Teoria di Cauchy e comportamento asintotico per l`equazione di

Programma del corso:
Teoria di Cauchy e comportamento asintotico per l’equazione di
Schroedinger nonlineare.
L'equazione di Schroedinger nonlineare (NLS) si puo' considerare come un esempio
canonico di equazione dispersiva nonlineare. Dal punto di vista fisico rappresenta un
modello fondamentale in ottica nonlineare oltre che in meccanica quantistica. La sua
analisi da un punto di vista matematico ha attratto l'attenzione di una enorme comunita'. In
particolare lo studio di NLS ha avuto uno sviluppo enorme negli ultimi 30 anni, rivelandosi
un terreno fertile per l'applicazione e l'interazione di svariati campi dell'analisi matematica:
analisi armonica, teoria dei numeri, teoria degli integrali oscillanti etc etc Proveremo a dare
un'idea di tali sviluppi durante il corso presentando nell'ultima parte delle questioni che
sono ancora aperte e che sono ancora un attivo campo di ricerca:
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_ Breve introduzione agli integrali oscillanti e alla teoria dell'interpolazione.
_ Stime di decadimento per propagatori lineari sullo spazio euclideo Rn.
_ Stime di Strichartz ed applicazioni alla teoria di scattering.
_ Cenni sulle stime di Strichartz su varieta' compatte e loro connessione con la
teoria dei
numeri.
_ Cenni sulla teoria della turbolenza per NLS su varieta' compatte
Bibliography
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_ T. Cazenave, Nonlinear Schroedinger Equations, Courant Institute Lecture Notes.
_ F. Lineares e G. Ponce, Introduction to Nonlinear dispersive equations, Springer.
_ T. Tao, Nonlinear dispersive equations, AMS.
LEZIONE 1 lunedì 13 giugno, ore 9-11:30
Introduzione. Esistenza ed uncitia'di soluzioni per NLS in dimensione 1. Esistenza globale
vs blow-up. Stime di Gagliardo-Nirenberg e metodo di Glassey.
LEZIONE 2 lunedì 13 giugno, ore 16-18:30
Criteri di unicita'in dim. 2: metodo di Yudovich e metodo di Brezis-Gallouet. Estensioni
recenti di queste tecniche con l'ausilio delle energie modificate ed estensioni a contesti
non dispersivi (half-wave, NLS su varieta'non compatte). Dispersione: stime di
decadimento e stime di Strichartz. Applicazioni alla questione di esistenza ed unicita' in
dimensione superiore ad 1.
LEZIONE 3 martedì 14 giugno, ore 9-11:30
Stati fondamentali. Esistenza ed unicita'.Nozione di stabilita'in senso di Lyapunov.
Trasformazioni Galileaiane ed instabilita' delle onde solitarie. Nozione di stabilita' orbitale.
LEZIONE 4 martedì 14 giugno, ore 16-18:30
Concentrazione e compattezza e metodo di Cazenave-Lions. Risultato di instabilita' di
Beresticky-Cazenave tramite il vincolo di Pohozaev.
LEZIONE 5 mercoledì 15 giugno, ore 9-11:30
Introduzione alla nozione di scattering. Primi risultati per dati piccoli. Stime di Morawetz e
scattering per dati grandi.
LEZIONE 6 mercoledì 15 giugno, ore 16-18:30
Stime di Morawetz interattive ed applicazioni allo scattering. Metodo dei campi vettoriali ed
applicazioni ad NLS con dati piccoli.