Esercizi per il corso di Calcolo

(DA COMPLETARE !!)
Esercizi per il corso di
Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
NOTA 1 Quando i problemi sono formulati nel linguaggio ordinario, tenere presente che la soluzione consiste sempre di DUE passi.
Primo passo: si individua un modello matematico atto a descrivere il problema.
Secondo passo: si procede al calcolo all’interno del modello matematico scelto.
NOTA 2 Alcuni dei problemi proposti sono venuti in mente a chi scrive, altri sono
frutto di conversazioni con colleghi, ed altri ancora sono stati presi da vari testi di
probabilita’ nel corso degli anni. Riporto in fondo al file gli estremi dei testi usati
di cui mi ricordo. Mi scuso per eventuali omissioni.
NOTA 3 Questo file viene aggiornato ogni tanto. Segnalazioni di errori sono
gradite.
1. Problemi elementari
Esercizio 1.1. Data un’urna contenente 3 palline bianche e 4 nere, si effettuano 3
estrazioni, senza restituzione, da tale urna. Se vengono estratte 2 palline bianche
ed 1 nera, il gioco ha termine, altrimenti si reinseriscono le tre palline estratte
nell’urna, e si ripete la procedura. Si determini la probabilità che il gioco termini
alla terza prova.
Soluzione Sia Ai ={vengono estratte 2 palline bianche ed 1 nera alla i-esima
ripetizione della procedura}. Gli Ai formano una successione di prove di Bernoulli
(3)(4)
con probabilità di successo P (A1 ) = 2 7 1 = p. La probabilità che il gioco termini
(3)
alla terza prova è (1 − p)2 p.
Esercizio 1.2. Da un’urna, contenente 7 palline bianche e 6 nere, vengono effettuate 3 estrazioni. Dopo ogni estrazione, la pallina estratta viene rimessa nell’urna
insieme ad un’ulteriore pallina dello stesso colore. Si determini la probabilità di
ottenere 2 palline bianche ed 1 nera.
Soluzione Indichiamo con Bi l’evento ”pallina bianca alla i-esima estrazione”,
con Ni l’evento ”pallina nera alla i-esima estrazione”e con A l’evento ”si ottengono
2 palline bianche ed 1 nera nelle 3 estrazioni”. Allora, A = (B1 ∩ B2 ∩ N3 ) ∪
(B1 ∩ N2 ∩ B3 ) ∪ (N1 ∩ B2 ∩ B3 ), e si tratta di una unione di tre eventi a due a
due incompatibili. Quindi P (A) è la somma delle probabilità di quei tre eventi.
Calcoliamo la probabilità del primo.
7 8 6
.
13 14 15
Si usa lo stesso procedimento per calcolare la probabilità degli altri due eventi, e si
vede subito che sono uguali a quella del primo (i denominatori restano 13, 14 e 15
in questo ordine, ed i numeratori restano 7, 8 e 6 in un ordine diverso. Segue che
7 8 6
P (A) = 3 13
14 15 .
P (B1 ∩ B2 ∩ N3 ) = P (B1 )P (B2 | B1 )P ((N3 | B1 ∩ B2 ) =
Esercizio 1.3. Un’urna contiene 12 palline, di cui b bianche e v verdi, con b, v > 0.
Consideriamo le possibili composizioni dell’urna equiprobabili. Un amico estrae,
1
2
senza farla vedere, una pallina dall’urna e ne osserva il colore. Poi rimette la pallina
nell’urna, aggiungendo una pallina dello stesso colore e togliendone una dell’altro
colore. Completata questa operazione, l’urna viene aperta e si trovano 5 palline
bianche e 7 verdi. Calcolare la probabilità che la composizione iniziale fosse di 6
palline bianche e 6 verdi.
Soluzione Le possibili composizioni dell’urna sono riconoscibili dal numero di
palline bianche presenti nell’urna. Poiché b, v > 0, l’urna contiene almeno 1 pallina bianca, ma non ne contiene più di 11. Ci sono quindi 11 possibili composizioni dell’urna. Indichiamo con Hi l’evento”l’urna contiene esattamente i palline
1
per ogni i = 1, . . . , 11. Solo
bianche”, i = 1, . . . , 11. Per ipotesi P (Hi = 11
due di queste composizioni sono compatibili con ciò che si trova nell’urna quando
questa viene aperta. Precisamente, sia A l’evento ”si trovano 5 palline bianche
e 7 verdi al termine dell’operazione”. Allora P (A | Hi ) = 0 a meno che i = 4
4
oppure i = 6. Inoltre P (A | H4 ) = P (l’amico estrae pallina bianca | H4 ) = 12
6
e P (A | H6 ) = P (l’amico estrae pallina verde | H6 ) = 12 . Il testo richiede di
calcolare P (H6 | A. Per il teorema di Bayes e le considerazioni precedenti,
P (A | H6 )P (H6 )
P (H6 | A) = P11
i=1 P (A | Hi )P (Hi )
=
P (A | H6 )P (H6 )
=
P (A | H4 )P (H4 ) + P (A | H6 )P (H6 )
6
12
4
12
+
6
12
.
Esercizio 1.4. Da un’urna, contenente 3 palline bianche, 4 palline nere, e 2 palline
rosse. vengono estratte 4 palline senza restituzione. Si determini la probabilità di
ottenere 1 pallina bianca, 2 palline nere ed 1 pallina rossa.
Soluzione Ci sono 94 modi di estrarre le 4 palline dall’urna, e si tratta di 94
casi possibili ed equiprobabili. Il numero di quaterne di palline che soddisfano la
(3)(4)(2)
richiesta del testo è 31 42 21 . La probabilità richiesta è quindi 1 92 1 .
(4)
Esercizio 1.5. Un’urna contiene 1 pallina bianca ed 1 pallina nera. A turno due
giocatori prelevano a caso una pallina, con restituzione. Vince il primo che prende
pallina bianca. Trovare la probabilità che vinca quello che inizia.
