Proibito non sapere!! - e-Learning

Proibito non sapere!!
1. Dare la definizione di funzione derivabile e di derivata.
Risposta: La funzione f , definita in un intorno di x0 ∈ R, si dice derivabile in x0 se esiste finito il
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Tale limite, se esiste, si chiama derivata di f in x0 e si indica con f 0 (x0 ).
2. Enunciare il Teorema Fondamentale del Calcolo
Risposta:
a. Sia f una funzione integrabile su [a, b] e sia x0 ∈ [a, b]. Allora la funzione F (x), definita mediante la
seguente formula,
Z x
f (t) dt
F (x) =
x0
é continua su [a, b].
b. Se f é continua su [a, b] allora F é derivabile su [a, b] e F 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ [a, b].
c. Se f é continua su [a, b] e G é una qualunque primitiva di f , allora
Z
b
f (x)dx = G(b) − G(a)
a
3. Dare la definizione di limite per le successioni.
Risposta: Si dice che la successione an ha per limite il numero reale l (o converge a l ) se per ogni > 0
esiste un indice n tale che per ogni n ≥ n si ha che |l − an | < , ossia tutti i termini della successione di
indice maggiore o uguale ad n si trovano nell’intorno di raggio di l.
Si dice che la successione an diverge a +∞ (rispettivamente −∞ ) se per ogni M esiste un indice nM tale
che per ogni n ≥ nM si ha an > M (rispettivamente an < M ).
4. Dare la definizione di serie convergente.
P+∞
Pn
Risposta: La serie k=0 ak si dice convergente se la successione delle sue somme parziali Sn = k=0 ak é
convergente. In tal caso S = lim Sn si dice somma della serie.
1