PROBLEMA AGLI AUTOVALORI DI UN OPERATORE LINEARE

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OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT FINITODIMENSIONALI
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PROBLEMA AGLI AUTOVALORI DI UN OPERATORE LINEARE
Esistenza di almeno una coppia autovalore–autovettore
Sia L un operatore lineare nello spazio di Hilbert H di dimensioni finite n.
L’equazione agli autovalori di L è
(u 6= 0).
Lu = lu
Scelta una base ortonormale {ei } in H questa si scrive
X
j
Lij uj = l ui ,
(dove
ui = hei , ui, Lij = hei , L ej i),
cioè
X
(1)
j
(Lij − l δij ) uj = 0.
Per un qualsiasi l
la (1) è un sistema di n equazioni lineari omogenee nelle n incognite uj .
La condizione di esistenza di una soluzione {uj } non nulla è
(2)
det(Lij − l δij ) = 0,
cioè per disteso
L11 − l
L21
..
.
Ln1
L12
L22 − l
..
.
...
...
..
.
Ln2
...
= 0.
Lnn − l L1n
L2n
..
.
Questa è un’equazione algebrica di grado n nell’incognita l che si dice equazione secolare.
Gli autovalori sono le radici dell’equazione secolare.
Poiché un’equazione algebrica di grado n ha sempre n radici
eventualmente in tutto o in parte coincidenti,
esiste sempre almeno un autovalore e un corrispondente autovettore.
Nota
In uno spazio infinitodimensionale l’argomento non può essere ripetuto,
poiché l’equazione secolare non può essere scritta,
e la conclusione non vale.
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OPERATORI LINEARI E SOTTOSPAZI
Riduzione di un operatore a un sottospazio
Se A è un qualunque operatore lineare,
H un sottospazio di H e P il proiettore su H ,
l’operatore PAP può dirsi la riduzione di A al sottospazio H .
La riduzione PAP è sia un operatore di H sia un operatore di H .
La relazione
hg , PAP f i = hPA∗P g , f i
vale ovviamente per g, f ∈ H come vale per g, f qualsiasi in H ,
e pertanto PA∗P è il coniugato hermitiano sia di PAP operatore di H sia di PAP operatore di H .
Se A è un operatore hermitiano,
anche la sua riduzione P A P è hermitiana,
sia come operatore di H , sia come operatore di H .
Se A è un operatore isometrico,
la sua riduzione P A P è isometrica e quindi unitaria
come operatore di H , ma non come operatore di H .
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Sottospazi invarianti
Un sottospazio H di H si dice invariante per l’applicazione di un operatore lineare A
se per ogni u ∈ H è anche A u ∈ H .
Indicando con P il proiettore su H , l’invarianza di questo sottospazio per A si traduce nella relazione
(3)
A P = P A P.
Indicando con P il proiettore sul complemento ortogonale H = H H di H in H
(e pertanto P + P = 1, P P = P P = 0),
le seguenti relazioni sono tutte equivalenti tra di loro e alla (3).
(4)
P A P = 0,
(5)
A = P A P + P A P + P A P,
(6)
P A = A P + P A P.
Infatti si stabilisce facilmente il seguente rondò di implicazioni:
(3)_?

(4)?
??
??
?
??
??
?
(6) .
?

(5)
La (4) si ottiene dalla (3) riscrivendo il secondo membro di questa (1 − P ) A P ;
la (5) si ottiene dalla (4) scrivendo A = (P + P ) A (P + P );
la (6) si ottiene dalla (5) moltiplicando questa per P prima a sinistra, poi a destra
e sottraendo l’una dall’altra le due relazioni cosı̀ ottenute,
la (3) si ottiene dalla (6) moltplicando questa a destra per P.
La coniugata della relazione (4) è
(7)
PA∗P = 0,
e quindi, se H è invariante per A, H è invariante per il suo coniugato A∗ .
I sottospazi impropri H = [0] e H = H
sono invarianti per l’applicazione di qualsiasi operatore lineare.