Soluzione Gli eventi Ai ={esce pallina bianca alla i-esima estrazione} formano
una successione di prove di Bernoulli con probabilità di successo 12 . Vince il giocatore che inizia se il primo Ai che si verifica ha l’indice i dispari. In altri termini,
vince il giocatore che inizia se si verifica l’evento A1 ∪ (Ac1 ∩ Ac2 ∩ A3 ) ∪ (Ac1 ∩ Ac2 ∩
Ac3 ∩ Ac4 ∪ A5 ) . . .. Si tratta di una unione di eventi a due a due incompatibili.
Inoltre gli eventi all’interno di ciascuna parentesi sono indipendenti. La probabilità
richiesta è quindi 12 + ( 12 )3 + ( 12 )5 + . . . = 32 .
Esercizio 1.6. Si tenta di aprire una porta usando un mazzo di chiavi in sequenza,
a partire da una chiave scelta a caso (non si ritenta mai con una chiave già provata).
Si trovi la probabilità di riuscire al k-esimo tentativo, 1 ≤ k ≤ n.
Soluzione Si immaginino le chiavi numerate da 1 ad n. Scegliere le chiavi in
sequenza equivale a scegliere una permutazione dei numeri {1, . . . , n}. Siccome la
scelta è casuale, le permutazioni sono equiprobabili. Ci sono in tutto n! permutazioni. La porta viene aperta al k-esimo tentativo se la permutazione scelta ha la
cifra k al k-esimo posto. Di tali permutazioni ce ne sono (n − 1)!. La probabilità
= n1 .
richiesta è quindi (n−1)!
n!
3
Esercizio 1.7. (Durrett EP, 52) Un piccolo insediamento è costituito da 5 famiglie,
ciascuna composta da 4 persone. Una certa malattia ha colpito 6 individui. Ammesso
che la malattia colpisca ”a caso”, calcolare la probabilità che
(a) solo due famiglie abbiano almeno un malato;
(b) solo una famiglia sia senza malati;
(c) tutte le famiglie abbiano qualcuno malato.
Soluzione Numeriamo le persone e le famiglie, per esempio immaginando che
la prima famiglia sia composta dalle persone da 1 a 4, la seconda da quelle da 5
a 8, e cosı̀ via. Consideriamo dapprima le persone. Siccome la malattia colpisce
a caso, chiamando ”successo” alla prova i-esima l’evento Ai ={la persona i-esima
viene colpita dalla malattia}, si hanno 20 prove di Bernoulli con probabilitá di
6
. Consideriamo adesso le famiglie e gli eventi Bj ={la j-esima famiglia
successo 20
ha almeno un malato}. Quindi l’evento B1 dipende solo dagli eventi da A1 ad A4 ,
l’evento B2 dipende solo dagli eventi da A5 ad A8 , e cosı̀ via. Siccome gli eventi Ai
sono indipendenti, ed i Bj dipendono da quaterne di Ai che non hanno elementi in
comune, anche gli eventi Bj sono indipendenti. Inoltre sono equiprobabili. Infatti,
P (Bj ) = P (almeno un successo in 4 prove) = 1 − P (nessun successo in 4 prove) =
6 4
) = p. Allora anche gli eventi Bj sono prove di Bernoulli. Con riferimento
1 − ( 20
ad essi, adesso il ”successo” alla prova j-esima è l’evento Bj , ed abbiamo quindi 5
prove di Bernoulli con probabilità di successo p. Ne segue che
P (solo due famiglie abbiano almeno un malato)
5 2
= P (esattamente 2 successi su 5 prove) =
p (1 − p)3 ,
2
P (solo una famiglia sia senza malati)
5 4
= P (esattamente 4 successi su 5 prove) =
p (1 − p),
4
P (tutte le famiglie abbiano qualcuno malato)
= P (5 successi su 5 prove) = p5 .
Esercizio 1.8. Una studentessa risponde ad un test che contiene 10 domande,
ciascuna con 4 risposte indicate, di cui esattamente una è giusta. La studentessa
non ha seguito le lezioni e risponde scegliendo a caso, per ciascuna domanda, tra le
4 risposte indicate. Qual è la probabilità che dia esattamente 3 risposte giuste ?
Soluzione Rispondendo a caso, la studentessa fa 10 prove di Bernoulli con
1 3 3 7
probabilità di successo 41 . La probabilità richiesta è 10
3 (4) (4) .
Esercizio 1.9. Un dado viene lanciato 8 volte. Qual è la probabilità di ottenere
esattamente 2 volte il numero 3 ?
Soluzione Gli 8 lanci possono essere visti come 8 prove di Bernoulli con probabilità di successo 16 , intendendo per successo l’uscita del 3. La probabilità richiesta
è 82 ( 16 )2 ( 56 )6 .
Esercizio 1.10. Due studentesse, Alice ed Elisabetta, frequentano il corso di Statistica. Alice va a lezione l’80% delle volte, Elisabetta il 60% delle volte, e le loro
assenze sono indipendenti. In un dato giorno, calcolare la probabilità che
(a) almeno una delle due studentesse sia in classe;
4
(b) esattamente una delle due studentesse sia in classe.
Soluzione Indichiamo con A l’evento ”Alice è in classe”, e con E l’evento ”Elisabetta è in classe”. Sulla base delle informazioni date dal testo, si può formalizzare
80
60
la situazione dicendo che P (A) = 100
, P (E) = 100
, e gli eventi A ed E sono indipendenti. Allora poiché A ed E sono indipendenti P (A ∩ E) = P (A)P (E), e si
ottiene
P (almeno una delle due studentesse sia in classe)
= P (A ∪ E) = P (A) + P (E) − P (A ∩ E) = P (A) + P (E) − P (A)P (E),
P (esattamente una delle due studentesse sia in classe)
= P (A ∩ E c ) ∪ (Ac ∩ E)
= P (A ∩ E c ) + P (Ac ∩ E) perché l’unione è di eventi incompatibili
= P (A)P (E c ) − P (Ac )P (E) di nuovo per l’indipendenza
= P (A)(1 − P (E)) + (1 − P (A))P (E).
