Il problema di Pothenot-Snellius

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IL PROBLEMA DI POTHENOT-SNELLIUS (INTERSEZIONE INVERSA)
Il problema di Pothenot-Snellius
(impostazione alternativa a quella proposta nel testo)
Le intersezioni dirette (in avanti e laterale) richiedono un semplice e rapido lavoro di calcolo, ma sono spesso complicate nella fase di realizzazione delle misure
angolari in campagna, a causa della consistente probabilità di dover effettuare
stazioni fuori centro.
Ben più conveniente sarebbe la determinazione della posizione del punto incognito P, senza avere la necessità di fare stazione col goniometro su uno o più
vertici trigonometrici, ma facendo stazione sul punto P, naturalmente quando
questo è accessibile.
Questa opportunità ci è fornita dall’intersezione inversa, la quale prevede
lo stazionamento del goniometro solo sul punto P incognito, dal quale però
devono essere visibili almeno tre punti A, B, C (intersezione inversa semplice) di coordinate note, per consentire la misura dei due angoli orizzontali e compresi tra le tre direzioni che escono da P e che passano per essi
(FIGURA 1).
Naturalmente i tre punti noti A, B, C sono da considerare inaccessibili, o quantomeno scomodi, altrimenti il problema potrebbe essere risolto più rapidamente in
altro modo.
Questo notissimo problema di topografia venne formulato la prima volta da
Snellius (Willebrord Snell), che ne indicò una soluzione di tipo grafico nei primi
anni del Seicento. Ma poi fu Pothenot (1690) che ne sviluppò una procedura analitica congeniale al calcolo logaritmico. Da allora numerosi furono gli studi fatti
su questo problema; tra questi studi esiste la soluzione grafica proposta dall’astronomo e cartografo francese di origine italiana Jacques Cassini (1677-1756),
che potrà anche essere adottata come base geometrica per la procedura numerica di risoluzione del problema di Pothenot-Snellius.
Diciamo subito che alla semplificazione nell’esecuzione delle misure rispetto alle intersezioni dirette, corrisponde, nelle intersezioni inverse, una maggior complessità dello schema geometrico e dei relativi calcoli, che tuttavia
è senz’altro meglio tollerata e più conveniente.
Come nell’intersezione in avanti, anche in questo caso è necessario eliminare
l’ambiguità connessa alla posizione di P rispetto ai punti A, B e C, stabilendo a
priori da che parte si colloca P, se alla destra (come in FIGURA 1) oppure alla sinistra di un osservatore posto in A che osserva B.
Gli elementi geometrici in gioco nell’intersezione inversa semplice sono sintetizzati nella seguente tabella:
B
C
A
α
β
P
Copyright © 2009 Zanichelli editore S.p.A., Bologna [6629]
FIGURA 1 Schizzo orientativo
relativo al metodo dell’intersezione
inversa semplice per la
determinazione del punto P
(problema di Pothenot-Snellius)
partendo dai 3 punti A, B e C
di coordinate note, e con la misura
degli angoli e in P.
1
Elementi noti
Elementi misurati
Incognite
, P (XP; YP)
A (XA; YA)
B (XB; YB)
C (XC; YC)
Esistono, come si è accennato, numerose soluzioni per questo problema. Alcune
di esse sono di tipo grafico, altre di tipo numerico; tra queste ultime poi, in passato, erano preferite quelle che permettevano il calcolo logaritmico, ma ormai,
dopo l’avvento delle calcolatrici tascabili, tale prerogativa appare del tutto irrilevante.
Le soluzioni di tipo grafico, oggi, non hanno la funzione di sostituire il calcolo analitico delle coordinate di P, quanto, piuttosto, quella di fissare in
modo rapido la sua posizione di massima, prima di intraprendere il calcolo numerico.
