Linearizzazione di sistemi dinamici

Equilibrio e stabilità di sistemi dinamici
Linearizzazione di sistemi dinamici
Linearizzazione di sistemi dinamici
Linearizzazione di una funzione reale
Linearizzazione di un sistema dinamico
Esempi di linearizzazione di sistemi dinamici
2
Linearizzazione di sistemi dinamici
Linearizzazione di una funzione reale
Linearizzazione di una funzione reale (1/2)
Una funzione f (x ) : → può essere sviluppata in
serie di Taylor in un intorno di ampiezza δx = x − x0
di un qualsiasi valore x0 della variabile reale x come:
f (x ) = f (x 0 +δ x ) =
df (x )
1 d 2f (x )
2
= f (x 0) +
+…
δx +
δ
x
2
dx x = x
2! dx
x =x
0
0
La funzione f (x ) può essere approssimata in tale
intorno mediante il troncamento h (x ) dello sviluppo
in serie di Taylor arrestato al termine di 1o grado:
df (x )
f (x ) = f (x 0 +δ x ) ≅ f (x 0) +
δ x = h (x )
dx x = x
0
4
Linearizzazione di una funzione reale (2/2)
4
3.5
h (x )
f (x )
3
2.5
f (x0 ) = 2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
x0 = 1
2
3
4
L’approssimazione h (x ) è tanto migliore quanto più
piccolo è l’intorno δx del punto di linearizzazione x0
5
Linearizzazione di sistemi dinamici
Linearizzazione di un sistema dinamico
Linearizzazione di un sistema dinamico
I sistemi dinamici reali non sono mai perfettamente
lineari, ma possono essere approssimati nell’intorno
di ogni prefissato movimento (quale, ad esempio,
un punto di equilibrio) mediante opportuni modelli
lineari, detti modelli linearizzati
Per l’analisi ed il controllo di sistemi dinamici lineari
si hanno a disposizione metodologie più semplici,
potenti e numerose rispetto al caso non lineare
Obiettivo: costruire un modello dinamico lineare
che approssimi bene il comportamento del sistema
dinamico non lineare nell’intorno di un prefissato
movimento “nominale”
7
Movimento nominale di un sistema dinamico
Dato un sistema dinamico, a dimensione finita,
MIMO, a tempo continuo, non lineare, stazionario
x (t ) = f ( x (t ),u (t ))
y (t ) = g ( x (t ),u (t ))
se ne considerino due diverse evoluzioni temporali:
Un movimento “nominale” x (t ) ottenuto applicando
un ingresso “nominale” u (t ) al sistema posto in uno
stato iniziale “nominale” x 0 , cui corrisponde una
uscita “nominale” y (t ) ⇒
x (t ) e y (t ) soddisfano il seguente sistema di equazioni
x (t ) = f ( x (t ),u (t )) , x (t = 0) = x 0
y (t ) = g ( x (t ),u (t ))
8
Movimento perturbato di un sistema dinamico
Dato un sistema dinamico, a dimensione finita,
MIMO, a tempo continuo, non lineare, stazionario
x (t ) = f ( x (t ),u (t ))
y (t ) = g ( x (t ),u (t ))
se ne considerino due diverse evoluzioni temporali:
Un movimento “perturbato” x (t ) ottenuto applicando
un ingresso differente (“perturbato”) u (t ) al sistema
posto in uno stato iniziale differente (“perturbato”) x 0 ,
cui corrisponde una uscita “perturbata” y (t ) ⇒
x (t ) e y (t ) soddisfano il seguente sistema di equazioni
x (t ) = f ( x (t ),u (t )) , x (t = 0) = x 0
y (t ) = g ( x (t ),u (t ))
9
Perturbazioni di un sistema dinamico
