UNIVERSIT`A DEGLI STUDI DI PERUGIA Corso di Matematica per

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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Corso di Matematica per le Applicazioni - canale B
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2015/2016 – 20 gennaio 2016
NOME............................................. COGNOME......................................
N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
arcsin(1 − x)
f1 (x) = √
log |x|,
x2 − 6x + 9
√
4
f2 (x) =
sinh x
,
log(|x| + 1)
Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti
limx→0+
1 − cos(x + sin x2 )
cosh(x + 1)
log(1 + tan x2 )
limn→∞
7
e−n + n8
1 + 10
n − log(n + 3) − n4 − 1
3n2
Esercizio 3. Studiare il grafico della seguente funzione f (x) = log(x2 − 2x + 4),
Esercizio 4. Determinare il parametro reale
sia una densità di probabilità

a e−x





2 1 + e−x



f (x) = sin x cos4 x







0
a in modo tale che la seguente funzione
se
x>0
se − π ≤ x ≤ 0
se x < −π
Esercizio 5. Calcolare l’area della seguente regione piana, dopo averla disegnata:
{(x, y) ∈ R2 : x2 − 2x − 3 ≤ y ≤ x + 1}.
2
Esercizio 6. La probabilità che un gene di ratto subisca una mutazione se sottoposto
ad una radiazione di 1 Rœntgen è di 2.3 · 10−7 . Qual è la probabilità di avere almeno 3
mutazioni in un campione di 10000 geni sottoposto ad una radiazione di 1 Rœntgen?
Esercizio 7. Si effettua un campionamento per stabilire la relazione tra l’apertura alare
(X) e il peso (Y) di una popolazione di colibrı̀ golarubino. I dati ottenuti sono i seguenti
ap. alare (cm.) 7.2 7.8 7.9 7.0 8.2 8.3
peso (g)
3.1 3.2 3.5 3.9 3.7 3.4
Assumendo che vi sia un legame approssimativamente lineare tra l’apertura alare e il peso
di una popolazione di colibrı̀ golarubino, determinare la retta di regressione e stabilire
(a) l’apertura alare di un colibrı̀ golarubino il cui peso è di 4.2 g.;
(b) il peso di un colibrı̀ golarubino la cui apertura alare è di 6.8 cm.
Esercizio 8. Moscerini appartenenti a specie diverse di Drosophila sono spesso morfologicamente molto simili. In qualche caso è possibile distinguere le specie sulla base del
numero di setole sternopleurali. In un esperimento sono stati considerati due campioni
di femmine di specie diverse, formati mediante campionamento casuale da due polazioni
aventi distribuzione normale, e in ogni individuo viene contato il numero di setole. I
risultati dell’esperimento sono i seguenti:
specie 1
specie 2
numero setole sternopleurali
20 27 24 25 27 28 29
22 19 18 20 21 24 17 16
Valutare se effettivamente le due specie possono essere considerate differenziate sulla
base del numero medio di setole sternopleurali, con una sensibilità del 5%.
A.A. 2015/2016 – 4 Febbraio 2016
NOME............................................. COGNOME......................................
f1 (x) =
log(x2 − 9)
1
arctan ,
sinh |x|
x
√
8
f2 (x) =
cos x3
,
2
esin x − 1
limx→0+
x3 log x2 √ 2
x + sin x2 − x)
2
arctan
x
e
−1
limn→∞
n5 + 3n3 + log en + sin n
n3 − log n10 − n2 − arctan n
6
Esercizio 3. Studiare il grafico della seguente funzione f (x) = ex
2 +2√x+2
− e2 ,
Esercizio 4. Determinare il parametro reale a in modo tale che la seguente funzione