Per questa ragione, alla trattazione della soluzione analitica del problema facciamo precedere quella grafica, che ci fornirà anche alcune indicazioni geometriche
indispensabili allo sviluppo numerico del problema.
n Soluzione grafica di Cassini
Tra le soluzioni grafiche del problema di Pothenot-Snellius è nota quella denominata delle due circonferenze, proposta dal già citato Jacques Cassini, la cui geometria ci servirà per impostare una soluzione numerica che si presti al calcolo
con la calcolatrice tascabile.
La denominazione, assegnata al metodo è dovuta al fatto che il punto incognito P viene individuato graficamente dall’intersezione di due circonferenze opportunamente costruite (FIGURA 2).
In sostanza si tratta di trovare sul grafico, dove in precedenza sono stati collocati i tre punti A, B, C, mediante le loro coordinate cartesiane, il punto incognito
P dal quale si vedono i segmenti AB e BC, rispettivamente, sotto gli angoli misurati e .
F
(XB; YB)
E
BC
B
se
ass
e
as
=
=
AB
α
(XA; YA)
100 – α
A
=
=
100
2β
2α
O2
O1
FIGURA
α
2 Soluzione grafica
(dovuta a J. Cassini) relativa
al metodo dell’intersezione inversa
semplice per la determinazione
della posizione del punto P.
2
(XC; YC)
C
100 – β
c
c
β
c
β
P
100c
La procedura è la seguente: dal punto A si traccia la semiretta AE formante
con AB, dalla parte opposta di P, un angolo uguale ad . Si traccia poi l’asse
del segmento AB e in A la perpendicolare ad AE. Quest’ultima può anche essere tracciata col rapportatore costruendo l’angolo BÂO1 100c .
Il punto d’incontro O1 è il centro di una circonferenza che passa per A e per B ed
è tangente in A alla semiretta AE. Tutti i punti di questa circonferenza compresi
nell’arco AB dalla parte di P fanno vedere il segmento AB sotto angoli uguali
(angoli alla circonferenza sottesi alla stessa corda AB), e in particolare essi sono
tutti di ampiezza .
Per rendersene conto occorre ricordare dalla geometria che l’angolo al centro
AÔ1B, sotteso alla corda AB, è il doppio dell’angolo che la stessa corda forma
con la tangente alla circonferenza in un suo estremo, e perciò vale 2. Peraltro,
sempre dalla geometria delle circonferenze, è noto che gli angoli con vertice sulla
circonferenza sottesi a una stessa corda AB sono la metà del corrispondente angolo al centro, e quindi nel nostro caso valgono . Pertanto il punto P cercato dovrà trovarsi sulla circonferenza tracciata.
Con procedimento del tutto analogo, ma utilizzando l’angolo , si traccia una
seconda circonferenza di centro O2 passante per i punti B e C. I punti di questa
seconda circonferenza, compresi nell’arco BC dalla parte di P, fanno vedere la
corda BC sotto l’angolo , pertanto il punto P dovrà trovarsi anche su questa seconda circonferenza.
Le due circonferenze passano entrambe per B e si incontrano in un secondo punto che è il punto P cercato. Esso gode, infatti, della proprietà di far
vedere simultaneamente il segmento AB sotto l’angolo e quello BC sotto
l’angolo .
n Soluzione analitica (basata sulla soluzione grafica di Cassini)
Nel tempo, sono state proposte svariate soluzioni, sia grafiche che numeriche, di
questo notissimo problema. I classici metodi di risoluzione analitica del problema
di Pothenot-Snellius erano in genere influenzati dal calcolo logaritmico, che in
passato era un importante strumento per sviluppare i calcoli. Oggi, con l’uso delle calcolatrici tascabili, viene a mancare il condizionamento di arrivare a una
espressione logaritmica, dando spazio a soluzioni più lineari sotto l’aspetto geometrico. Noi ne proporremo una particolarmente adatta a essere memorizzata
nei computer o in semplici calcolatrici programmabili, ma anche al semplice calcolo manuale con calcolatrice tascabile.
