Limiti trigonometrici- esercizi svolti

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Limiti trigonometrici- esercizi svolti
1.Calcolare il seguente limite:
arcsen 4 x + tg 3 x + arctg 2 x − x 2
x →0
sen 2 x
lim
Moltiplichiamo e dividiamo per la potenza opportuna di x in modo da ottenere limiti notevoli:
arcsen 4 x 4 tg 3 x 3 arctg 2 x 2
⋅x + 3 ⋅x +
⋅ x − x2
4
2
arcsen x + tg x + arctg x − x
x
x
x
= lim
lim
x →0
x →0
sen 2 x 2
sen 2 x
⋅x
x2
4
3
2
2
Il limite diviene:
x 4 + x3 + x 2 − x 2
=0
lim
x →0
x2
2.Calcolare il seguente limite:
lim
x →0
tg 3 x
x (1 − cos x )
Ricordiamo i limiti notevoli:
tagx
(1 − cos x) 1
= 1 ; lim
=
x →0
x →0
x
x2
2
lim
Moltiplichiamo e dividiamo per x3 in modo da ottenere limiti notevoli:
tg 3 x
tg 3 x
1
x 3 = lim
x3 = =
lim
2
x →0
x
→
0
 1 − cos x 
 1 − cos x  1/ 2
x



3
2
 x

 x

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3.Calcolare il seguente limite:
lim
(
sen 1 − x 2
x →1
)
1− x
Ricordiamo il limite notevole
Moltiplichiamo e dividiamo per (1-x2):
lim
(
sen 1 − x 2
1 − x2
x →1
) ⋅1− x
2
1− x
=
Scomponendo e semplificando si ha:
(1 − x)(1 + x)
=2
x →1
1− x
lim
4.Calcolare il seguente limite:
lim
x →0
arcsen x
1 − cos x
Ricordiamo i limiti notevole:
(1 − cos x)
=0
x →0
x
lim
Dividiamo numeratore e denominatore per x:
arcsen x
1
x = lim
=
lim
x →0
1 − cos x x →0 1 − cos x
x
x2
1
=
1
2
2
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5.Calcolare il seguente limite:
1 − cos3 x
x →0
xtgx
lim
Scomponiamo:
1 − cos3 x
(1 − cox )(1 + cos x + cos 2 x)
= lim
x →0
x →0
xtgx
xtgx
lim
Dividendo sopra e sotto per x2 si ha:
(1 − cox )(1 + cos x + cos 2 x)
1
(1 + cos x + cos 2 x)
2
3
x
2
lim
= lim
=
x →0
x →0
xtgx
1
2
2
x
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