Sostituendo i valori di P (A) e P (E) si conclude.
Esercizio 1.11. Tre studenti hanno ciascuno probabilità 1/3 di risolvere un certo
problema, ed agiscono indipendentemente l’uno dall’altro. Qual è la probabilità
che almeno uno risolva il problema ?
Soluzione Sia Ai l’evento ”lo studente i-esimo risolve il problema”. Le informazioni fornite dal testo permettono di formalizzare la situazione dicendo che gli
eventi Ai sono indipendenti ed hanno probabilità 13 . Allora la probabilità richiesta
è
2
P (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) = 1 − P (Ac1 ∩ Ac2 ∩ Ac3 ) = 1 − P (Ac1 )P (Ac2 )P (Ac3 ) = 1 − ( )3 .
3
Esercizio 1.12. Quanti bambini deve fare una coppia per avere probabilità maggiore di 0, 75 di ottenere almeno 2 femmine ?
Soluzione Sia Ai l’evento ”nasce una femmina all’i-esimo tentativo”. Formalizziamo dicendo che gli eventi Ai sono prove di Bernoulli con probabilità di successo
1
2 . Allora, fissato n ≥ 2, se la coppia fa n bambini la probabilità che ottenga almeno
2 femmine è 1−P (ne ottiene 0 oppure ne ottiene
1) = 1−P
(0 successi su n prove)−
P (esattamente 1 successo su n prove) = 1− n0 ( 12 )n − n1 ( 12 )n = 1−( 12 )n −n( 12 )n =
f (n). Al crescre di n anche f (n) cresce. Il numero di bambini che deve fare la coppia
è quindi il più piccolo n tale che f (n) supera 0,75. Viene n = ...........
Esercizio 1.13. Un amico lancia 2 volte una moneta e vi dice che almeno una
volta è venuto testa. Qual è la probabilità che al primo lancio sia venuto testa ?
Soluzione Sia Ai l’evento ”esce testa al lancio i-esimo”. Gli eventi Ai sono prove
di Bernoulli con probabilità di successo 12 . Il testo chiede di calcolare P (A1 | A1 ∪
A2 ). In particolare, per l’indipendenza degli Ai si ha P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 )P (A2 ).
Allora,
P (A1 ∩ (A1 ∪ A2 ))
P (A1 ∪ A2 )
P (A1 )
P (A1 )
2
=
=
=
P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 )
P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 )P (A2 )
3
P (A1 | A1 ∪ A2 ) =
5
Esercizio 1.14. Un’urna contiene 8 palline rosse, 7 palline blu e 5 palline verdi.
Si estraggono (senza restituzione) 2 palline, che risultano di colori differenti. Data
quest’informazione, qual è la probabilità che si tratti di una pallina rossa e di una
blu ?
Soluzione Sia Arb l’evento ”si sono estratte una pallina rossa ed una blu”, e
sia B l’evento ”le due palline estratte sono di colori differenti”. Il testo richiede di
calcolare P (A | B). Per definizione P (A | B) = P P(A∩B)
(B) . Siccome A ⊂ B, P (A ∩
8
7
5
( )(1)(0)
56
B) = P (A) = 1 20
. Indichiamo con Arv l’evento ”si sono estratte una
= 190
(2)
pallina rossa ed una verde”, e con Abv l’evento ”si sono estratte una pallina blu ed
una verde”. Gli eventi Arb ,Arv ,Abv sono a due a due incompatibili e la loro unione
(8)(71)(50) (81)(70)(51) (80)(71)(51)
è B. Quindi P (B) = P (Arb ) + P (Arv ) + P (Abv ) = 1 20
+
+
.
(2)
(20
(20
2)
2)
Esercizio 1.15. In una cittadina il 60% degli abitanti è abbonato al giornale a, il
40% al giornale b, ed il 30% ad entrambi. Si prende una persona a caso tra quelle
che sono abbonate ad almeno uno dei due giornali. Qual è la probabilità che questa
persona sia abbonata al giornale a ?
Soluzione Sia A l’evento ”la persona è abbonata al giornale a”, e B l’evento ”la
persona è abbonata al giornale b”. Le informazioni nel testo portano a modellare la
40
30
60
, P (B) = 100
, P (A ∩ B) = 100
, e che dobbiamo
situazione dicendo che P (A) = 100
P [A∩(A∪B)]
(A)
calcolare P (A | A ∪ B). Si ha che P (A | A ∪ B) = P (A∪B) = P P(A∪B)
=
P (A)
P (A)+P (B)−P (A∩B)
=
60
100
60
40
30
100 + 100 − 100
.
Esercizio 1.16. Supponiamo che, in un certo paese, la probabilità che un uomo
sposato voti sia 0,45, la probabilità che una donna sposata voti sia 0,4, e la probabilità che una donna sposata voti, dato che suo marito vota, sia 0,6. Presa una
coppia sposata a caso, calcolare la probabilità che
(a) entrambi votino;
(b) l’uomo voti, dato che sua moglie vota.
Soluzione Consideriamo la coppia scelta. Sia A l’evento ”la donna vota”, e B
l’evento ”l’uomo vota”. Le informazioni nel testo portano a modellare la situazione
dicendo che P (A) = 0, 4 , P (B) = 0, 45 , P (A | B) = 0, 6 , e che si deve calcolare
(a) P (A ∩ B), (b) P (B | A). Si ha P (A ∩ B) = P (A | B)P (B) = 0, 6 · 0, 45 e
0,6·0,45
P (B | A) = P P(B∩A)
(A) =
0,4 .