a

x ln(3x2 + 7)
se 1 ≤ x ≤ e



2





x2
f (x) =
se x < 1


1 + x6






0
se x > e
{(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1,
x − 1 ≤ y ≤ arctan x}.
4
Esercizio 6. Un seme viene trasportato dal vento in un habitat complesso. Puó atterrare su uno qualsiasi di tre differenti tipi di suolo: un suolo di alta qualità che dà una
probabilità di sopravvivenza del seme pari all’ 80%, un suolo di media qualità con una
probabilità di sopravvivenza del 30% e un suolo di bassa qualità con una probabilità di
sopravvivenza del 10%. Questi tre tipi di suolo(bassa, media, alta qualità) sono presenti
nell’habitat nelle proporzioni 30:20:50 rispettivamente. La probabilità che un seme atterri su un particolare tipo di suolo direttamente proporzionale alla frequenza di quel
tipo di suolo nell’habitat. Stabilire qual è la probabilità di sopravvivenza di un seme,
assumendo che atterri ancora vitale al suolo?
Esercizio 7. Nell’aeroporto internazionale di Milano Malpensa, i passeggeri in entrata
transitano per la dogana alla media di 3 ogni 40 secondi. Assumendo che il numero
dei passeggeri che attraversano la dogana in un dato intervallo di tempo abbia una
distribuzione di Poisson, determinare la probabilitá che
(a) non piú di 4 passeggeri abbiano attraversato la dogana, sempre in un periodo di
40 secondi;
(a) il numero di passeggeri che attraversano la dogana in un periodo di 40 secondi
sia compreso tra 2 e 5.
Esercizio 8. Si suppone che il peso della popolazione maschile di tesserati di una certa
Federazione sportiva italiana di età maggiore di 16 anni segua una legge normale di
valor medio 75 Kg e deviazione standard 3.4 Kg. Che peso hanno il 95% degli atleti in
questione? Qual é la probabilità che gli atleti considerati abbiano un peso inferiore a
kg.70?
A.A. 2015/2016 – 19 Febbraio 2016
NOME............................................. COGNOME......................................
p
|x| − 1
f1 (x) =
log(x2 + 2x + 1),
arctan |2 − x|
√
e x−1
1
f2 (x) = √
,
arcsin |x| +
6
2
sinh x
limx→0+
√
sin(x + cos x2 )
3
sin(x
+
x)
log(cos x + 2x2 )
limn→∞
e−n + n3
1+ 4
n − log en6 − n4 − 1
5n3
Esercizio 3. Studiare il grafico della seguente funzione f (x) = arctan log(1 + x2 ) ,
Esercizio 4. Determinare il parametro reale a in modo che la funzione f sia continua
in R

a xe−x


se x > 0

2 1 − e−x
f (x) =


 x2
e · cos4 x − sin x se x ≤ 0
Esercizio 5. Calcolare i seguenti integrali
Z
x
arctan(2x2 + 5)dx,
2
Z
0
∞
x2 e−x
3 +5
dx
6
Esercizio 6. Il tumore della mammella colpisce 1 donna di razza bianca su 8. Si effettua
un test diagnostico di specificità 95, 5% e sensibilità 97, 2%. Determinare
(a) il valore predittivo del test;
(b) la percentuale di donne risultate positive al test.
Esercizio 7. L’immigrazione è uno dei fenomeni che, con il passare del tempo, può modificare la frequenza degli alleli di una popolazione. Per esempio, possiamo supporre che
i maschi di una popolazione isolata si presentino con una caratteristica ”capelli biondi”
indipendente dall’altezza. Se questa popolazione riceve un’immigrazione costante di
maschi con ”capelli biondi” e alti meno di 1.75m., questa caratteristica di indipendenza
dovrebbe venir meno. Si consideri la seguente tabella di contingenza
biondi non biondi Totale
h ≤ 1.75
65
247
312
h > 1.75
63
457
520
Totale
128
704
832
Dopo aver determinato la tabella dei valori attesi, stabilire se i dati sono in accordo con
l’ipotesi di indipendenza con una sensibilità dello 0, 5%.
Esercizio 8. Nella cannaiola delle Seychelles (Acrocephalus sechellensis), un uccello
passeriforme, gli adulti giovani, detti subordinati, talvolta si muovono in territori dei
maschi più anziani e in certi casi aiutano a nutrire la loro prole. In uno studio, alcuni
ricercatori hanno cercato di capire se i subordinati che non aiutano a sfamare la prole
degli anziani fossero imparentati con essa. A ciascuno è stato assegnato un coefficiente
di ”parentela”, in cui il valore zero indicava assenza di parentela con la prole. Dei 5
subordinati esaminati la parentela media risultata -0.05 con deviazione standard 0.45.
Determinare l’intervallo di confidenza al 98% per la parentela dei subordinati che non
aiutano a nutrire la prole.
A.A. 2015/2016 – 4 Aprile 2016 – Appello Straordinario
NOME............................................. COGNOME......................................
p
4
(3x − 1)2
f1 (x) =
,
log |2x + 7|
f2 (x) =
x2x
log(8x3 − 1)3 ,
arcsin x2
limx→0+
cos (3x3 + π)
(tan x)2
2 +4x3
x
e
−1
limn→∞
n6 − n7 + sin n + n4
n6 − arctan en4 − n4 + 18
Esercizio 3. Studiare il grafico della seguente funzione f (x) =
√
x + log (x2 − 1).
Esercizio 4. Determinare il parametro reale a in modo tale che la seguente funzione