I sottospazi generati da un qualunque sottoinsieme degli autovettori di un operatore A,
cioè gli autospazi, i loro sottospazi e le somme dirette di quelli e questi,
sono invarianti per A.
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OPERATORI LINEARI HERMITIANI O UNITARI
Proprietà degli autovalori e degli autospazi
Sappiamo che gli autovalori di un operatore hermitiano sono numeri reali.
Sappiamo che gli autovalori di un operatore isometrico
e quindi, in uno spazio finitodimensionale, unitario
sono numeri complessi di modulo 1.
Sappiamo che gli autospazi di un operatore hermitiano o isometrico sono mutuamente ortogonali.
Invarianza del complemento ortogonale di un sottospazio invariante
Se A è un operatore hermitiano o unitario in uno spazio di Hilbert H finitodimensionale
e H è un sottospazio di H invariante per A
allora anche il complemento ortogonale H = H H di H in H è invariante per A.
Le dimostrazioni sono date nel foglio seguente.
Essendo H invariante come H ,
assieme alla relazione (4) equivalente all’invarianza di H
vale la relazione seguente equivalente all’invarianza di H :
(8)
PAP = 0.
Le relazioni (5) e (6) si riducono quindi alle relazioni
(9)
A = PAP + PAP,
cioè A è uguale alla somma delle sue riduzioni a H e H ,
e
(10)
P A = A P,
cioè A commuta con P e, essendo ormai H e H scambiabili, anche con P.
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Per un operatore hermitiano
Se H è invariante per A vale la relazione (7) e questa, se A è hermitiano, diventa la (8),
cioè anche H è invariante per A.
Per un operatore unitario
Se A è unitario e quindi isometrico
anche la sua riduzione PAP è isometrica come operatore di H , cioè
PA∗P PAP = P.
Essendo H finitodimensionale, PAP è anche unitario in H e quindi
(11)
PAP PA∗P = P.
Applicando P a sinistra e P a destra alla relazione di isometria di A, A∗ A = 1, si ottiene
(12)
PA∗P PAP + PA∗P PAP = 0.
Se H è invariante per A vale la relazione (7) e la (12) si riduce al solo primo termine,
PA∗P PAP = 0.
Moltiplicando questa a sinistra per PAP e facendo uso della (11) si ottiene di nuovo la (8)
e quindi di nuovo anche H è invariante per A.
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Completezza degli autovettori di un operatore hermitiano o unitario
Sia A un operatore hermitiano o unitario in H .
Se l’equazione secolare ha n radici distinte
i corrispondenti autovettori sono mutuamente ortogonali
e pertanto sono un sistema completo in H .
Se le radici dell’equazione secolare non sono tutte distinte procediamo nel modo seguente.
L’operatore A ha certamente un autovalore a1 e un corrispondente autovettore u1 .
Il sottospazio unidimensionale H 1 generato da u1 è un sottospazio invariante di A
come pure H 1 = H H 1 .
L’operatore P 1 AP 1 ha certamente in H 1 un autovalore a2 (eventualmente uguale a a1 )
e un corrispondente autovettore u2 che è anche autovettore di A e in H è ortogonale a u1 .
Il sottospazio unidimensionale H 2 generato da u2 è un sottospazio invariante di P 1 AP 1
come pure H 2 = H 1 H 2 .
L’operatore P2 P1 AP1 P2 = P2 AP2 ha certamente in H 2 un autovalore a3
(eventualmente uguale a a2 o a a1 o a entrambi)
e un corrispondente autovettore u3 che è anche autovettore di A e in H è ortogonale a u2 e u1 .
E cosı̀ via.
In questo modo si costruisce un sistema di n autovettori di A
che sono mutuamente ortogonali e pertanto sono un sistema completo in H n–dimensionale.
Sottospazi invarianti di un operatore hermitiano o unitario
Abbiamo già osservato che
i sottospazi generati da un qualunque sottoinsieme degli autovettori di un operatore A,
sono invarianti per A.
