporzioni
umane agli studi di Pacioli e di Vitruvio riguardo alla bellezza. Seguendo l’ideale
rinascimentale. L’uomo ideale o vitruviano pone le dimensioni del corpo umano al
centro dell’universo dal momento che risulta iscritto tanto in un cerchio quanto in
quadrato. Leonardo trovò una soluzione originale ed elegante per rappresentarlo,
basato sul fatto che il quadrato e la circonferenza avessero centri differenti. I genitali sono al centro del quadrato mentre l’ombelico è il centro della circonferenza.
L’immagine, simbolica unione tra arte e scienza, rappresenta la centralità dell'uomo
attraverso lo studio delle proporzioni del corpo umano, secondo i canoni antropometrici dell’architetto romano Vitruvio Pollio del I secolo a.C., il quale spiega le
proporzioni perfette di una figura umana basandosi su criteri semplici. Egli sostiene
che l’altezza deve essere uguale all’apertura delle braccia, e che un uomo sdraiato,
allargando braccia e gambe, è racchiuso in un cerchio ed in un quadrato.
Figura 8 L'uomo vitruviano
Le proporzioni ideali del corpo umano derivanti da questa figura, corrispondono alla
regione aurea fra il lato del quadrato e il raggio del cerchio.
LEON BATTISTA ALBERTI
Leon Battista Alberti nato a Genova il 18 febbraio 1404 e deceduto a Roma il 25 aprile 1472 è stato un architetto, scrittore, matematico, umanista, crittografo, linguista,
filosofo, musicista e archeologo italiano. Fu una delle figure artistiche più poliedriche del Rinascimento. Un suo costante interesse era la ricerca delle regole, teoriche
o pratiche, in grado di guidare il lavoro degli artisti. Nelle sue opere menzionò alcuni
canoni, ad esempio: nel De statua espose le proporzioni del corpo umano, nel De
pictura fornì la prima definizione della prospettiva scientifica e infine nel De re
aedificatoria, descrisse tutta la casistica relativa all'architettura moderna, sottolineando l'importanza del progetto e le diverse tipologie di edifici a seconda della loro
funzione. Indagini effettuate con diagrammi e rigorose riproduzioni hanno messo in
evidenza che la sezione aurea è la regola che domina la connessione di tutte le parti
di molte sue costruzioni.
Figura 9. Tempio Malatestiano http://www.cultorweb.com/Comp/Mcarch.html
LUCA PACIOLI
Fra Luca Bartolomeo de Pacioli o anche Paciolo (Borgo Sansepolcro, 1445 circa –
Roma, 19 giugno 1517) è stato un religioso, matematico ed economista italiano,
autore della Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proportionalità e della
Divina Proportione. Egli è riconosciuto di essere il fondatore della ragioneria. Studiò
e avviò la sua formazione a Sansepolcro, completandola poi a Venezia. Entrò
nell'Ordine francescano nel 1470. Fu insegnante di matematica a Perugia, Firenze,
Venezia, Milano, Pisa, Bologna e Roma e viaggiò molto. Nel 1497 accettò l'invito di
Ludovico il Moro a lavorare a Milano, dove collaborò con Leonardo da Vinci.
“La bellezza è una forma armonica le cui onde seguono un principio di crescita, la
disarmonia ha forme disturbanti e seguono la decrescita o meglio, il controllo della
crescita.”
La "De Divina proporzione" occupa un posto di particolare pregio soprattutto perché
testimonia, con i suoi 60 disegni leonardeschi, il vicendevole scambio di esperienze
intercorso tra Luca Pacioli e Leonardo, in quel prolifico scorcio di secolo alla corte di
Ludovico il Moro. Del "De Divina Proporzione", terminato nel 1498, furono compilate tre copie manoscritte: la prima è conservata presso la Biblioteca Civica di
Ginevra, la seconda è custodita presso la Biblioteca Ambrosiana di Milano, la terza è
andata perduta. I successivi capitoli del De divina proportione sono ispirati all’opera
di Euclide e di Platone, e trattano ancora una volta della ‘proporzione divina’. È
esattamente qui che Pacioli riprende le intuizioni precedenti relative alla ‘proporzione aurea’, applicandole agli argomenti che a lui – uomo di fede – probabilmente
più interessavano. Centrale era per lui la dimostrazione che Dio è uno e trino, e che
questa verità discende algebricamente dalla definizione della ‘proporzione divina’
detta anche ‘sezione aurea’, indicata dal rapporto che all’interno di un qualsiasi
segmento c’è tra due lunghezze diseguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. Così, come la ‘proporzione divina’ è un
numero inesprimibile per mezzo di una frazione, è un numero ‘irrationale’, allo stesso modo Dio è inconoscibile per mezzo della ragione umana, non è definibile
attraverso espressione verbale né esprimibile sotto forma di quantità.