a 3x2





2 1 + x6



f (x) = x2 √1 + x3







a e−3x
se
x<0
se 0 ≤ x ≤ 1
se x > 1
{(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 ≤ y ≤ 3 − x,
x ≥ 0}.
8
Esercizio 6. Un gruppo di 100 persone prenota un viaggio in traghetto Civitavecchia
Olbia presso le compagnie di navigazione per trasporti marittimi M1, M2 e M3; 60
persone viaggiano con M1, 15 persone viaggiano con M2 e 25 persone viaggiano con
M3. Le 3 compagnie di navigazione hanno dei ritardi che avvengono con probabilità
pari rispettivamente a 0.15, 0.10 e 0.05. Determinare
a) qual è la probabilità che il volo di un passeggero scelto a caso fra i 100 sia in
ritardo?
b) qual è la probabilità che un passeggero scelto a caso fra i 100 abbia volato con
la compagnia M2, sapendo che il suo volo è in ritardo?
Esercizio 7. Il tempo di vita media di un dispositivo elettronico costruito con un procedimento standard è di 350 ore. Supponendo che il tempo di vita medio sia distribuito
normalmente, qual è il valore che deve avere lo scarto quadratico medio se si vuole che
la probabilità che un dispositivo abbia vita media compresa tra 330 e 370 ore sia del
90%?
Esercizio 8. Ad un esame di statistica medica un campione di 40 studenti, che hanno
frequentato le esercitazioni, riportano un voto medio di 26, un altro campione di 25
studenti, che non hanno frequentato le esercitazioni, riporta come voto medio 22; la
varianze sono rispettivamente 9 e 8.5. Assumendo che la popolazione di riferimento
abbia distribuzione normale stabilire con una sensibilità dell’ 1% se è possibile affermare
che la partecipazione alle lezioni non influisce sul voto.
A.A. 2015/2016 – 14 Giugno 2016
NOME............................................. COGNOME......................................
f1 (x) =
arcsin(3 + x)
,
log |x2 − 5|
√
5
f2 (x) =
3 log x + 7
,
ex2 +2x − 1
limx→0+
π
log(x2 + sin x3 )
√
sin x +
2
1 + x2 − 1
2n2
e−n + n6 − arctan n4 + 2n2
limn→∞ 1 + 8
n − log n9 − n4 + n − 1
Esercizio 3. Studiare il grafico della seguente funzione f (x) = ex−2 + |x|,
Z
Esercizio 4. Calcolare
(arctan x)3
dx
2 + 2x2
{(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ y ≤ −x2 + 2x + 2,
x ≥ 0}.
Esercizio 6. Un test è costituito da 12 domande a risposta multipla, ognuna delle quali
con 5 possibilità di risposta, tra le 5 una sola è la risposta esatta. Per superare il test
è necessario rispondere esattamente ad almeno 7 domande. Calcolare la probabilità di
superare il test, rispondendo a caso alle domande.
Esercizio 7. Si studiano due popolazioni di api, i meliponini, api tropicali indigene
autoctone prive di pungiglione e una tribù di api africanizzate apis mellifera scutellata.
Quest’ultima varietà è un ibrido ottenuto incrociando le api brasiliane con le api creole
10
ed ha un comportamento molto aggressivo, ereditato dalla razza africana, che comporta
notevoli problemi per la sicurezza di uomini e animali. In particolare si ipotizza che
la velocità in volo delle api cambi in base alla loro aggressività, i dati rilevati circa le
velocità in volo delle api ad un’altezza di circa 2 metri sono riportati nella seguente
tabella
meliponini
apis mellifera
5.4
6.8
velocità in m/s
5.9 6.0 7.2
7.5 7.0 7.9
6.7
7.1
Supponendo che tali misure abbiano una distribuzione normale, valutare, con una sensibilità dell’ 1%, se effettivamente l’ipotesi avanzata trova riscontro nei dati.
Esercizio 8. Un’urna contiene palline numerate da 1 a 200 e colorate. Il 65% delle
palline è di colore bianco e il restante 35% è di colore rosso. Sapendo che la probabilità