Esercizio 1.17. Dovete andare a prendere un amico all’aereoporto, una certa mattina. La vostra esperienza vi dice che l’aereo arriva in ritardo il 70% delle volte
quando piove, ma solo il 20% delle volte quando non piove. Le previsioni del tempo
per quella mattina danno pioggia al 40%. Qual è la probabilità che l’aereo arrivi
in ritardo ?
Soluzione Consideriamo la mattina in questione. Sia A l’evento ”l’aereo arriva
in ritardo”, e sia B l’evento ”piove”. Usando le informazioni del testo si può dire
70
20
40
che P (A | B) = 100
, P (A | B c ) = 100
, P (B) = 100
, e che dobbiamo calcolare P (A).
Per il teorema delle probabilità totali P (A) = P (A | B)P (B) + P (A | B c )P (B c ) =
70 40
20
40
100 100 + 100 (1 − 100 ).
Esercizio 1.18. Il 5% degli uomini e lo 0,25% delle donne è cieco ai colori. Si può
calcolare la probabilità che una persona cieca ai colori sia un uomo ?
6
Soluzione Prendiamo a caso una persona. Sia A l’evento ”la persona è un
uomo” e B l’evento ”la persona è cieca ai colori”. Il testo ci porta a dire che
5
25
P (B | A) = 100
, P (B | Ac ) = 10000
, Si vorrebbe calcolare P (A | B). Per il teorema
5
P (A)
(B|A)P (A)
100
,
di Bayes, si ha che P (A | B) = P (B|A)PP(A)+P
25
5
(B|Ac )P (Ac ) = 100
P (A)+P ( 10000
)(1−P (A)
ma non si può concludere il conto perché non conosciamo P (A).
Esercizio 1.19. Il test della proteina alpha fetale viene usato per individuare la
spina bifida nei feti. La spina bifida è presente in 1 su 1.000 nati. La letteratura
sul test indica che nel 5% dei casi un feto normale causa una reazione positiva.
Assumiamo che il test sia sempre positivo quando la spina bifida c’è. Ad una
donna viene comunicato che il test è positivo. Qual è la probabilità che il suo
bambino abbia la spina bifida ?
Soluzione Sia A l’evento ”il feto ha la spina bifida” e B l’evento ”il test è
5
1
, P (B | Ac ) = 100
,
positivo. Sulla base del testo si può dire che P (A) = 1000
P (B | A) = 1. Si deve calcolare P (A | B). Per il teorema di Bayes P (A | B) =
1
1· 1000
P (B|A)P (A)
P (B|A)P (A)+P (B|Ac )P (Ac ) = 1· 1 + 5 (1− 1 )
1000
100
1000
Esercizio 1.20. Una donna ha un fratello con l’emofilia, ma i suoi genitori non
hanno la malattia. Poiché l’emofilia è causata da un gene recessivo h sul cromosoma
X, si può dedurre che la madre della donna è una portatrice sana (cioè ha il gene
dell’omofilia h su uno dei suoi cromosomi X ed il gene sano H sull’altro cromosoma
X). Poiché la donna ha ricevuto un cromosoma X dalla madre ed uno dal padre,
c’è probabilità 1/2 che essa sia portatrice sana, e, in tal caso, c’è probabilità 1/2 che
i suoi figli maschi (con padre senza la malattia) abbiano la malattia. Se la donna
ha due figli maschi senza la malattia, qual è la probabilità che sia una portatrice
sana ?
Soluzione Sia A l’evento ”la donna è una portatrice sana”, Bi l’evento ”l’iesimo
figlio maschio ha la malattia”, con i = 1, 2. Per la natura del problema, la donna è
sana oppure è una portatrice sana, e si può anche dire che B1 e B2 sono indipendenti,
nell’ipotesi che la donna sia portatrice sana. Inoltre, P (B1 | A) = P (B2 | A) = 12 ,
e P (A) = 12 . Dobbiamo calcolare P (A | B1 ∩ B2 ). Per il teorema di Bayes, P (A |
P (B1 |A)P (B2 |A)P (A)
1 ∩B2 |A)P (A)
B1 ∩B2 ) = B1 ∩B2 |APc(B
)P (Ac )+B1 ∩B2 |A)P (A) = P (B1 |A)P (B2 |A)P (A)+P (B1 ∩B2 |Ac )P (Ac ) =
1 1 1
2 2 2
1 1 1
1
2 2 2 +1· 2
.
Esercizio 1.21. Una compagnia aerea vende 200 biglietti per un aereoplano con
198 posti, sapendo che la probabilità che un passeggero non si presenti è 0,01.
Calcolare la probabilità che ci siano posti per tutti i passeggeri che si presentano.
Soluzione Anche se non è molto realistico, assumiamo che i passeggeri agiscano
indipendentemente l’uno dall’altro. Allora, posto Ai = (l’iesimo passeggero si presenta),
gli eventi Ai sono 200 prove di Bernoulli con probabilità di successo 0, 99. Sia X il
numero di passeggeri che si presentano. La distribuzione di X è quella
del numero si
k
successi in 200 prove di Bernoulli(0,99), ovvero P (X = k) = 200
(0,
99)
(0, 01)200−k .
k
Allora P (tutti i passeggeri trovano posto) = P (X ≤ 198) = 1 − P (X = 199) −
P (X = 200) = 1 − 200(0, 99)199 0, 01 − (0, 99)200 .
Esercizio 1.22. Una coppia ha n figli con probabilità βn , dove βn = αpn se n ∈ N,
se n = 0, con 0 < p < 1, α ∈ [0, 1 − p]. Subordinatamente all’ipotesi
βn = 1−(α+1)p
1−p
che la coppia abbia n > 0 figli, gli eventi Ej = (il j-esimo figlio è femmina) siano
7
indipendenti e con la stessa probabilità r, con r ∈ (0, 1). Si dica qual è la probabilità
che la coppia abbia esattamente k figlie femmine, k > 0.
