Integrali multipli secondo Riemann

Integrali multipli secondo Riemann
F.Portelli
2
Indice
1 Integrali doppi
1.1
1.2
1.3
1.4
Prime denizioni . . . . . . . . . . . . . .
Teoremi sulle funzioni Riemann-integrabili
Teoremi per il calcolo degli integrali doppi
Integrali doppi impropri . . . . . . . . . .
.
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.
5
. 5
. 6
. 8
. 10
2 Integrali tripli
11
3 Integrali di supercie
13
2.1 Teoremi per il calcolo degli integrali tripli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1 Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Teroema della divergenza e del rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3
4
INDICE
Capitolo 1
Integrali doppi
1.1 Prime denizioni
DEFINIZIONE
Dati K: [a, b)x[c, d) ⊂ R2 , f:K→ R limitata e data P=P1 xP2 partizione del rettangolo K,
dove P1 ={x0 ,x1 ,. . .,xn } è una partizione di [a, b) e P2 ={y0 ,y1 ,. . .,ym } è una partizione
di [c, d) e indicato con Kij =[xi , xi−1 )x[yj , yj−1 ) il rettangolo generico della partizione di
K, deniamo:
n X
m
X
(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )mij = s(f, P )
i=1 j=1
somma di Riemann inferiore, con mij =inf f per (x, y)∈Kij .
Deniamo:
n m
XX
(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )Mij = S(f, P )
i=1 j=1
somma di Riemann superiore, con Mij =sup f per (x, y)∈Kij .
Osservazione: in parole povere la costruzione che si è fatta consiste nell'aver denito
due somme, una riguardante parallelepipedi di base Kij ed altezza gli estremi inferiori
della funzione relativi ai rettangoli di partizione (che saranno limitati in quanto f è limitata su K), e quindi il volume da essa occupata sarà inferiore a quello `occupato' da f su
K, mentre l'altra somma darà come risultato un volume superiore a quello `occupato' da
f su K.
DEFINIZIONE
Dati K: [a, b)x[c, d) ⊂ R2 , f:K→ R limitata, deniamo:
Z
−
f (x, y) dx dy = sup(s(f, P ))
K
integrale inferiore di f su K.
Deniamo:
Z
+
f (x, y) dx dy = sup(S(f, P ))
K
integrale superiore di f su K.
DEFINIZIONE
Dati K: [a, b)x[c, d) ⊂ R2 , f:K→ R limitata, diremo che f è Riemann integrabile su K se:
Z
−
Z
+
f (x, y) dx dy =
K
f (x, y) dx dy.
K
5
6
CAPITOLO 1.
INTEGRALI DOPPI
Il valore per il quale si ha tale uguaglianza prende il nome di integrale di Riemann di f su K
e si indica con:
Z
f (x, y) dx dy
K
1.2 Teoremi sulle funzioni Riemann-integrabili
TEOREMA
Dati K: [a, b)x[c, d) ⊂ R2 , f:K→ R limitata, anche se f non è Riemann-integrabile, si ha
comunque che:
Z −
Z +
f (x, y) dx dy ≤
K
f (x, y) dx dy.
K
Prima di dimostrare questo teorema, dimostriamo un lemma che si rivelerà utile:
LEMMA
0
Dati
K: [a, b)x[c, d) ⊂ R2 , f:K→ R limitata, comunque si prendano due partizioni P e
00
P partizioni di K, si ha sempre:
0
00
s(f, P ) ≤ S(f, P )
DIMOSTRAZIONE
0
00
La disuguaglianza è se P =P in quanto si ha, valutando la dierenza tra somme di
Riemann superiori ed inferiori:
n X
m
X
n X
m
n X
m
X
X
(xi −xi−1 )(yj −yj−1 )Mij −
(xi −xi−1 )(yj −yj−1 )mij =
(xi −xi−1 )(yj −yj−1 )(Mij −mij ) ≥ 0
i=1 j=1
i=1 j=1
i=1 j=1
in quanto in uno stesso rettangolo di partizione l'estremo superiore della funzione0 sar00à
sempre maggiore o uguale all'estremo inferiore, quindi vale la disuguaglianza. Se P 6=P ,
risulta necessario introdurre il concetto di partizione più o meno ne:
DEFINIZIONE
0
0
0
00
00
00
0
00
Date00 P =P
partizioni
di K0 : [a, b)x[c, d), diremo
che P1 è più ne di P1
1 xP
2 e P =P1 xP2
0
0
00
00
0
00
se P1 ⊂P1 , P2 è più ne di P2 se P2 ⊂P2 e P è più ne di P se valgono una o entrambe
le condizioni precedenti.