che una pallina presenti un numero maggiore di 120 è 0, 3 per le palline bianche ed è
0, 6 per le palline rosse, calcolare la probabilità che avendo estratto una pallina con un
numero maggiore di 120 si ottenga:
(a) una pallina bianca,
(b) una pallina rossa.
A.A. 2015/2016 – 1 Luglio 2016
NOME............................................. COGNOME......................................
s
ex (arcsin x − 1)
,
f1 (x) =
log |x2 − 3|
√
3
f2 (x) =
ex2 − 1
1
cos 2 ,
sinh(x − 1)
x
3
limx→0+
e1−cos x − 1
tan2 x
log(1 + sin2 x4 )
2
limn→∞
n5 + 4n4 + 2e−n + 1
1+ 8
3n − 4 log n3 + 2n2 + 3 sin n − 4
!9n3 +5n2 +1
√
Esercizio 3. Studiare il grafico della seguente funzione f (x) = |x| 9 − x2 .
Z
(2x + 1) log(2x2 + 2x − 1)dx
Esercizio 5. Calcolare l’area della seguente regione piana:
{(x, y) ∈ R2 : x2 + 1 ≤ y ≤ −|x| + 5,
−1 ≤ x ≤ 2}.
Esercizio 6. Molte specie di coleotteri producono grandi corna che usano come armi o
come mezzi di difesa. Le risorse necessarie per produrre queste corna, peró, potrebbero
essere estratte ad altre strutture utili. Per valutare questa possibilitá, Emlen (2001) ha
misurato l’area delle corna e il peso delle ali in 7 femmine del coleottero Onthophagus
sagittarius. I dati raccolti sono i seguenti
12
Area corna (mm2 )(X)
0.074 0.079 0.019 0.017 0.085 0.081 0.011
Peso rel. delle ali (µg) (Y) 11.6 7.6
1.6
3.7
1.1 4.5 3.2
Assumedo che vi sia un legame approssimativamente lineare tra l’area delle corna e il
peso delle ali, stabilire
(a) il peso relativo delle ali di un coleottero femmina avente le corna di area 0.055
mm2 ;
(b) l’area delle corna di un coleottero femmina avente il peso relativo delle ali pari a
12.3 µg; .
Esercizio 7. Una malattia genetica si sviluppa negli individui maschi aventi un antigene
particolare H nel sangue con una probabilità del 64% mentre coloro che non possiedono
tale antigene sviluppano la malattia con una probabilità del 12%. In una sala di aspetto
di un ambulatorio vi sono 30 individui maschi aventi l’antigene H e 90 individui maschi
non aventi l’antigene H. Scegliendo un individuo a caso, che probabilità avrà di sviluppare
la malattia genetica?
Esercizio 8. Un laboratorio orafo produce ogni giorno circa 450 bracciali di oro bianco.
Sapendo che la distribuzione del numero di pezzi prodotti segue approssimativamente
una distribuzione normale e che lo scarto dalla media dei pezzi prodotti è di 12 bracciali,
con che probabilità si producono in un giorno fra i 420 e i 560 bracciali?
Determinare l’intervallo centrato nel valor medio nel quale è probabile al 99, 4% che
rientri il numero di bracciali prodotti?
A.A. 2015/2016 – 19 Luglio 2016
NOME............................................. COGNOME......................................
p
√
3 − x)
,
f1 (x) =
log |x2 − 5| + 1
arctan 3 log x2
f2 (x) =
,
esinh |x| − 1
limx→0−
arctan(x2 + sin x4 )
π
tan x +
sin log(1 + x2 )
2
limn→∞
9
1
2 log en + n6 − arctan n4 + 2n2
· log 1 +
n8 − log n10 − n7 + 5n5 − 2n + 1
n
Esercizio 3. Studiare il grafico della seguente funzione f (x) = arctan(x2 + 2x),
Z
cos3 x sin 2x dx
{(x, y) ∈ R2 : −x + 1 ≤ y ≤ ex ,
0 ≤ x ≤ 2,
y ≥ 0}.
Esercizio 6. Una sostanza radioattiva emette particelle secondo un processo di Poisson.
Se la probabilità di non emissione in un intervallo di 1 secondo è pari a 0.165, trovare
(a) il numero medio di emissioni per secondo
(b) la probabilità di non emissione in un intervallo di 2 secondi
(c) la probabilità di non più di 2 emissioni in un intervallo di 4 secondi
14
Esercizio 7. Si vuole stimare l’età media degli utenti di una biblioteca universitaria