Se A è hermitiano o unitario tutti i suoi sottospazi invarianti, a parte il sottospazio invariante improprio [0],
sono generati da un sottoinsieme di suoi autovettori.
Infatti, se H è invariante per A, PAP è hermitiano o unitario in H ,
gli autovettori ū di PAP in H , che per la (9) sono anche autovettori di A,
sono in H un sistema completo e H è da essi generato.
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Controesempi banali
L’operatore in `2
0
0
1
0
1
0
1
0
ha il solo autovalore 0
a
cui corrisponde l’unico autospazio
, unidimensionale.
0
L’operatore in `2
ha gli autovalori 1 e 0
a
b
cui corrispondono rispettivamente gli autovettori
e
,
0
−b
linearmente indipendenti ma non ortogonali.
L’operatore (normale) in `2
1
0
0
i
1
i
i
1
ha gli autovalori 1 e i non tutti reali
a
0
e
, ortogonali.
0
b
ha gli autovalori 1 + i e 1 − i complessi
a
a
e
, ortogonali.
a
−a
L’operatore (normale) in `2

 
a
0
0  ha il sottospazio invariante dei vettori  b ,
0
1
 
a
ma in questo ha solo gli autovettori  0 .
0

0
L’operatore in `3  0
0
1
0
0
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Sistemi ortonormali completi di autovettori
Risoluzioni dell’identità e risoluzione spettrale di un operatore
Ciascun autovalore distinto dell’operatore hermitiano (o eventualmente unitario) A
individua un autospazio di A.
Entro ciascun autospazio
gli autovettori costruiti come descritto sopra sono mutuamente ortogonali
e, se normalizzati, costituiscono un sistema ortonormale completo nel sottospazio;
in ogni caso entro un autospazio
può sempre essere introdotto un sistema ortonormale di (auto)vettori completo in quell’autospazio.
Sia pertanto
hui0d0 , uid i = δii0 δdd0 ,
A uid = ai uid ,
dove l’indice i corre sugli autovalori distinti e i corrispondenti autospazi H i
e l’indice d corre sul particolare sistema di vettori ortonormali introdotto nell’autospazio H i .
Per ogni f di H si può sempre scrivere
f=
X
id
huid , f i uid ,
Af =
X
id
ai huid , f i uid .
Poiché
huid , f i uid = Pid f,
dove Pid è il proiettore sul sottospazio unidimensionale generato da uid ,
si ha
f=
X
id
Pid f =
X
i
Pi f,
Af =
X
id
ai Pid f =
X
i
ai Pi f,
dove Pi è il proiettore sull’autospazio appartenente all’autovalore ai .
Per l’arbitrarietà di f le ultime relazioni si possono scrivere operatorialmente
(13)
(14)
1=
A=
X
i
X
i
Pi ,
ai Pi ,
che sono dette
risoluzione dell’identità (in termini dei proiettori sugli autospazi di A)
e risoluzione spettrale dell’operatore A.
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Funzioni di un operatore
Conosciamo finora le funzioni di un operatore che si possono costruire con l’algebra degli operatori.
Nel caso di un operatore hermitiano o unitario
il concetto di funzione può essere esteso a una funzione arbitraria.
Sia
A uid = ai uid ,
Allora, considerata una funzione arbitraria f (a),
definiamo f (A) come l’operatore lineare tale che
f (A) uid = f (ai ) uid .
È facile mostrare che, se f (a) è una funzione algebrica,
il concetto di funzione ora introdotto coincide con quello che proviene dall’algebra degli operatori.
Equivalentemente, la definizione di f (A) può essere scritta
(15)
f (A) =
X
i
f (ai ) Pi
in termini dei proiettori sugli autospazi di A.
Ogni funzione di A (hermitiano o unitario) commuta con A,
(16)
A f (A) = f (A) A.
Infatti dalla risoluzione spettrale (14) e dalla definizione (15) segue subito
A f (A) =
X
i
ai f (ai ) Pi = f (A) A.
Funzioni esponenziali
Di particolare interesse sono le funzioni esponenziali exp(αA) di un operatore A, con α numero complesso.