Passiamo ora ad un altro lemma che ci aiuterà con la dimostrazione:
LEMMA
0
0
0
00
00
00
Dati K: [a, b)x[c, d) ⊂0 R2 , f:K→ R limitata
e date P =P1 xP2 e P =P1 xP2 partizioni di
00
K: [a, b)x[c, d), con P più ne di P , si ha:
00
0
0
00
s(f, P ) ≤ s(f, P ) ≤ S(f, P )S(f, P )
DIMOSTRAZIONE
Basta mostrare che, aggiungendo un solo punto a una delle due partizioni, la somma di
Riemann
inferiore
non può decrescere e quella inferiore 00crescere. A tal proposito, presa
00
00
00
P =P1 xP2 , supponiamo di aggiungere un punto x in P1 nella posizione tra xk−1 ed xk
e di valutare la dierenza tra le somme di Riemann inferiori (per le superiori si fa un
ragionamento analogo). Abbiamo dunque:
n X
m
X
i=1 j=1
00
(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )mij = s(f, P )
1.2.
7
TEOREMI SULLE FUNZIONI RIEMANN-INTEGRABILI
n
m
m
m
X
X
X
X
0
00
0
(xi −xi−1 )(yj −yj−1 )mij + (x−xk−1 )(yj −yj−1 )mij + (xk −x)(yj −yj−1 )mij = s(f, P )
i=1,i6=k j=1
j=1
j=1
Valutando la dierenza, siccome la somma totale delle aree dei rettangoli di partizione
di K è la stessa, occorre valutare la dierenza tra gli estremi inferiori relativi soltanto
ai rettangoli in cui ho inserito il nuovo punto. Chiamato Kkj il rettangolo compreso tra
0
xk−1 , xk e le generiche y della partizione, Kkj il rettangolo compreso tra x e xk−1 e le
00
generiche y, Kkj il rettangolo compreso tra xk e x e le generiche y:
m
X
j=1
?
area(Kkj )mkj ≤
m
X
0
0
area(Kkj )mkj +
j=1
m
X
00
00
area(Kkj )mkj
j=1
La disuguaglianza risulta essere vera in quanto, passando da insiemi grandi ad insiemi
più piccoli gli estremi inferiori non possono che aumentare. Allo stesso modo, cambiando
il verso della disuguaglianza si dimostra la parte con gli estremi superiori, facendo la
considerazione opposta sul passaggio da insiemi grandi a piccoli.CVD
Tornando al lemma
precenente,
se avessi due partizioni non confrontabili, potrei comun000
0
00
que prendere P =P ∪P come partizione più ne di entrambe, e quindi la disuguaglianza
diverrebbe ovvia per il lemma appena dimostrato e, tornando inne al teorema di prima,
risulta ovvio passando agli integrali.CVD
TEOREMA
Dati K: [a, b)x[c, d) ⊂ R2 , f:K→ R limitata, allora è equivalente aermare che:
1-f è Riemann-integrabile su K;
2-∀ > 0, ∃ P partizione di K tale che S(f, P )-s(f, P )<
DIMOSTRAZIONE
2⇒1 Per ipotesi, ∀ > 0, ∃ P partizione di K tale che S(f, P )-s(f, P )<. Presa due partizioni tale che la dierenza tra le somme di Riemann superiori relative a una partizione
e quelle inferiori relative all'altra e, passando agli integrali, ovvero considerando gli integrali superiori ed inferiori, sia proprio uguale ad , posso sempre considerare l'esistenza
di una terza partizione, più ne di entrambe (ad esempio l'unione tra le due partizioni)
il che implica, per il lemma precedente, che la dierenza diminuisce di valore ma sarà
sempre ≥0. Per arbitrarietà di la dierenza tenderà a 0, il che conferma la tesi.