Pur non essendo elementi essenziali alla procedura che proporremo, iniziamo
il calcolo determinando le lunghezze dei lati A
B
a e B
C
b e dei relativi azimut (AB) e (CB) (FIGURA 3):
XB XA
(AB) arctg YB YA
XB XA
a sen (AB)
oppure
YB YA
a cos (AB)
(1)
XB XC
(CB) arctg YB YC
XB XC
b sen (CB)
oppure
YB YC
b cos (CB)
Con riferimento alla soluzione grafica delle due circonferenze, riportata in FIGU3, prolunghiamo il raggio BO1 fino ad intersecare in P1 la prima circonferenza
di centro O1 (BP1 pertanto ne è un diametro). Analogamente prolunghiamo il
raggio BO2 fino a intersecare in P2 la seconda circonferenza di centro O2 (BP2 diventa un diametro di questa circonferenza).
RA
3
FIGURA 3 Gli elementi
della soluzione analitica
del problema di Pothenot-Snellius
basato sulla soluzione grafica
delle due circonferenze.
( BC )
(X B ; YB (
B
b
Y
a
( AB )
A
100 c
100 c
O2
( X A; YA (
O1
100 c
100 c
P
O
C
(X C ; YC (
X
P1
P2
( X 2 ; Y2(
( X P ; YP (
( X 1 ; Y1(
Le coordinate cartesiane dei punti P1 e P2, che in seguito indicheremo con
(X1;Y1) e (X2;Y2), possono essere calcolate partendo rispettivamente dai punti A
e C, di coordinate note, con le seguenti e consuete formule:
X1 XA A
P
1 sen (A
P
1)
X2 XC C
P
2 sen (CP2)
Y1 YA A
P
1 cos (AP1)
Y2 YC C
P
2 cos (CP2)
(2)
Per il calcolo di queste coordinate sono necessarie le coordinate polari di P1 rispetto ad A [AP1 e (AP1)], e quelle di P2 rispetto a C [CP2 e (CP2)]. Osserviamo
ora i triangoli ABP1 e CBP2; essi sono senz’altro rettangoli perché inscritti in una
semicirconferenza (BP1 e BP2 sono diametri, pertanto BÂP1 BĈP2 100c).
Inoltre essi sono risolvibili perché sono noti rispettivamente i cateti a e b e, ricordando poi che AP̂B AP̂1B e CP̂B CP̂2B perché angoli alla circonferenza sottesi alle stesse corde AB e BC, si ha che AP̂1B e CP̂2B . Dunque possiamo scrivere:
A
P
1 a cotg C
P
2 b cotg (AP1) (AB) 100c
(CP2) (CB) 100c
Sostituendo queste coordinate polari nelle (2) si ottiene:
X1 XA a cotg sen [(AB) 100c]
X2 XC b cotg sen [(CB) 100c]
Y1 YA a cotg cos [(AB) 100c]
Y2 YC b cotg cos [(CB) 100c]
Ricordando dalla trigonometria che:
4
sen [(AB) 100c] cos (AB)
sen [(CB) 100c] cos (CB)
cos [(AB) 100c] sen (AB)
cos [(CB) 100c] sen (CB)
(3)
e che i lati a e b per le (1) possono essere espressi come: a (YB YA) /cos (AB)
e b (YB YC) / cos (CB); possiamo scrivere le (3) nel seguente modo:
YB YA
X1 XA cotg cos (AB)
cos (AB)
YB YC
X2 XC cotg [cos (CB)]
cos (CB)
YB YA
Y1 YA cotg [sen (AB)]
cos (AB)
YB YC
Y2 YC cotg sen (CB)
cos (CB)
Semplificando si ottiene:
X1 XA (YB YA) cotg X2 XC (YB YC) cotg Y1 YA (YB YA) cotg tg (AB)
Y2 YC (YB YC) cotg tg (CB)
Poiché è anche: tg (AB) (XB XA) /(YB YA) e tg (CB) (XB XC) /(YB YC),
sostituendo si ottiene per P1 e P2:
X1 XA (YB YA) cotg X2 XC (YB YC) cotg Y1 YA (XB XA) cotg Y2 YC (XB XC) cotg (4)
Osservando ancora la FIGURA 3, si vede che il triangolo BPP1 è rettangolo, perché inscritto in una semicirconferenza di cui BP1 è un diametro. L’angolo P1PB
naturalmente è retto. La stessa valutazione può essere fatta per il triangolo
BPP2; l’angolo B è anch’esso di 100c, pertanto l’angolo P1PP2 è uguale all’angolo piatto.