Esercizio 1.23. Siano X e Y v.a. indipendenti e tali che P (X = n) = P (Y =
n) = 21n , n = 1, 2, . . .. Trovare P (X ≥ 25Y ).
Esercizio 1.24. Si consideri una successione di prove di Bernoulli con probabilità di
successo p = 21 . Si calcoli la probabilità di ottenere il risultato (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .),
in cui c’è sempre un successo ai tempi pari ed un insuccesso ai tempi dispari.
Esercizio 1.25. Secondo The Nuclear Safety Report - WASH 1400, la probabilità
di incidente in un dato impianto nucleare è p = 5 · 10−5 per anno. Nel 1987 c’erano
almeno 600 impianti nucleari in funzione. Assumiamo che nel presente anno ci
siano 600 impianti in funzione. Sia T (i) il tempo d’attesa (misurato in anni) per il
primo incidente relativo all’i-esimo impianto, e supponiamo che le v.a. T (i) siano
indipendenti e geometriche di parametro p. Calcolare la probabilità di un incidente
nucleare entro i prossimi trenta anni.
2. Borel Cantelli, indipendenza, incorrelazione, distribuzioni
congiunte, distribuzioni di funzioni di v.a., densità, funzione
caratteristica, statistiche d’ordine............
Esercizio 2.1. Sia (Xn ) una successione di v.a. indipendenti, e tali che Xn ∼
N (0, 1) se n è pari, Xn ∼ U (−n, n) se n è dispari. Trovare la probabilità dell’evento
A = lim sup Xn ∈ [−1, 1] .
Esercizio 2.2. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d., con
distribuzione exp(α).
Trovare la probabilità dell’evento A = lim sup min(Xn , X1 > n2 ).
Esercizio 2.3. Si verifichi che una v.a. X è indipendente da se stessa se e solo se
X è degenere, cioè se esiste c ∈ R tale che P (X = c) = 1.
Esercizio 2.4. Dato il vettore aleatorio (X, Y, Z) si assuma che FX (t) ≤ FY (t) ∀t ∈
R, e che Z sia indipendente da (X, Y ). Si verifichi che FX+Z (t) ≤ FY +Z (t) ∀t ∈ R
(qui FW indica la funzione di ripartizione della v.a. W )
Esercizio 2.5. Siano X ed Y v.a. indipendenti, entrambe con distribuzione di
Bernoulli( 12 ). Si verifichi che X +Y e |X −Y | sono incorrelate ma non indipendenti.
Esercizio 2.6. Siano X ed Y v.a. i.i.d. con P (X = −1) = P (X = 1) = 12 . Si dica
se sono indipendenti le v.a. X ed XY , e se lo sono le v.a. X, Y, XY .
Esercizio 2.7. Siano X1 , . . . , X5 v.a. i.i.d. con funzione di ripartizione continua
e strettamente crescente. Detta m la mediana di X1 , si determini P (X(2) ≤ m ≤
X(4) , dove X(i) è la i-esima statistica d’ordine.
Esercizio 2.8. Sia {Xt : t ∈ [0, ∞)} una famiglia di v.a. tali che ∀t ≥ 0 E(Xt ) =
0 e E(Xt2 ) = t. Inoltre sia Xt − Xs indipendente da Xs per ogni s, t con 0 ≤ s < t.
Si determini Cov(Xs , Xt ).
Esercizio 2.9. Siano date due v.a. indipendenti X ed Y , entrambe con distribuzione esponenziale, di parametri λ e µ, rispettivamente. Le si interpretino
nel modo seguente. Si immagini una pompa di benzina, inizialmente libera; un
primo cliente arriva ad un istante aleatorio, rappresentato dalla v.a. X, e comincia
immediatamente ad essere servito; Y rappresenta la durata del suo servizio. Per
8
un fissato t > 0 si calcoli la probabilità che all’istante t la pompa sia impegnata nel
servizio del primo cliente
Esercizio 2.10. Siano X ed Y due v.a. i.i.d. con Y ∼ exp(α). Si dica se il vettore
X
Y
aleatorio ( X+Y
, X+Y
) ha distribuzione discreta, oppure singolare continua, oppure
assolutamente continua, oppure una mistura dei tipi precedenti.
Esercizio 2.11. Date le v.a. A = cosX, B = senX, dove X ∼ U (−π, π), si
determini Cov(A, B) e si dica, giustificando l’affermazione fatta, se A e B sono
indipendenti.
Esercizio 2.12. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d. con X1 ∼ P oisson(λ), e
sia N una v.a. indipendente dalle Xi e tale che N ∼ Geom( 12 ).
(a) Si verifichi che per ogni n = 1, 2, . . . si ha X1 + · · · + Xn ∼ P oisson(nλ).
PN
(b) Si determini la distribuzione della v.a. SN = i=1 Xi .
Esercizio 2.13. Siano X, Y v.a. i.i.d. con X ∼ U (0, 1). Si determini la distribuzione di Z = −2log(XY ).
Esercizio 2.14. Siano X ed Y v.a. i.i.d., con X ∼ exp(1). Si determini la
X
.
distribuzione di X+Y
Esercizio 2.15. Siano X ed Y v.a. indipendenti, con X ∼ exp(α) ed Y ∼ exp(β).
Trovare la P (X ≥ Y ).
Esercizio 2.16. Siano X ed Y v.a. indipendenti, con X ∼ U (−1, 1) ed Y ∼ exp(α).
Y
.
Si trovi la distribuzione di Z = X
Esercizio 2.17 (Letta D5, 186). Siano X ed Y v.a. i.i.d., con distribuzione uniforme su [0, 1]. Sia S = |X − Y |, T = 1 − S, e sia U la v.a. che coincide con S dove
X ≤ Y e con T altrove. Si trovino le densità di S, T ed U .
