testo esame 18-1-2006 I modulo

Esame di istituzioni di geometria superiore I modulo - 18/1/2006
Esercizio 1. Sia
 

x





 
y
4
2
2
2
3


T =:   ∈ R : x + y + z + t = 1 .
x






t
• Stabilire se T è una varietà differenziale, e nel caso determinarne dimensione e fibrato tangente.
• Produrre un atlante di T .
• Stabilire se T è compatta e se è connessa.
x
(x ∈ T ). Stabilire
• Si consideri la mappa f : T → S 3 data da f (x) = kxk
se f è ben definita e se è C ∞ . Determinare i valori singolari e regolari
di f , e stabilire se è un diffeomorfismo locale. Stabilire se f è iniettiva.
Esercizio 2.
Sia
 

x




 

y
4
2
2
2
2
2
2


T =:   ∈ R : x − y + z − t = x + y − z + t = 1 .
x






t
• Stabilire se T è una varietà differenziale, e nel caso determinarne dimensione e fibrato tangente.
• Sia g : T → R2 la proiezione sulle componenti (y, t). Determinare valori
regolari e singolari di g; stabilire se g è un diffeomorfsmo locale.
• Stabilire se T è compatta.
Esercizio 3. Si enunci e dimostri il teorema dell’immersione locale (versione
standard e versione per varietà differenziali).
Esercizio 4. Sia f : M → N un’applicazione C ∞ , ove M ⊆ Rk e N ⊆ Rl
sono varietà differenziali. Sia grafo(f ) ⊆ Rk ×Rl il grafo di f . Si dimostri che
grafo(f ) é una varietà differenziale, e se ne descriva esplicitamente lo spazio
tangente in ogni punto (come sottospazio di Rk × Rl ).
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