Dunque i punti P1, P e P2 sono allineati e il segmento BP è perpendicolare
alla retta che passa per P1 e P2 nel punto P.
La geometria ci fornisce una procedura per il calcolo delle coordinate del punto
P cercato. Essa è relativa al calcolo del piede della perpendicolare (il punto P) a
un segmento assegnato (il segmento P1P2) e passante per un punto noto
(il punto B), e si compone di due fasi: nella prima viene calcolato un coefficiente
intermedio indicato con , nella seconda vengono calcolate le coordinate del
punto P (XP ; YP) cercate. Le formule da utilizzare sono le seguenti:
(X2 X1) (Y1 YB) (Y2 Y1) (XB X1)
(X2 X1)2 (Y2 Y1)2
XP XB (Y2 Y1) YP YB (X2 X1) (5)
(6)
Le formule (4), (5) e (6) permettono di calcolare in modo analitico le coordinate
incognite del punto P cercato.
5
APPLICAZIONE
Problema Per determinare la posizione plano-altimetrica del punto P, sono stati individuati tre punti A, B, C con le seguenti coordinate note:
XA 2100,00 m
XB 785,00 m
XC 2970,00 m
YA 1450,00 m
YB 2398,00 m
YC 705,00 m
Si è fatta stazione con un teodolite centesimale destrorso sul punto P e si sono eseguite
le seguenti letture al cerchio orizzontale:
LA 50c,0000
LB 110c,1852
LC 153c,7778
Sul punto C di quota nota QC 312,00 m, e collimando direttamente a terra, si è misurato l’angolo zenitale C 98c,6550 con un’altezza strumentale hP 1,56 m. Determinare le coordinate planimetriche del punto P e la quota dello stesso punto, considerando per K e R i seguenti valori medi: K 0,14 e R 6377 km.
Soluzione grafica
La FIGURA 4 rappresenta la costruzione in scala del problema proposto. Particolarmente efficace può diventare la costruzione grafica utilizzando un programma CAD; in questo caso all’immediatezza dei procedimenti grafici si unisce anche la precisione propria
delle procedure numeriche.
Soluzione analitica
110c, 1852 50c,0000 60c,1852
153c,7778 110c,1852 43c,5926
Applichiamo le (4):
X1 2100,00 (2398,00 1450,00) cotg 60c,1852 1415,442 m
Y1 1450,00 (785,00 2100,00) cotg 60c,1852 633,279 m
X2 2970,00 (2398,00 705,00) cotg 43c,5926 896,641 m
Y2 705,00 (785,00 2970,00) cotg 43c,5926 1970,894 m
Y
B
A
C
O1
O2
P1
O
X
P
FIGURA
P2
4 Soluzione grafica
del problema applicativo esposto.
6
Applichiamo la (5):
(896,6411415,442)(633,2792398)(1970,894633,279)(7851415,442)
(896,6411415,442)2(1970,894633,279)2
1,39481
Applichiamo le (6):
XP 785,00 (1970,894 633,279) (1,39481) 1080,72 m
YP 2398,00 (896,641 1415,442) (1,39481) 826,92 m
Infine, per calcolare la quota di P, è necessario avere la distanza PC:
2970 1080,72
(PC) arctg 76c,9824
705 826,92
2970 1080,72
PC 4330,72 m
sen 76c,9824
Essendo il punto C collimato a terra è lC 0, dunque:
1 0,14
PC 4330,72 cotg 98c,6550 1,56 4330,722 94,334 m
2 6 377 000
QP 312,00 94,334 217,665 m
7

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