Le differenze fra le due diverse evoluzioni temporali
rappresentano le perturbazioni del sistema:
δ x (t ) = x (t ) − x (t ) = perturbazione sullo stato ∈ n
⇒ x (t ) = x (t ) + δ x (t )
δu (t ) = u (t ) − u (t ) = perturbazione sull'ingresso ∈ p
⇒ u (t ) = u (t ) + δu (t )
δ y (t ) = y (t ) − y (t ) = perturbazione sull'uscita ∈ q
⇒ y (t ) = y (t ) + δ y (t )
L’evoluzione temporale della perturbazione sullo
stato δx (t ) è soluzione dell’equazione differenziale
d (δ x (t )) d ( x (t ) − x (t ))
δ x (t ) =
=
= x (t ) − x (t )
dt
dt
10
Calcolo delle perturbazioni del sistema (1/3)
L’evoluzione temporale della perturbazione sullo
stato δx (t ) è soluzione dell’equazione differenziale
δ x (t ) = x (t ) − x (t ) = f ( x (t ),u (t )) − f ( x (t ),u (t ))
La funzione f (x (t ),u (t )) può essere sviluppata in
serie di Taylor in un intorno di x (t ) e u (t ) come
f ( x (t ),u(t )) = f ( x (t ) + δ x (t ),u(t ) + δu(t )) =
∂f (x ,u )
∂f (x ,u )
= f ( x (t ),u(t )) +
δ x (t ) +
δu(t ) +…
x =x
∂x
∂u x =x
u =u
u =u
e può essere approssimata mediante il troncamento
di tale sviluppo in serie arrestato al termine lineare:
∂f (x ,u)
∂f (x ,u)
f (x (t ),u(t )) ≅ f (x (t ),u (t )) +
δ x (t ) +
δu(t )
∂x x =x
∂u x =x
u =u
u =u
11
Calcolo delle perturbazioni del sistema (2/3)
Quindi δx (t ) è soluzione dell’equazione differenziale
δ x (t ) = f ( x (t ),u (t )) − f ( x (t ),u (t )) ≅
∂f (x ,u)
∂f (x ,u)
≅
δ x (t ) +
δu (t ) =
∂x x =x
∂u x =x
u =u
= A(t ) δ x (t ) + B (t ) δu (t )
A(t ) =
B (t ) =
∂f (x ,u)
∂x
∂f (x ,u)
∂u
⎡∂f1
=⎢
x =x
⎣∂fn
u =u ⎢
∂x 1 … ∂f1 ∂x n ⎤
⎡∂f1
=⎢
x =x
⎣∂fn
u =u ⎢
∂u1 … ∂f1 ∂u p ⎤
∂x 1
∂u1
∂fn
∂fn
u =u
∈
n ×n
Jacobiano di f
:
rispetto ad x
⎥ ∈
∂u p ⎥ x =x
⎦ u =u
n ×p
Jacobiano di f
:
rispetto ad u
⎥
∂x n ⎥
⎦ ux ==ux
12
Calcolo delle perturbazioni del sistema (3/3)
Procedendo in maniera analoga con δy (t ), si ricava:
δ y (t ) = y (t ) − y (t ) = g ( x (t ),u (t )) − g ( x (t ),u (t )) ≅
∂g (x ,u)
∂g (x ,u)
δ x (t ) +
δu (t ) =
≅
∂x x =x
∂u x =x
u =u
u =u
= C (t ) δ x (t ) + D (t ) δu (t )
⎡∂g1
=⎢
x =x
⎣∂gq
u =u ⎢
∂x 1 … ∂g1 ∂x n ⎤
∂g1
⎡
∂g(x ,u)
D (t ) =
=⎢
∂u x =x ⎢∂g
u =u ⎣ q
∂u1 … ∂g1 ∂u p ⎤
C (t ) =
∂g(x ,u)
∂x
∂x 1
∂u1
∂gq
∂gq
∈
q ×n
Jacobiano di g
:
rispetto ad x
⎥ ∈
∂u p ⎥ x =x
⎦ u =u
q ×p
: Jacobiano di g
rispetto ad u
⎥
∂x n ⎥
⎦ ux ==ux
13
Sistema dinamico linearizzato TC
Quindi l’evoluzione temporale del sistema dinamico
x (t ) = f ( x (t ),u (t ))
y (t ) = g ( x (t ),u (t ))
nell’intorno del movimento “nominale” (x (t ),u (t ), y (t ))
può essere espressa in forma approssimata come
x (t ) = x (t ) + δ x (t ), u (t ) = u (t ) + δu (t ), y (t ) = y (t ) + δy (t )
in funzione delle perturbazioni δ x (t ) e δy (t ) che sono
le soluzioni del sistema dinamico linearizzato
δ x (t ) = A(t ) δ x (t ) + B (t ) δu (t ), δ x (t = 0) = x (t = 0) − x 0
δ y (t ) = C (t ) δ x (t ) + D (t ) δu (t )
A (t ) =
∂f (x ,u )
∂x
x =x
u =u
, B (t ) =
∂f (x ,u )
∂u
x =x
u =u
, C (t ) =
∂g (x ,u )
∂x
x =x
u =u
, D (t ) =
∂g (x ,u )
∂u
x =x
u =u
14
Sistema dinamico linearizzato TD
Analogamente, l’evoluzione temporale del sistema