Esercizio 2.18 (Letta D17, 202). Si considerino tre v.a. indipendenti X1 , X2 , X3 ,
tali che X1 ∼ U (0, 1), X2 e X3 con distribuzione exp(1).
(a) Qual è la densità congiunta della coppia (X1 , X2 + X3 ) ?
(b) Qual è la densità di X1 + X2 + X3 ?
(c) Si provi che X1 + X2 + X3 non è indipendente né da X1 , né da X2 , né da
X3 .
Esercizio 2.19. Un vettore di lunghezza unitaria (applicato all’origine) è distribuito uniformemente nel primo quadrante del piano cartesiano. Trovare la densità della v.a. X = proiezione del vettore sull’asse delle x, e trovare E(X).
Esercizio 2.20. Siano X ed N v.a. indipendenti, con X ∼ N (0, 1) e P (N = 1) =
P (N = −1) = 21 . Si determini la distribuzione di XN .
Esercizio 2.21. Si determini la distribuzione di Z = −log|F (X) − 1|, dove X è
una v.a. che ha funzione di ripartizione F , con F continua.
Esercizio 2.22. Si determini la funzione di ripartizione della v.a.
U (−1, 1).
1
X,
dove X ∼
Esercizio 2.23. Sia X una v.a. assolutamente continua, con densità f (x) =
√
√
x3
X).
64 I[0,4] (x), x ∈ R. Si determini la densità di Z = min( X, 2 −
Esercizio 2.24. Sia X ∼ N (01). Trovare la distribuzione di X 2 .
9
Esercizio 2.25. Siano X1 , . . . , Xn v.a. i.i.d. con distribuzione exp(α). Trovare la
distribuzione di X1 + · · · + Xn .
Esercizio 2.26. Siano X1 , . . . , Xn v.a. i.i.d. con distribuzione Geom(p). Trovare
la distribuzione di X1 + · · · + Xn .
Esercizio 2.27. Sia X ∼ Gamma(a, b). Trovare la distribuzione di Y =
1
X
Esercizio 2.28. Sia X ∼ N (µ, σ 2 ). Trovare la distribuzione di Y = eX .
Esercizio 2.29. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con densità f (x, y) = e−(x+y) I{x≥0,y≥0} (x, y).
Trovare la distribuzione del vettore (X + Y, X). Trovarne inoltre le distribuzioni
marginali.
Esercizio 2.30. Siano X ed Y due v.a. i.i.d. con distribuzione exp(λ). Trovare la
X
distribuzione del vettore (U, V ) = (X + Y, ), e mostrare che U e V sono indipenY
denti.
Esercizio 2.31. Siano X1 , . . . , Xn v.a. i.i.d. con distribuzione di Cauchy standard.
n
1X
Si determini la distribuzione di
Xi .
n i=1
Esercizio 2.32. Siano X ed Y v.a. i.i.d. e tali che P (X > 0) = 1. Si determini
X
E(
).
X +Y
Esercizio 2.33. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d. con distribuzione non
degenere. Si determini P {ω : (Xn (ω)) converge}.
3. Convergenza di successioni di v.a., leggi dei grandi numeri,
teorema centrale del limite
Esercizio 3.1. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d., e sia Φ la funzione
n
1X
caratteristica di X1 . Supposto che Φ0 (0) = 0, si mostri che
Xi → 0 in proban i=1
bilità.
Esercizio 3.2. Sia data una successione (Xn ) di v.a. i.i.d. con distribuzione di
π
Cauchy standard. Posto Vn = max(X1 , . . . , Xn ), si verifichi che la successione
n
(Vn ) converge in distribuzione.
Esercizio 3.3. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d., con funzione caratteristica Φ
π
tale che Φ(t) = 1 − |t| + o(|t|) per t → 0. Si studi la convergenza in distribuzione
2
n
2 X
Xi .
di
πn i=1
Esercizio 3.4. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d., con funzione di ripartizione
n
√ 1X
I(−∞,x] (Xi ) − F (x)|,
F , e sia x ∈ R tale che 0 < F (x) < 1. Posto Zn = n |
n i=1
si dica se la successione (Zn ) converge in distribuzione, ed in caso affermativo se ne
determini il limite.
10
Esercizio 3.5. Sia (Xn ) una successione di v.a. assolutamente continue con densità
fn (x) = nxn+1 I[1,+∞) Si determini il limite in probabilità di (Xn ).
Esercizio 3.6. Siano X, X1 , X2 , . . . v.a. con funzioni di ripartizione F, F1 , F2 , . . .,
rispettivamente. Si verifichi che se Xn → X in distribuzione, e se ciascuna delle
v.a. X, X1 , X2 , . . . ha un’unica mediana, allora mediana(Xn ) → mediana(X).
Esercizio 3.7. Si supponga di effettuare replicazioni successive di un esperimento,
il cui risultato
è rappresentato da una v.a. reale, e di arrestarsi al primo istante
√
n|X n |
in cui
> 100, dove X n indica la media aritmetica dei primi n risultati
log n
sperimentali. Nell’ipotesi che tali risultati siano realizzazioni di v.a. i.i.d. con
media finita e diversa da 0, si determini la probabilità che le replicazioni abbiano
termine.
Esercizio 3.8. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d. e tali che X1 ∼ U (0, 1).
Qn
1
Posto Zn = ( i=1 Xi ) n , si dica se (Zn ) converge, ed in caso affermativo si dica in
quale senso, e si determini la distribuzione del limite.
Esercizio 3.9. Sia, per ogni n ∈ N, Xn ∼ N (0, n). Si dica se (Xn ) converge in
distribuzione, ed in caso affermativo si determini la distribuzione del limite.
