Integrali Multipli

Contents
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Integrali Doppi
Formule di riduzione per integrali doppi
Integrali doppi su domini generici
Disegno di insiemi nel piano
Integrali Tripli
Integrali Tripli su domini generici
Grafico di regioni solide
APPENDICE B: Metodo di Simpson 1D
clear all
close all
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%INTEGRALI MULTIPLI%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Integrali Doppi
%Somme di Riemann
figure(1)
% estremi di integrazione
a=0;
b=pi/2;
c=a;
d=b;
%passo di integrazione
N=50;
M=N;
dx=(b-a)/N;
dy=(d-c)/M;
[x,y]=meshgrid(a+dx/2:dx:b-dx/2,c+dy/2:dy:d-dy/2);
f=sin(x+y);
% plot funzione e valore dell’integrale
surf(x,y,f);
R=sum(sum(f))*dx*dy;
R=num2str(R);
text(.1,.1,1.4,[’Somma di Riemann= ’,R]);
clear all
1
1
Somma di Riemann= 2.0002
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
1.5
2
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
Formule di riduzione per integrali doppi
funzione handle
f=@(x,y) 1./sqrt(x.^2+2*y.^2+1);
%estremi di integrazione
a=0;
b=1;
c=0;
d=2;
% plot funzione
[x,y]=meshgrid(a:.1:b,c:.1:d);
z=f(x,y);
figure(2)
surf(x,y,z);
rotate3d;
axis([a b c d 0 1]);
% calcolo integrale con il comando dblquad
Stima=dblquad(f,a,b,c,d);
Stm=num2str(Stima);
text(.2,1.5,.2,[’Dblquad= ’,Stm]);
2
% Somme di riemann di nuovo
N=20;
M=40;
dx=(b-a)/N;
dy=(d-c)/M;
[x,y]=meshgrid(a+dx/2:dx:b-dx/2,c+dy/2:dy:d-dy/2);
z=f(x,y);
R=sum(sum(z))*dy*dx;
R=num2str(R);
text(.1,.1,1.4,[’Riemann= ’,R]);
% Calcolo symbolico
syms x y real
I=int(int(f,x,0,1),y,0,2);
% Non restituisce il valore in quanto la forma complicata
% Utilizziamo allora la funzione double per averne una stima:
I=double(I);
I=num2str(I);
text(.1,.5,1,[’Integrale esatto= ’,I]);
clear all
Warning: Explicit integral could not
be found.
3
1
Riemann= 1.1598
0.8
Integrale esatto= 1.1597
0.6
0.4
0.2
Dblquad= 1.1597
0
2
1.5
1
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0
0.2
0
Integrali doppi su domini generici
f=@(x,y) (x.^2+y.^2<=1).*(3-x.^2-2*y.^2);
% estremi di integrazione
a=-1;
b=1;
c=-1;
d=1;
[x,y]=meshgrid(a:0.1:b,c:0.1:d);
rotate3d;
z=f(x,y);
figure(3)
surf(x,y,z);
%shading flat
% calcolo integrale:
Stima=dblquad(f,a,b,c,d);
Stm=num2str(Stima);
% Riemann di nuovo
N=50;
M=N;
dx=(b-a)/N;
4
dy=(d-c)/M;
[x,y]=meshgrid(a+dx/2:dx:b-dx/2,c+dy/2:dy:d-dy/2);
z=f(x,y);
R=sum(sum(z))*dy*dx;
R=num2str(R);
text(-1,.8,3.2,[’Somma di Riemann= ’,R]);
text(-1,.8,3.6,[’Integrazione numerica= ’,Stm]);
text(-1,.8,4,’Valore preciso=9\pi/4=7.0686’);
clear all
1
Riemann= 1.1598
0.8
Integrale esatto= 1.1597
0.6
0.4
0.2
Dblquad= 1.1597
0
2
1.5
1
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0
