Limiti notevoli ed ordini di infinitesimo-infinito

Liceo Scientifico Statale "G. Peano" – Cuneo
Classe 5ª
GfO
Matematica
Limiti notevoli ed ordini di infinitesimo-infinito
Trigonometrici
1  cosx 
0
x0
x
sin x
1
x 0
x
lim
lim
x0
1  cosx  1

x0
x2
2
lim
tan x
1
x
lim
x0
lim
arcsin x
1
x
lim
x0
arctan x
1
x
Esponenziali e logaritmici
lim a x  0
x
lim a x  
x
se a>1
lim a x  
x
lim a x  0
x
se a>1
lim log a x  
x0
lim log a x  
x
x0
se a>1
x
ex 1
1
x0
x
lim
lim
x0
se 0<a<1
lim log a x  
x
ln 1  x 
1
x0
x
se 0<a<1
lim log a x  
se a>1
 1
lim 1    e
x
 x
lim
se 0<a<1
se 0<a<1
lim 1  x 
1x
x0
e
log a 1  x 
1

 log a e
x0
x
ln a
lim
lim
x0
ax 1
 ln a
x
1  x n  1  1
nx
Ordini di infinitesimo
Quando x→0 gli infinitesimi sono ordinabili nel modo seguente:
infinitesimi di ordine minore →→→→→→→→→→→→→→→→→→ infinitesimi di ordine maggiore
xn con 0<n<1 « … « x1/3 « x1/2 « x « x² « x³ « … « xn con n>1
In presenza di una somma algebrica di più infinitesimi possono essere trascurati tutti quelli di ordine superiore
all’ordine minimo fra quelli presenti.
Sotto l’ipotesi x→0 è possibile sostituire un infinitesimo con un altro equivalente:
sin x ≈ tan x ≈ arcsin x ≈ arctan x ≈ ex – 1 ≈ ln (1 + x) ≈ x
1 – cos x ≈ ½ x²
Ordini di infinito
Quando x→+∞ gli infiniti sono ordinabili nel modo seguente:
infiniti di ordine minore →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ infiniti di ordine maggiore
loga x con a>1 « xn con 0<n<1 « … « x1/2 « x « x² « … « xn con n>1 « ax con a>1 « bx con b>a>1
In presenza di una somma algebrica di più infiniti possono essere trascurati tutti quelli di ordine inferiore
all’ordine massimo fra quelli presenti.