1⇒2 Chiamato λ il valore dell'integrale su K di f e preso un intervallo di ampiezza
cen0
00
trato in λ, so che posso prendere due partizioni qualunque di K tali che S(f,P )-s(f,P )<.
Posso scegliere una partizione più ne di entrambe,
ad esempio l'unione delle due parti000
000
zioni, e avrò, per lemma precedente, S(f,P )-s(f,P )<.CVD
TEOREMA
Dati K: [a, b]x[c, d] ⊂ R2 , f:K→ R continua, allora f è Riemann-integrabile.
DIMOSTRAZIONE
Siccome f è continua su un compatto, per il teorema di Heine-Cantor f è anche uniformemente continua su K.
∀ > 0, ∃δ > 0 tale che, presi P1 e P2 , se d(P1 ,P2 )<δ , allora d(f(P1 ),f(P2 ))< per HeineCantor. Scelgo una partizione P tale che in ogni rettangolo di partizione si abbia la
diagonale di lunghezza <δ , quindi valuto la dierenza tra somme di Riemann superiori
ed inferiori:
n X
m
n X
m
n X
m
X
X
X
(xi −xi−1 )(yj −yj−1 )Mij −
(xi −xi−1 )(yj −yj−1 )mij =
(xi −xi−1 )(yj −yj−1 )(Mij −mij )
i=1 j=1
i=1 j=1
i=1 j=1
Avendo ssato la partizione in modo tale da rendere valide le ipotesi del teorema di
Heine-Cantor, (Mij -mij )<, essendo sup ed inf valori che la funzione può assumere nel
8
CAPITOLO 1.
INTEGRALI DOPPI
rettangolo di partizione. Per arbitrarietà di , posso sceglierlo come
quindi si ha:
n X
m
X
n
(xi −xi−1 )(yj −yj−1 )(Mij −mij ) ≤
i=1 j=1
(xn −x0 )(ym −y0 )
,
m
XX
(xi −xi−1 )(yj −yj−1 ) = (xn − x0 )(ym − y0 ) i=1 j=1
CVD
1.3 Teoremi per il calcolo degli integrali doppi
TEOREMA DI FUBINI (o dell'integrale iterato)
Dati K: [a, b)x[c, d) ⊂ R2 , f:K→ R limitata. Supponiamo che f sia Riemann-integrabile
su K e che, ∀y∈[c,d), ∀ x ssato si abbia che f(x,y) sia Riemann integrabile in [c,d) (nella
R
sola variabile y). Allora la funzione G(x)= cd f (x, y) dy è Riemann-integrabile su [a,b) e
si ha:
Z
Z
b
G(x) dx =
a
f (x, y) dx dy
K
DIMOSTRAZIONE
Presa P=Px xPy partizione di K, voglio dimostrare che:
s(f, P ) ≤ s(G, Px )S(G, Px ) ≤ S(f, P )
Questo perchè, passando agli integrali, le somme rispetto a G e rispetto ad f convergerebbero entrambe allo stesso valore. Dimostriamo la disuguaglianza per le somme di
Riemann superiori (per quelle inferiori è analoga). Abbiamo:
S(G, Px ) =
n
X
(xi − xi−1 )Mi
i=1
dove Mi =sup G per x∈[xi−1 ,xi ). Tale estremo superiore coincide con il valore più alto che
R
G(x) assume nei sottintervalli di [a,b), ma ricordiamo che G(x)= cd f (x, y) dy e quindi
ricordando che, per denizione, tale integrale è ≤S(f,Py ), abbiamo:
n
n X
m
X
X
(xi − xi−1 )Mi ≤
(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )Mxi j
i=1 j=1
i=1
Questo nuovo sup sarà a sua volta ≤Mij considerando che l'estremo superiore relativo
ad un insieme che abbia x ssato e y variabile sarà sicuramente più piccolo di quello di
un insieme con x e y variabili (passando da insiemi piccoli ad insiemi grandi gli estremi
superiori non possono che aumentare), quindi:
n X
m
X
(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )Mxi j ≤
i=1 j=1
n X
m
X
(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )Mij
i=1 j=1
n
X
(xi − xi−1 )Mi ≤
i=1
n X
m
X
(xi − xi−1 )(yj − yj−1 )Mij
i=1 j=1
che è la nostra tesi.CVD
DEFINIZIONE
Dato K⊂R2 limitato, diremo che K è misurabile secondo Peano-Jordan se, denita χK :
χK =
1 se (x, y) ∈ K
0 altrimenti
1.3.