con accesso esteso a tutti i cittadini. A questo scopo si seleziona un campione casuale
composto da 100 persone avente età media di 29 anni e deviazione standard pari a 8
anni. Trovare intervalli di confidenza per la l’età media al 95% ed al 99%.
Esercizio 8. Gli uccelli tessitori (Ploceidae Sundevall, 1836) sono una famiglia di piccoli
uccelli passeriformi tipici soprattutto dell’Africa subsahariana, caratterizzati da colori
vivaci e dall’abitudine di costruire nidi di grandi dimensioni e struttura complessa. Nella
maggior parte delle specie è presente un marcato dimorfismo sessuale: i maschi hanno
livree a colori molto vivaci mentre le femmine hanno un aspetto piuttosto dimesso.
In molte specie è il maschio a costruire il nido, attraendovi la femmina con rituali di
corteggiamento anche molto complessi. Dopo l’accoppiamento, la femmina depone da 2
a 8 uova, il cui colore va dal bianco, all’azzurro o verde chiaro, a seconda della specie. In
particolare la specie A produce uova bianche, la specie B uova color azzurro e la specie
C uova color verde chiaro. Su una popolazione composta da 350 esemplari si osservano
i seguenti dati, relativamente al colore delle uova:
Specie Frequenza osser.
A
150
B
120
C
80
Stabilire se è vera l’ipotesi nulla secondo cui la probabilità di trovare uova dei colori
corrispondenti alle specie A, B e C è rispettivamente P (A) = 3/8, P (B) = 3/8 e
P (C) = 1/4, sia con una significatività del 1% che del 5%.
A.A. 2015/2016 – 6 Settembre 2016
NOME............................................. COGNOME......................................
p
2
e1/x |x − 1|
√
,
f1 (x) =
log x − 4
√
6
ex3 − 1
1
f2 (x) =
log 1 + 2 ,
tan x − 1
x
2
limx→∞
e−1/x − 1
log(1 + e−x2 sin2 x)
limn→∞ 1 +
n4 + 2n + 1
3n8 − 4elog n3 + 2n + 3 arctan n − 4
5n2 +2n+1
Esercizio 3. Studiare il grafico della seguente funzione f (x) = x
Z
2 log x − 3
.
log x − 3
∞
e−x cos(e−x )dx
0
Esercizio 5. Calcolare l’area della seguente regione piana:
{(x, y) ∈ R2 : −x ≤ y ≤ arctan x,
0 ≤ x ≤ 1}.
Esercizio 6. In uno studio sul pinguino di Magellano Spheniscus magellanicus sono
state misurate le concentrazioni plasmatiche, indotte da stress, dell’ormone corticosterone espresso in nanogrammi al millilitro (ng/ml), nei pulcini di due popolazioni, una
scelta in un area visitata dai turisti e l’altra in un’area protette (dove i turisti non
avevano accesso), entrambe in Argentina. I dati raccolti sono i seguenti
16
Area senza turisti 12.9 14.8 15.1 16.9 15.2 17.0
Area con turisti
15.6 13.4 14.6 18.7 17.8 16.2
Stabilire se l’ipotesi di un aumento di stress per i pinguini che si trovano in aree con
libero accesso ai turisti può essere accettata con una sensibilità dell’ 1%
Esercizio 7. In una data città americana risulta che 30% dei votanti sono Conservatori,
50% sono Liberali ed il 20% sono Indipendenti. Se in una data elezione hanno votato
rispettivamente il 55%, l’72% ed il 60% dei Conservatori, Liberali ed Indipendenti, se si
sceglie a caso una persona nella stessa città che non ha votato, qual è la probabilità che
sia Indipendente?
Esercizio 8. In un laboratorio analisi si effettua uno studio della concentrazione sierica
di albumina (c.s.a.) su un gruppo di pazienti con cirrosi biliare primitiva e si osserva
che il valore medio ottenuto è 34, 5g/l. Sapendo che la distribuzione dei dati segue
approssimativamente una distribuzione normale e che lo scarto dalla media è di 1, 5g/l,
con che probabilità si avranno pazienti con c.s.a. fra 33,5 e 35,2?
Con che probabilità si avranno pazienti con c.s.a. inferiore a 33,2?

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