In particolare dalla definizione (15) segue
(17)
exp(−αA) exp(αA) = 1.
Se H è un operatore hermitiano e γ un numero reale l’operatore exp(iγ H) ha la proprietà
∗
exp(iγ H) = exp(−iγ H) .
(18)
Infatti, scritta la risoluzione spettrale di H
X
H=
i
hi Pi ,
dalla (15) segue
exp(iγ H)
∗
=
X
i
exp(iγ hi )Pi
∗
Dalle (17) e (18) segue che exp(iγ H) è unitario.
=
X
i
exp(−iγ hi )Pi = exp(−iγ H) .
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SISTEMI DI OPERATORI COMMUTANTI
Due operatori A e B commutano se
(19)
AB = BA .
Allora ogni autospazio (ma non ogni sottospazio invariante) di uno è invariante per l’altro.
Infatti, se H è autospazio di A corrispondente all’autovalore ā,
cioè se ū ∈ H implica A ū = ā ū e viceversa,
allora A(B ū) = BA ū = ā(B ū) e quindi B ū ∈ H .
Diagonalizzazione simultanea di più operatori
Condizione necessaria e sufficiente affinché gli operatori hermitiani o unitari A, B, C, . . .
abbiano un sistema ortonormale completo di autovettori comuni
è che gli operatori commutino a due a due.
Necessità
Sia uijk...d un sistema ortonormale completo tale che
A uijk...d = ai uijk...d ,
B uijk...d = bj uijk...d ,
C uijk...d = ck uijk...d ,
·····················
Allora
BA uijk...d = ai bj uijk...d = AB uijk...d
e quindi, per la completezza del sistema di vettori uijk...d , BA = AB.
Analogamente per ogni altra coppia di operatori del sistema di operatori commutanti.
Sufficienza
Viceversa, siano A e B hermitiani o unitari con AB = BA.
Sia H i l’autospazio di A corrispondente all’autovalore ai e Pi il proiettore su H i .
Poiché A e B commutano H i è invariante per l’azione di B.
Allora Pi BPi è hermitiano o unitario in H i
e possiede in H i un sistema completo di autovettori che possiamo indicare con uijd .
Evidentemente, al variare di i, j, d, gli uijd sono un sistema completo in H .
Se poi esiste un terzo operatore hermitiano o unitario C che commuta con A e con B
consideriamo il sottospazio H ij . . . . . .
Autospazi comuni
Il sottospazio H ij generato dagli autovettori comuni uijk...d con i e j fissi
può dirsi autospazio comune di A e B appartenente alla coppia di autovalori ai , bj .
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Risoluzioni spettrali di operatori commutanti
Siano A e B operatori hermitiani o unitari commutanti
e siano
A=
X
i
ai PiA ,
B=
X
j
bj PjB
le loro risoluzioni spettrali.
La relazione di commutatività (19) può essere riformulata in termini dei proiettori PiA e PjB ,
cioè per ogni i e j vale la relazione
PiA PjB = PjB PiA ,
(20)
ovvero ogni proiettore della risoluzione di uno degli operatori
commuta con ogni proiettore della risoluzione dell’altro.
Infatti, considerato il sistema ortonormale completo uijd tale che
A uijd = ai uijd ,
B uijd = bj uijd ,
i proiettori Pijd sui sottospazi unidimensionali generati dagli autovettori comuni uijd hanno la proprietà
Pijd Pi0j 0d0 = δii0 δjj 0 δdd0 Pijd .
Poiché
PiA =
X
jd
PjB =
Pijd ,
X
id
Pijd ,
si ottiene subito
PiA PjB =
X
d
Pijd = PjB PiA .
Proiettori sugli autospazi comuni
Il prodotto
PiA PjB = Pij
(21)
è il proiettore sull’autospazio comune di A e B appartenente alla coppia di autovalori ai , bj .