TEOREMI PER IL CALCOLO DEGLI INTEGRALI DOPPI
9
misura di K, essa è Riemann-integrabile su un rettangolo tale che K⊂A.
Osservazione: tale denizione risulta essere ben posta in quanto essa non dipende dalla
scelta del rettangolo A poiché, se prendessi due rettangoli diversi tra di loro ma entrambi contenenti K, l'integrale sulla parte esterna di K sarà identicamente uguale a 0 per
entrambi i rettangoli.
TEOREMA
Dato K⊂R2 limitato, allora le seguenti aermazioni sono equivalenti:
1-K è misurabile secondo Peano-Jordan;
2-sup{area plurirettangoli contenuti in K}=inf{area plurirettangoli contenenti K};
3-∂ K è misurabile secondo Peano-Jordan e ha misura 0.
Osservazione: i plurirettangoli contenuti in K sono l'insieme di `rettangolini' che meglio approssimano K dall'interno, i plurirettangoli contenenti K invece lo approssimano
dall'esterno.
TEOREMA
Date f,g:[a,b]→ R Riemann-integrabili, con f(x)≤g(x) ∀x∈[a,b], allora l'insieme
K={(x,y)∈ R2 | x∈[a,b], f(x)≤y≤g(x)} è misurabile secondo Peano-Jordan (vale anche
con f(y) e g(y)).
DEFINIZIONE
Dati K⊂ R2 misurabile secondo Peano-Jordan ed f:K→ R limitata. Sia A un qualsiasi
rettangolo contenente A. Deniamo fe:A→ R così:
fe =
1 se (x, y) ∈ K
0 altrimenti
Diremo che f è Riemann-integrabile su K se fe è Riemann-integrabile su A e si ha:
Z
Z
fe(x, y) dx dy =
A
f (x, y) dx dy
K
TEOREMA
Siano g,h:[a,b]→ R Riemann-integrabili, con g(x)≤h(x), ∀x∈[a,b].
Sia K={(x,y)∈ R2 | x∈[a,b], g(x)≤y≤h(x)} e sia f:K→ R una funzione Riemann-integrabile
su K tale che inoltre, ∀x∈[a,b], f(x,y) sia Riemann-integrabile sull'intervallo [g(x),h(x)].
R h(x)
Allora, detta G(x)= g(x)
f (x, y) dy , ∀x∈[a,b] ssato, avremo che G(x) è Riemann-integrabile
su [a,b] e si ha:
Z
b
Z
G(x) dx =
a
f (x, y) dx dy
K
(Vale anche con g(y) ed h(y))
DEFINIZIONE
Dati Ω e V aperti di Rn e Φ:Ω→V funzione biunivoca di classe C1 , diremo che Φ è un
dieomorsmo tra Ω e V se anche Φ−1 è di classe C1 .
TEOREMA (cambio di variabile per integrali doppi)
Dati Ω e V aperti di R2 e Φ:Ω→V dieomorsmo tale che , indicata con
JΦ =
∂Φ1
∂u
∂Φ2
∂u
∂Φ1
∂v
∂Φ2
∂v
la matrice Jacobiana della trasformazione, essa abbia | det(JΦ )| che sia una funzione limitata su Ω, e che Ω sia misurabile secondo Peano-Jordan. Allora anche V è misurabile
10
CAPITOLO 1.
INTEGRALI DOPPI
secondo Peano-Jordan.
Sia ora f:V→ R Riemann-integrabile su V. Allora anche (f◦Φ)| det(JΦ )| è Riemann su Ω
e si ha:
Z
Z
(f ◦ Φ) |det(JΦ )| du dv
f (x, y) dx dy =
V
Ω
1.4 Integrali doppi impropri
DEFINIZIONE
Dato K⊂ R2 misurabile secondo Peano-Jordan ed f:K→ R non limitata. Sia Ωn una
succesisione crescente di sottoinsiemi di K, tutti misurabili secondo Peano-Jordan e tali
che f sia Riemann-integrabile su Ωn , ∀n∈ N. Supponiamo inoltre che Ωn `invada' tutto
K, per n→ ∞
R.
