Serie a termini positivi

Luca Lussardi
Appunti di Analisi I
Serie a termini positivi
Per le serie a termini positivi, ovvero con termine generale xn ≥ 0, si hanno varie condizioni
sufficienti (non necessarie) che garantiscono la convergenza o la positiva divergenza della serie:
va osservato infatti che una serie a termini positivi può solo convergere o divergere positivamente,
essendo la successione Sk una successione monotona non decrescente.
Criterio del confronto: Sia
+∞
X
xn
n=0
una serie a termini positivi; supponiamo esista una successione yn con xn ≤ yn per ogni n ∈ N
e tale per cui la serie
+∞
X
yn
n=0
converga. Allora anche la serie
+∞
X
xn
n=0
converge.
Dimostrazione. Si osservi che anche la serie
+∞
X
yn
n=0
è a termini positivi; ne segue che la successione
Sk0 =
k
X
yn
n=0
è non decrescente e si ha Sk ≤ Sk0 per ogni k ∈ N, essendo
Sk =
k
X
xn .
n=0
Dunque Sk ha limite finito, avendo Sk0 limite finito.
Criterio del confronto asintotico: Sia
+∞
X
n=0
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xn
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una serie a termini positivi; supponiamo esista un’altra serie
+∞
X
yn
n=0
a termini strettamente positivi tale che
xn
= c ∈ R.
yn
lim
n→+∞
Allora se la serie
+∞
X
yn
n=0
converge anche la serie
+∞
X
xn
n=0
converge.
Dimostrazione. La condizione data garantisce che esiste M > 0 tale per cui se n ≥ ν si ha
xn ≤ M yn ; ma allora per k abbastanza alto si ha
k
X
xn =
n=0
ν
X
k
X
xn +
n=0
xn ≤
n=ν+1
ν
X
xn + M
n=0
k
X
yn
n=ν+1
e si conclude grazie alla convergenza della serie di termine generale yn .
Criterio della radice: Sia
+∞
X
xn
n=0
una serie a termini positivi; se
lim
√
n
xn < 1
lim
√
n
xn > 1
n→+∞
allora la serie converge, mentre se
n→+∞
la serie diverge positivamente.
Dimostrazione. Sia M < 1 tale per cui per n ≥ ν si abbia
xn ≤ M n per n ≥ ν. Quindi per k abbastanza alto si ha
k
X
xn =
n=0
ν
X
xn +
n=0
k
X
xn ≤
n=ν+1
ν
X
n=0
xn +
√
n
xn ≤ M ; allora si ha anche
k
X
Mn
n=ν+1
e si conclude grazie alla convergenza della serie geometrica di termine generale M n . Se invece
lim
√
n
n→+∞
xn > 1
allora si ha anche
lim xn > 1,
n→+∞
per cui la serie data non può convergere.
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La stessa dimostrazione si adatta facilmente anche per dimostrare il seguente secondo criterio:
Criterio del rapporto: Sia
+∞
X
xn
n=0
una serie a termini strettamente positivi; se
lim
xn+1
<1
xn
lim
(xn+1
>1
xn
n→+∞
allora la serie converge, mentre se
n→+∞
allora la serie diverge positivamente.
Osservazione: I criteri enunciati non dicono nulla a proposito del caso in cui si abbia, per
esempio,
√
lim n xn = 1
n→+∞
o
lim
n→+∞
xn+1
= 1;
xn
in tali casi effettivamente la serie data potrebbe convergere o non convergere. Ad esempio la
serie armonica
+∞
X
1
n
n=1
diverge positivamente mentre la serie
+∞
X
1
n2
n=1
converge, nonostante per entrambe le serie si abbia
lim
n→+∞
√
n
xn = lim
n→+∞
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xn+1
= 1.
xn