Esercizio 3.10. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d. con X1 ∼ U (0, 1). Posto
Vn = n min(X1 , . . . , Xn ), si dica se (Vn ) converge in distribuzione, ed in caso affermativo se ne determini il limite.
i
1
Esercizio 3.11. Per ogni n ∈ N sia Xn una v.a. tale che P (Xn = ) =
per
n
n
i = 1, . . . , n.Si dica se (Xn ) converge in distribuzione, ed in caso affermativo se ne
determini il limite.
Esercizio 3.12. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d. con P (X1 ≥ x) = e−αx per
log n
ogni x ≥ 0 e per un fissato α ≥ 0. Si dica se la successione max(X1 , . . . , Xn ) −
α
converge in distribuzione, ed in caso affermativo se ne determini il limite.
Esercizio 3.13. Sia (Xn ) una successione
di v.a. i.i.d. con X1 ∼ U (0, 1).
Qn
(a) Si calcoli E(Vn ), dove Vn = i=1 Xi .
(b) Si verifichi che Vn → 0, q.c..
(c) Si determini la distribuzione della v.a. Y = − log X1 .
(d) Fissato x ∈ (0, 1), si determini la distribuzione della v.a. Tx = inf{n ∈ N :
Vn+1 < x}
Esercizio 3.14. Sia (Xn ) una successione
di v.a. i.i.d. con E(X1 ) = 0, E(X12 ) ∈
Pn
( i=1 Xi )2
converge in distribuzione, ed even(0, +∞). Si dica se la successione
n
tualmente se ne determini il limite.
Esercizio 3.15. Sia (Xn ) una successione di v.a.indipendenti e tali che
p
p
1
1
P (Xn = − log n) = P (Xn = log n) =
, e P (Xn = 0) = 1 − , per n = 1, 2, . . ..
2n
n
Vedere se vale la legge debole dei grandi numeri.
Esercizio 3.16. Siano Xn , Yn , X ed Y v.a.. Dimostrare che (Xn , Yn ) → (X, Y ) in
distribuzione se e solo se aXn + bYn → aX + bY in distribuzione per ogni a, b ∈ R.
11
Esercizio 3.17. Si provi che se Xn → X in distribuzione ed Yn → 0 in distribuzione, allora Xn Yn → 0 in probabilità.
Esercizio 3.18. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d., con E(X12 ) < +∞, e sia
n
n
1X
1X
Xn =
Xi . Si studi la convergenza q.c. della successione
(Xi − X n )2 .
n i=1
n i=1
Esercizio 3.19. Sia X una v.a. tale che σ 2 = V ar(X) ∈ (0, +∞). Si supponga
che, per ogni coppia X1 , X2 di v.a. i.i.d. con √
la stessa distribuzione di X, si abbia
X1 + X2 ∼ X, dove a > 0. Si mostri che a = 2 ed X ∼ N (0, σ 2 ).
Esercizio 3.20. Siano Xn , Yn , Zn ed X v.a., n = 1, 2, . . .. Dimostrare che se
Xn → X in distribuzione, Zn → 0 in distribuzione, e |Xn − Yn | ≤ Zn |Xn |. allora
Yn → X in distribuzione.
Esercizio 3.21. Si provi che se Xn → X in distribuzione, e Xn − Yn → 0 in
probabilità. allora Yn → X in distribuzione.
Esercizio 3.22. Si verifichi che se Xn → X q.c., e E|Xn − Z| → 0, allora Xn → Z
q.c..
Esercizio 3.23. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d. tali che P (Xn Q
= −1) > 0,
n
e P (Xn = 1) = 1 − P (Xn = −1) > 0, per ogni n ∈ N. Si ponga Zn = i=1 Xi , si
calcoli E(Zn ) e si dica se (Zn ) converge in distribuzione, e verso quale limite.
Esercizio 3.24. Sia (Xn ) una successione di v.a. identicamente distribuite e tali
Xn
→ 0, q.c..
che E|(X1 )| < ∞. Si verifichi che
n
Esercizio 3.25. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d. con funzione di ripartizione
F (x)
∈ (0, +∞). Posto Yn = n min(X1 , . . . , Xn ), si
F tale che F (0) = 0, e lim
x→0
x
studi la convergenza in distribuzione della successione (Yn ).
Esercizio 3.26. Sia (Xn ) una successione di v.a. i.i.d. con distribuzione di Cauchy
1
standard. Posto Yn = Xn se |Xn | ≤ , Yn = 0 altrimenti, stabilire se si può
n
Y1 + · · · + Yn
→ N (0, 1) in
trovare una successione bn , con bn → +∞, in modo che
bn
distribuzione.
Esercizio 3.27. Sia (Xn ) una successione di v.a.
indipendenti, tali che
1
1
, P (Xn = 0) = 1 − . Si studi la convergenza in
P (Xn = −1) = P (Xn = 1) =
2n
n
Pn
2
( i=1 Xi )
distribuzione di Pn 1 .
i=1 i
Esercizio 3.28. Sia (Xn ) una successione di v.a. indipendenti, uniformi su (−n, n).
n
X
n(n + 1)(2n + 1)
Ricordando che
i2 =
, si studi la convergenza in distribuzione
6
i=1
Pn
i=1 Xi
di √
.
n3
12
Esercizio 3.29. Sia (Xn ) una successione di v.a. indipendenti, e tali che E(Xn ) =
0 per ogni n, sup E|Xn |3 < ∞, V ar(Xn ) → σ 2 > 0. Si studi la convergenza in
n
1 X
distribuzione della successione Yn = (
Xn+k )2 .
n i=1
Esercizio 3.30. Sia (Xn ) una successione di v.a. indipendenti, e tali che per ogni
1 − 2−n
, e P (Xn = 2j ) = 2−j per
n = 1, 2, . . . si ha P (Xn = 1) = P (Xn = −1) =
2
Pn
i=1 Xi
√
1 ≤ j ≤ n. Dimostrare che
→ N (0, 1) in distribuzione.
n
Esercizio 3.31. Sia (Xn ) una successione di v.a. indipendenti, e tali che per
√
√
1
,
ogni n = 1, 2, . . . si ha P (Xn = n + 1) = P (Xn = − n − 1) = √
2(
n
+ 1)2
Pn
1
i=1 Xi
√
. Stabilire se
→ N (0, 1) in distribuzione.