Diremo che K f (x, y) dx dy è un integrale improprio convergente se
Z
lim
f (x, y) dx dy
n→∞
Ωn
è nito e non dipende dalla famiglia {Ωn } che si sceglie. Diverge se il limite è innito e
non dipende dalla famiglia {Ωn } che si sceglie. In ogni altro caso si dice indeterminato.
TEOREMA
Dati K ed f in modo tale che abbia senso la denizione precendente, se f è a segno costante
allora
Z
f (x, y) dx dy
lim
n→∞
Ωn
non dipende dalla famiglia {Ωn } che si sceglie.
TEOREMA
Dati K ed f in modo tale che abbia senso la denizione precedente, se
Z
|f (x, y)| dx dy
K
converge, allora
Z
lim
f (x, y) dx dy
n→∞
Ωn
converge e non dipende dalla famiglia {Ωn } che si sceglie.
ESTENSIONE NEL CASO DI DOMINIO DI INTEGRAZIONE ILLIMITATO
Dato
K⊆ R2 non limitato e data {Ωn } una famiglia di sottoinsiemi di K tale che
S
{Ωn }=K, tutti misurabili secondo Peano-Jordan. Allora
Z
f (x, y) dx dy
K
converge se
Z
lim
n→∞
f (x, y) dx dy
Ωn
è convergente e non dipende dalla famiglia {Ωn } che si sceglie. Diverge se il limite
è innito e non dipende dalla famiglia {Ωn } che si sceglie. In ogni altro caso si dice
indeterminato.
Capitolo 2
Integrali tripli
2.1 Teoremi per il calcolo degli integrali tripli
TEOREMA (integrale iterato per strati)
Dati K=[a,b)x[c,d)x[e,f)⊂ R3 e f:K→ R Riemann-integrabile su K. Inoltre, ∀z∈[e,f),
supponiamo
che f(x,y,z) sia Riemann-integrabile su Kz =[a,b)x[c,d) e indichiamo con
R
G(z)= Kz f (x, y, z) dx dy .
Allora G(z) è Riemann-integrabile su [e,f) e si ha
Z
f
Z
G(z) dz =
e
f (x, y, z) dx dy dz
K
TEOREMA (integrale iterato per li)
Dati K=[a,b)x[c,d)x[e,f)⊂ R3 e f:K→ R Riemann-integrabile su K. Inoltre supponiamo
che ∀(x,y)∈[a,b)x[c,d) si abbia che f(x,y,z) sia Riemann-integrabile su [e,f) e indichiamo
R
con G(x,y)= ef f (x, y, z) dz .
Allora G(x,y) è Riemann-integrabile su [a,b)x[c,d) e si ha
Z
Z
f (x, y, z) dx dy =
f (x, y, z) dx dy dz
Kz
K
TEOREMA (integrazione per strati generale)
Dato K⊂ R3 misurabile secondo Peano-Jordan, f:K→ R che sia continua e limitata su K.
Inoltre supponiamo che l'insieme
Kz ={(x,y)∈ R2 |(x,y,z)∈ R3 }, ∀R z ssato, sia misurabile secondo Peano-Jordan.
Indichiamo inne con G(z)= Kz f (x, y, z) dx dy , ∀z∈[e,f), dove e=inf{z∈ R|Kz 6=∅} e
f=sup{z∈ R|Kz 6=∅}.
Allora G(z) è Riemann-integrabile su [e,f) e si ha
Z
f
Z
G(z) dz =
e
f (x, y, z) dx dy dz
K
TEOREMA (integrazione per li generale)
Dati V⊂ R2 misurabile secondo Peano-Jordan, g,h:V→ R continue e limitate e tali che
g(x,y)≤h(x,y) e sia inoltre K={(x,y,z)∈ R3 |g(x,y)≤z≤h(x,y)} misurabile secondo PeanoJordan. Supponiamo f:K→ R continua e limitata su K.