Figura 10. Luca Pacioli https://pms.wikipedia.org/wiki/Luca_Pacioli
ALBRECHT DÜRER
Albrecht Dürer nacque a Norimberga il 21 maggio 1471 e morì a Norimberga il 6
aprile 1528 è stato un pittore, incisore, matematico e trattatista tedesco. Figlio di un
ungherese, viene considerato il massimo esponente della pittura tedesca rinascimentale. A Venezia l'artista entrò in contatto con ambienti neoplatonici. Si presume
che tali ambienti abbiano sollevato il suo carattere verso l'aggregazione esoterica.
Albrecht Dürer fu uno dei prosecutore delle ricerche di Leonardo. Ne Della
Misurazione illustra la sua filosofia di bellezza nell’armonia delle proporzioni; disse:
“La bellezza consiste nell’armonia delle parti fra loro con il tutto allo stesso modo in
cui ogni parte in se stessa deve essere convenientemente tracciata, così la loro
unione deve creare un armonia di insieme, poiché gli elementi armoniosi vengono
tenuti per belli”.
Il trattato descrive anche la costruzione di un innumerevole numero di curve (la
concoide, la spirare di Archimede, la spirale aurea), di poligoni regolari, dei poliedri e
dei 5 solidi regolari o platonici. La sua opera può essere considerata l’inizio della
geometria descrittiva. Da ultimo il libro presenta un’introduzione alla teoria della
prospettiva, indicando gli strumenti necessari per applicarla nel disegno vero.
Arte e matematica,
connubio ideale
Alunno:Francesco Basile, Classe IB Liceo Scientifico “Enzo Siciliano”
Bisignano CS
Referente: Prof.ssa Franca Tortorella
“La matematica è l’alfabeto nel quale Dio ha scritto l’universo” è una frase di
Galileo Galilei che ci ricorda come la natura rispetta le leggi della matematica:
corpi sferoidali, i frattali, la sezione aurea, la simmetria ecc.
La sfera è una delle forme preferite dalla natura: i pianeti, il sole
ecc.. ma anche il mondo microscopico è ricco di forme sferoidali:
ad esempio un granello di polline di un fiore della passione
(Passiflora) ingrandito tante volte lo si confonde con una pallina da
tennis.
Per “frattali” i matematici intendono
tutte quelle forme geometriche con
dettagli così intricati che anche con
successivi ingrandimenti rimangono
tali. Ne è esempio il cristallo del fiocco
di neve.
Il Numero aureo o sezione aurea è quel numero che divide un segmento in due
particolari segmenti tali che la parte più lunga è media proporzionale fra l’intero
segmento e la parte restante.
AC : AB = AB : BC
Cioè il segmento AB vale AC x 0,618…
Con i rettangoli aurei si mettono in relazione i lati.
Il rettangolo aureo è quel rettangolo ove il rapporto tra lato minore e lato
maggiore è pari al numero aureo prima detto, cioè il lato lungo è medio
proporzionale fra la somma dei lati ed il lato corto.
La caratteristica di questo rettangolo è che si divide in rettangoli aurei sempre
più piccoli.
Congiungendo ordinatamente gli spigoli dei rettangoli generati si ottiene la
spirale aurea:
Esiste un mollusco, il nautilo, che costruisce la sua conchiglia a forma di
“spirale aurea” in modo incredibilmente aderente e di straordinaria bellezza:
Le forme costruite con la proporzione aurea risultano particolarmente armoniose
tanto che gli artisti la adoperano diffusamente:
Anche il corpo umano rispetta le proporzione aurea, quindi la rappresentazione
grafica corretta del corpo umano implica l’applicazione di regole matematiche.
O ancora, il classico sassolino buttato nello stagno che genera i cerchi
concentrici con singolare precisione.
Sono tutti questi esempi di come la natura rispetta delle regole che riusciamo a
descrivere matematicamente. Fin dagli albori l’uomo ha sempre cercato di
raffigurare il mondo intorno a se, riuscendo ad instaurare, fin da subito, una
forte relazione fra il mondo dell'arte figurativa e il mondo della matematica.
Aristotele però diceva “La matematica è la forma più pura di bellezza”. “L'arte
e la matematica sono, infatti, creazioni umane che hanno alla base la fantasia e
un linguaggio rigoroso” e fra loro, da sempre, c’è una mutua interazione.
L’incredibile prospettiva de “L’ultima cena” di Leonardo da Vinci, ad esempio,
non può essere frutto solo dell’occhio di un grandissimo artista, ma alle spalle
c’è un processo matematico più o meno sofisticato.
La bellezza artistica classica parla di oggetti reali, riprodotti da artisti che, per
trovare le giuste proporzioni, usano regole matematiche.
’arte astratta, invece, che non riproduce oggetti reali ma che al pari dell’arte
classica, riesce a suscitare le stesse emozioni. Il non aver un soggetto noto, o se
vogliamo, il non copiare un oggetto dalla natura, attrae ed emoziona (forse un
po’ di più attrae i matematici). Si pensa per esempio al pittore russo Kandinskij:
rappresentava nelle sue tele semplici costruzioni geometriche ma riusciva lo
stesso a ispirare forti emozioni, anche se razionalmente è difficile spiegare per
quale motivo.