P (Xn = 0) = 1 − √
( n + 1)2
n
4. Distribuzioni condizionali
Esercizio 4.1. Siano X ed Y v.a. indipendenti, e tali che X ∼ U (0, 1), Y ∼
N (0, 2). Si trovi la funzione caratteristica di XY , e se ne calcoli la derivata seconda
nel punto 0.
1
Esercizio 4.2. Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con densità f (x, y) = I{0<y<x<1} (x, y).
x
Si determini la distribuzione condizionale di Y , data X.
Esercizio 4.3. Siano X ed Y v.a. con densità congiunta f (x, y) = λ2 e−λy I{0≤x≤y} (x, y),
con λ > 0. Trovare il valor medio condizionato E(Y |X = x).
Esercizio 4.4. Date tre v.a. X, Y , e Z, tali che X, Y e XY sono integrabili,
E(X) = 0, ed X è indipendente da (Y, Z), si dimostri che E(XY |Z = z) = 0, q.c..
Esercizio 4.5. Siano X ed Y v.a. indipendenti, con Y ∼ N (1, 2). Si determini
E(eXY |X = x).
Esercizio 4.6. Siano X ed Y v.a. i.i.d. con distribuzione Binomiale(n, p). Si
determini la distribuzione condizionale di X, dato che X + Y = k.
Esercizio 4.7. Tre persone, A, B, e C, entrano contemporaneamente in un ufficio
postale che ha due sportelli. I due sportelli vengono occupati da A e B, mentre C
si mette in coda. Appena uno sportello si libera, subentra C. Detti X, Y , e Z i
tempi di servizio di A, B, e C, rispettivamente, si supponga che X, Y , e Z siano
v.a. i.i.d. con distribuzione exp(α). Si trovi la probabilità che C non sia l’ultimo a
lasciare l’ufficio postale.
1
2
Esercizio 4.8. Sia X una v.a. tale che P (X = 0) = e P (X = 1) = . Sia Y una
3
3
v.a. la cui distribuzione dipende dal valore assunto da X, e tale che ha distribuzione
N (0, 1) quando X = 0, mentre ha distribuzione uniforme in [−1, 1] quando X = 1.
1 1
Si determini P (X = 0|Y ∈ [− , ]).
2 2
13
Esercizio 4.9. Siano X1 , . . . , Xk v.a. indipendenti, con Xj ∼ P oisson(αj ) per
j = 1, . . . , k. Si determini la distribuzione condizionale di (X1 , . . . , Xk ), subordik
X
natamente a S =
Xi = n.
i=1
Esercizio 4.10. Siano X ed Y v.a. i.i.d. con distribuzione uniforme in [0, 1]. Si
1
1
calcoli P (XY < |X > ).
4
2
Esercizio 4.11. Siano Z0 , Z1 , e Z2 v.a. i.i.d., e si ponga X = Z0 +Z1 , Y = Z0 +Z2 .
Dimostrare che (X, Y ) ∼ (Y, X).
Esercizio 4.12. Si supponga che, subordinatamente ad Y = y, con y ∈ (0, 1),
la distribuzione condizionale di X sia Binomiale(n, y). Se Y ∼ Beta(a, b), si
determini la distribuzione condizionale di Y subordinata a X = x.
5. Esercizi vari
Esercizio 5.1. Sia X una v.a. tale che P (X > 0) = 1 e E(
1
1
)=
. Si
X
E(X)
determini la distribuzione di X.
Esercizio 5.2. Sia (Xn ) una successione di v.a. non negative, i.i.d. con media
µ > 0. Posto Mn = sup(n : X1 + · · · + Xn ≤ t), dimostrare che
(a) Mn → +∞ per t → +∞, q.c..
Mt
1 X
(b)
Xi → µ. q.c..
Mt i=1
Esercizio 5.3. Siano X ed Y due v.a.
ripartizione continua. Trovare P (X = Y ).
indipendenti, la Y con funzione di
Esercizio 5.4. Siano X1 , . . . , Xn v.a. i.i.d. con funzione di ripartizione continua.
Trovare P (min(X1 , . . . .Xn ) = X1 ).
Esercizio 5.5. Sia (Xn ), n = 0, 1, . . . una successione di v.a. i.i.d. con funzione di
ripartizione continua. Trovare, per ogni n ≥ 1, P (X0 < X1 , . . . , X0 < Xn )
Esercizio 5.6. Siano X ed Y due v.a. i.i.d., con E(X) finita. Dimostrare che
X
X +Y
E(
)=
, q.c..
X +Y
2
Esercizio 5.7. Sia (Ω, A, P ) uno spazio di probabilità, e sia X : Ω → R una
v.a. con distribuzione
Z N (0, 1). Dato c ∈ R, si definisca la probabilità Q nel modo
ecX(ω)−
seguente: Q(A) =
c2
2
P (dω) per ogni A ∈ A. Si calcoli Q(X ≤ c).
A
6. Testi da cui sono stati presi alcuni dei precedenti esercizi
Baldi P., Giuliano R., Ladelli L. (1995), Laboratorio di Statistica e Probabilità,
problemi svolti, Mc-Graw Hill
Breiman, L.,
Billingsley P.
Durrett R,
Feller, W., An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol. I,
Wiley
14
Grimmett
Hoffmann Jørgensen
Letta G.
Parzen (1992), Modern Probability Theory and its Applications, Wiley
Resnick, S.I. (1999), A Probability Path, Birkhauser
Resnick, S.I. (1992), Adventures in Stochastic Processes, Birkhauser
Shiryaev A.N. (1995) Probability, Springer