Allora, ∀(x,y)∈V, la funzione f(x,y,z) è Riemann integrabile sull'intervallo [g(x,y),h(x,y)]
R h(x,y)
e, detta G(x,y)= g(x,y)
f (x, y, z) dz , abbiamo che G(x,y) è Riemann-integrabile su V e
11
12
CAPITOLO 2.
si ha
Z
INTEGRALI TRIPLI
Z
G(x, y) dx dy =
f (x, y, z) dx dy dz
V
K
TEOREMA (cambio di variabili)
Dati Ω e V aperti di R3 e Φ:Ω→V dieomorsmo tale che , indicata con

JΦ = 
∂Φ1
∂v
∂Φ2
∂v
∂Φ3
∂v
∂Φ1
∂u
∂Φ2
∂u
∂Φ3
∂u
∂Φ1
∂w
∂Φ2
∂w
∂Φ3
∂w


la matrice Jacobiana della trasformazione, essa abbia | det(JΦ )| che sia una funzione limitata su Ω, e che Ω sia misurabile secondo Peano-Jordan. Allora anche V è misurabile
secondo Peano-Jordan.
Sia ora f:V→ R Riemann-integrabile su V. Allora anche (f◦Φ)| det(JΦ )| è Riemann su Ω
e si ha:
Z
Z
(f ◦ Φ) |det(JΦ )| du dv dw
f (x, y, z) dx dy dz =
V
Ω
Capitolo 3
Integrali di supercie
3.1 Denizioni
DEFINIZIONE
Data Σ supercie semplice e sia ϕ:Ω → Σ una sua parametrizzazione, con Ω dominio
`ammissibile' in R2 . Sia data inoltre f:Σ → R continua. Deniamo
Z
Z
f x(u, v), y(u, v), z(u, v) kϕu ∧ ϕv k du dv.
f dσ =
Σ
Ω
DEFINIZIONE
Deniamo usso di F attraverso Σ+ , con la supercie positivamente orientata:
Z
Σ
Z
hF, n
bi dσ =
dove abbiamo che
n
b(u, v) =
Ω
F ϕ(u, v) , n
b(u, v) du dv
ϕu (u, v) ∧ ϕv (u, v)
kϕu (u, v) ∧ ϕv (u, v)k
rappresenta la funzione del versore normale alla supercie Σ (deve essere una funzione
continua e non nulla).
Osservazione: nella formula per il calcolo del usso non abbiamo in generale il versore normale in quanto, ricordando la denizione generale di integrale di supercie, le
norme dei versori si semplicano al numeratore e al denominatore.
3.2 Teroema della divergenza e del rotore
DEFINIZIONE
Dato V⊂ R3 ed F campo vettoriale di classe c1 su V, deniamo
∇·F =
∂F1 (x, y, z) ∂F2 (x, y, z) ∂F3 (x, y, z)
+
+
∂x
∂y
∂z
divergenza di F.
TEOREMA DELLA DIVERGENZA
Data Σ supercie semplice chiusa e sia ϕ:Ω → Σ una sua parametrizzazione. Sia inoltre
13
14
CAPITOLO 3.
INTEGRALI DI SUPERFICIE
F un campo vettoriale di classe C1 denito su V, con V⊂ R3 su cui sia denita anche Σ.
Allora
Z
Z
∇ · F (x, y, z) dx dy dz =
d
Ω
F ϕ(u, v) , n
b(u, v) du dv
DEFINIZIONE
Dato V⊂ R3 ed F campo vettoriale su V, deniamo

i
∇ ∧ F = det  ∂x
F1
j
∂y
F2

k
∂z 
F3
rotore di F.
TEOREMA DEL ROTORE
Data Σ supercie semplice e sia ϕ:Ω → Σ una sua parametrizzazione. Sia inoltre F
un campo vettoriale di classe C1 denito su V, con V⊂ R3 su cui sia denita anche Σ.
Allora
Z
Z D
E
Σ+
h∇ ∧ F, n
bi dσ =
0
F γ(t) , γ (t) dt
γ
dove γ(t) è una parametrizzazione del bordo di Σ+ .
Osservazione: una condizione suciente anchè un campio sia esprimibile come rotore è
che l'insieme V di denizione F sia fortemente connesso (connesso per superci), ovvero
ogni supercie in V deve essere omotopa all'identità, e che ∇ · F =0.