Valgono le espressioni
A=
X
ij
ai Pij ,
B=
X
ij
bj Pij ,
che possono anche essere scritte compattamente
(22)
A
B
X ai =
Pij .
ij
bj
La coppia di operatori commutanti A, B è a ogni effetto equivalente a un unico operatore
la cui risoluzione spettrale è data dai proiettori Pij
a ciascuno dei quali corrisponde (anziché un autovalore) una coppia di autovalori.
Quanto esposto sopra si estende immediatamente a tre o più operatori commutanti.
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OPERATORI NEGLI SPAZI FINITODIMENSIONALI
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Esempio di operatori hermitiani dotati di un sistema completo di autovettori comuni
Nello spazio di Hilbert tridimensionale `3 consideriamo gli operatori A e B
aventi gli autospazi rispettivamente indicati in rosso e verde.
Se H 2B è un sottospazio di H 1A e conseguentemente H 2A è un sottospazio H 1B ,
come indicato nella figura,
i due operatori hanno un sistema completo di autovettori comuni.
H1B
H2A
NNN
NNN
NNN
eeeeeee
NN eeeeeeeeeeeee
e
e
B
A
e
H1 ∩H1 eeeeee
eeeee
H2B
eeeeee
H1A
(l’immagine è in prospettiva dal punto di vista di coordinate x = 3, y = 0, z = 1;
le circonferenze rappresentano simbolicamente i piani e i segmenti le rette in cui giacciono)
Gli autovalori e gli autospazi dei due operatori e quelli simultanei della coppia
risultano dalla tabella seguente:
operatori
A
B
A ,B
autovalori
degenerazione
autospazi
a1
2
HA
1
a2
1
HA
2
b1
2
HB
1
b2
1
HB
2
a1 , b1
1
B
HA
1 ∩H1
a1 , b2
1
B
B
HA
1 ∩H 2 =H 2
a2 , b1
1
A
B
HA
2 ∩H 1 =H 2
11 bis
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Funzioni di un sistema di operatori commutanti
Conosciamo finora le funzioni di un sistema di operatori
che si possono costruire con l’algebra degli operatori.
Nel caso di un sistema di operatori (hermitiani o unitari) commutanti
il concetto di funzione può essere esteso a una funzione arbitraria.
Sia
A uijd = ai uijd ,
B uijd = bj uijd ,
Allora, considerata una funzione arbitraria di due variabili f (a, b),
definiamo f (A, B) come l’operatore lineare tale che
f (A, B) uijd = f (ai , bj ) uijd .
È facile mostrare che, se f (a, b) è una funzione algebrica,
il concetto di funzione ora introdotto coincide con quello che proviene dall’algebra degli operatori.
Equivalentemente, la definizione di f (A, B) può essere scritta
(23)
f (A, B) =
X
ij
f (ai , bj ) Pij
in termini dei proiettori (21) sugli autospazi comuni di A e B.
Quanto sopra si estende immediatamente alle funzioni di tre o più operatori commutanti.
Se A e B (hermitiani o unitari) commutano ogni funzione di uno commuta con ogni funzione dell’altro,
(24)
f (A) g(B) = g(B) f (A).
Infatti dalla definizione (23), tenuto conto della proprietà (20), segue subito
f (A) g(B) =
X
ij
f (ai ) g(bj )PiA PjB = g(B) f (A).
Funzioni esponenziali
Le funzioni esponenziali di due operatori (hermitiani o unitari) commutanti A e B
godono della proprietà
(25)
exp(αA) exp(βB) = exp(αA+βB),
dove α e β sono numeri complessi.
Infatti dalle definizioni (15) e (23) si ottiene
exp(αA) exp(βB) =
X
ij
exp(αai ) exp(βbj )Pij =
X
ij
exp(αai +βbj )Pij = exp(αA+βB).
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Sistemi esaurienti di operatori commutanti
Diciamo che un sistema di operatori A, B, C, . . . (hermitiani o unitari) commutanti è esauriente
se in corrispondenza di ogni sistema di autovalori esiste un solo autovettore linearmente indipendente,
cioè se il problema agli autovalori simultaneo del sistema di operatori non presenta degenerazione.
Terminologia
Il termine più comunemente usato è completo invece di esauriente.