0.2
0
5
Valore preciso=9π/4=7.0686
Integrazione numerica= 7.0686
3
Somma di Riemann= 7.0987
2.5
2
1.5
1
0.5
0
1
0.5
1
0.5
0
0
−0.5
−0.5
−1
−1
Disegno di insiemi nel piano
figure(4)
% Grafico del dominio
x=linspace(-2,2);
plot(x,x.^4,’r’,x,3*x-x.^3,’b’);
axis([-.25 1.5 -1 4]); grid on;
b=fzero(’x.^4-3*x+x.^3’,1);
% calcolo simbolico dell’integrale
syms x y real;
A=int(int(x*y,y,x^4,3*x-x^3),x,0,b);
A=num2str(double(A));
T=[’\int_D xy dx dy= ’,A];
text(.01,3.25,T);
text(.7,1,’D’);
set(gca,’XTick’,[0:.5:1 b]);
text(-.1,3*(-.1)-(-.1)^3,’\leftarrow 3x-x^3’);
text(1,1,’\leftarrow x^4’);
clear all
6
4
3.5
∫D xy dx dy= 0.80484
3
2.5
2
1.5
← x4
D
1
0.5
0
−0.5
−1
← 3x−x3
0
0.5
1
1.1746
Integrali Tripli
%estremi di integrazione:
a=0;
b=2;
c=-3;
d=0;
j=-1;
k=1;
% Somme di Riemann 3D
N=40;
M=60;
P=40;
dx=(b-a)/N;
dy=(d-c)/M;
dz=(k-j)/P;
[x,y,z]=meshgrid(a+dx/2:dx:b-dx/2,c+dy/2:dy:d-dy/2,j+dz/2:dz:k-dz/2);
f=x.^2+y.*z;
R=sum(sum(sum(f)))*dx*dy*dz
% Integrale esatto
7
syms x y z real
A=int(int(int(x^2+y*z,z,j,k),y,c,d),x,a,b);
A=double(A)
R =
15.9975
A =
16
Integrali Tripli su domini generici
clear all
f=@(x,y,z) (0<=y).*(y<=1).*(0<=x).*(x<=y).*(0<=z).*(z<=x+y).*exp(x);
a=0;
b=1;
c=0;
d=1;
j=0;
k=2;
N=50;
M=50;
P=100;
dx=(b-a)/N;
dy=(d-c)/N;
dz=(k-j)/P;
[x,y,z]=meshgrid(a+dx/2:dx:b-dx/2,c+dy/2:dy:d-dy/2,j+dz/2:dz:k-dz/2);
Riemann=sum(sum(sum(f(x,y,z))))*dx*dy*dz
syms x y z real;
A=int(int(int(exp(x),z,0,x+y),0,y),0,1)
% valore approssimato
A=double(A)
8
pause
clear all
Riemann =
0.8017
A =
7/2 - exp(1)
A =
0.7817
Grafico di regioni solide
figure(5)
y=linspace(0,1); x=0*y; z=0*y;
plot3(x,y,z);
hold on;
grid on;
x=0*y; z=y; plot3(x,y,z);
x=y; z=0*y; plot3(x,y,z);
x=y; z=x+y; plot3(x,y,z);
x=linspace(0,1); y=1+0*x; z=0*x; plot3(x,y,z);
z=x+1; plot3(x,y,z);
z=linspace(0,2); x=1+0*z; y=1+0*z; plot3(x,y,z);
z=linspace(1,0); x=0*z; y=1+0*z; plot3(x,y,z);
xlabel(’x’)
ylabel(’y’)
zlabel(’z’)
9
hold off;
clear all
2
z
1.5
1
0.5
0
1
1
0.8
0.5
0.6
0.4
y
0
0.2
0
x
APPENDICE B: Metodo di Simpson 1D
figure(6)
clear all
close all
f=@(x) 1./(1+x.^2);
a=0; b=2;
n=20;
h=(b-a)/n;
xtutto=a+h/2:h:b-h/2;
xdispari=a+h:2*h:b-h;
xpari=a+2*h:2*h:b-2*h;
fdispari=f(xdispari);%1./(1+xdispari.^2);
fpari=f(xpari);%1./(1+xpari.^2);
S20=h/3*(f(a)+4*sum(fdispari)+2*sum(fpari)+f(b));
S20=num2str(S20);
Stima=sum(f(xtutto))*h;
Stima=num2str(Stima);
syms x real
I=int(f,x,a,b);
10
I=double(I);
I=num2str(I);
plot(a:h:b,f(a:h:b));
text(1,0.7,[’Simpson = ’,S20]);
text(1,0.8,[’Riemann = ’, Stima]);
text(1,0.9,[’Esatta= ’, I]);
1
0.9
Esatta= 1.1071
0.8
Riemann = 1.1072
0.7
Simpson = 1.1071
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
0.5
1
1.5
11
2