Aggiunta a un sistema esauriente di operatori commutanti
Sia A, B un sistema esauriente di operatori (hermitiani o unitari) commutanti,
A uij = ai uij ,
B uij = bj uij .
Se G è un ulteriore operatore (hermitiano o unitario) che commuta con A e B,
gli operatori A, B, G hanno un sistema completo di autovettori comuni
e gli autovettori di G sono necessariamente i vettori uij .
Sia
G uij = gij uij .
Allora, posto
f (ai , bj ) = gij ,
è
G = f (A, B)
cioè G è funzione di A, B.
Quanto sopra si particolarizza ovviamente al caso di un singolo operatore non degenere
e si estende immediatamente ai sistemi esaurienti di tre o più operatori commutanti.
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Sottospazi invarianti e risoluzioni spettrali
Sempre con riferimento a un operatore A hermitiano o unitario
sia H un suo sottospazio invariante e H = H H il complemento ortogonale, pure invariante,
e siano P e P i proiettori su H e H .
Allora, secondo la (10), A e P commutano
e quindi hanno un sistema completo di autospazi comuni mutuamente ortogonali.
Di questi, quelli corrispondenti all’autovalore 1 di P sono sottospazi di H che indichiamo con H i ,
quelli corrispondenti all’auotovalore 0 di P sono sottospazi di H che indichiamo con H j ,
¯j in H e H
dove gli indici i e j individuano gli autovalori di A, rispettivamente āi e ā
e hanno in generale in questi variabilità diverse.
Detti P iA e P jA i proiettori sugli autospazi H i e H j si ha allora
P P iA = P iA P = P iA ,
P P jA = P jA P = 0,
P=
X
P P jA = P jA P = P jA ,
P P iA = P iA P = 0,
P=
X
AP iA = āi P iA ,
i
j
P iA ,
P jA ,
¯j P jA .
AP jA = ā
Queste relazioni incorporano la scambiabilità di H e H , che come sappiamo sussiste.
Dalla (9), usando le espressioni di P e P e l’equazione agli autovalori della terza riga, otteniamo
(26)
A=
X
i
āi P iA +
X
j
¯j P jA .
ā
I due termini rappresentano le risoluzioni delle riduzioni di A a H e H come operatori di H e H .
La (26) non è in generale la risoluzione di A,
poiché può accadere che taluni degli autovalori nei due termini coincidano.
La risoluzione di A può essere scritta
A=
X
k
ak PkA
dove l’indice k è tale che ak corre
¯j per ogni j, nel qual caso ak = āi e PkA = P iA ,
su tutti gli āi tali che āi 6= ā
¯j tali che ā
¯j 6= āi per ogni i, nel qual caso ak = ā
¯j e PkA = P jA ,
su tutti gli ā
¯j , nel qual caso ak = āi = ā
¯j e PkA = P iA + P jA .
su tutti gli āi = ā
Nei tre casi si ha rispettivamente
P PkA = PkA P = P iA ,
P PkA = PkA P = 0,
e quindi in ogni caso
P PkA = PkA P.
P PkA = PkA P = P iA ,
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L’ultima relazione scritta è la relazione (10)
con l’operatore hermitiano PkA al posto dell’operatore hermitiano o unitario A.
Quindi H è invariante per tutti gli operatori PkA e valgono le relazioni tra di loro equivalenti
(27)
PkA P = P PkA P,
(28)
P PkA P = 0,
(29)
PkA = P PkA P + P PkA P,
(30)
P PkA = PkA P.
e anche P PkA P = 0,
Le relazioni (27)–(30) ricalcano formalmente le relazioni (3), (4), (9), (10) con PkA al posto di A.
Viceversa, le seconde si possono ottenere dalle prime moltiplicando per ak e sommando su k.
Come è facile vedere, valgono anche le relazioni
che si ottengono sostituendo nelle (27)–(30) P iA o P jA al posto di PkA .
Nel caso della sostituzione con P jA tutte le relazioni tranne la penultima si riducono a 0 = 0.
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