x (k + 1) = f ( x (k ),u (k ))
y (k ) = g ( x (k ),u (k ))
nell’intorno del movimento “nominale” (x (k ),u (k ),y (k ))
può essere espressa in forma approssimata come
x (k ) = x (k ) + δ x (k ), u (k ) =u (k ) + δu (k ), y (k ) = y (k ) + δy (k )
in funzione delle perturbazioni δ x (k ) e δy (k ) che sono
le soluzioni del sistema dinamico linearizzato
δ x (k + 1) = A(k ) δ x (k )+B (k ) δu (k ), δ x (k = 0) = x (k = 0) − x 0
δ y (k ) =C (k ) δ x (k )+D (k ) δu (k )
A (k ) =
∂f (x ,u )
∂x
x =x
u =u
, B (k ) =
∂f (x ,u )
∂u
x =x
u =u
,C (k ) =
∂g (x ,u )
∂x
x =x
u =u
, D (k ) =
∂g (x ,u )
∂u
x =x
u =u
15
Linearizzazione nell’intorno dell’equilibrio
In generale, il sistema dinamico linearizzato può
risultare variante nel tempo, anche se il sistema
dinamico non lineare da approssimare è stazionario
Se però il movimento “nominale” considerato è un
punto di equilibrio (x ,u ) , allora le matrici A, B, C e D
del sistema dinamico linearizzato risultano costanti
e quindi il sistema dinamico linearizzato è LTI:
δ x (t ) = A δ x (t ) + B δu (t )
δ x (k + 1) = A δ x (k ) + B δu (k )
δ y (t ) = C δ x (t ) + D δu (t )
δ y (k ) = C δ x (k ) + D δu (k )
Quale che sia il movimento “nominale” considerato,
la validità dell’approssimazione mediante il sistema
linearizzato è tanto maggiore quanto minori sono le
perturbazioni rispetto a tale movimento “nominale”
16
Linearizzazione di sistemi dinamici
Esempi di linearizzazione
di sistemi dinamici
Esempio #1 di linearizzazione (1/4)
Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da
i
= f1(x ,u )
⎧⎪x1 = x 2
0
⎨
2 x 2 = f (x ,u )
x
=
−
g
k
M
u
(
)
i
2
⎪⎩ 2
1
f
M
= g (x ,u )
y = x1
p
Mg
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ ⎡ ki ⎤
⎞
nell’intorno del punto di equilibrio ⎜x = ⎢ Mg u ⎥ ,u ≠ 0⎟
⎜ ⎢ 0 ⎥
⎟
⎦
⎝ ⎣
⎠
Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono:
⎡ ∂f1 ∂f1 ⎤
0
1⎤ ⎡ 0
1 ⎤
⎡
∂f (x ,u)
∂
x
∂
x
A=
= ⎢∂f 1 ∂f 2 ⎥
= ⎢2ki u 2 ⎥ = ⎢2g Mg
⎥
0⎥
2
2⎥
0
x =x
∂x
⎢
3
⎢
⎢
⎥⎦
u =u
⎣∂x1 ∂x 2 ⎦ ux ==ux ⎣ M x1 ⎦ ⎣ u ki
18
Esempio #1 di linearizzazione (2/4)
Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da
i
= f1(x ,u )
⎧⎪x1 = x 2
0
⎨
2 x 2 = f (x ,u )
x
=
−
g
k
M
u
(
)
i
2
⎪⎩ 2
1
f
M
= g (x ,u )
y = x1
p
Mg
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ ⎡ ki ⎤
⎞
nell’intorno del punto di equilibrio ⎜x = ⎢ Mg u ⎥ ,u ≠ 0⎟
⎜ ⎢ 0 ⎥
⎟
⎦
⎝ ⎣
⎠
Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono:
∂f1 ⎤
⎡
⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤
∂f (x ,u )
B =
= ⎢∂∂fu ⎥
= ⎢ 2k i u ⎥ = ⎢ 2 g ⎥
−
2
−
x =x
∂u
2⎥
⎢
⎥
⎢
⎣
u ⎦
u =u
⎣ ∂u ⎦ ux ==ux ⎣ M x 1 ⎦
19
Esempio #1 di linearizzazione (3/4)
Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da
i
= f1(x ,u )
⎧⎪x1 = x 2
0
⎨
2 x 2 = f (x ,u )
x
=
−
g
k
M
u
(
)
i
2
⎪⎩ 2
1
f
M
= g (x ,u )
y = x1
p
Mg
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ ⎡ ki ⎤
⎞
nell’intorno del punto di equilibrio ⎜x = ⎢ Mg u ⎥ ,u ≠ 0⎟
⎜ ⎢ 0 ⎥
⎟
⎦
⎝ ⎣
⎠
Nell’equazione δ y (t ) = C δ x (t ) + D δu (t ) compaiono:
∂g (x ,u )
C =
= ⎡ ∂g ∂g ⎤
= [1 0 ]
x
=
x
⎣∂x 1 ∂x 2 ⎦ u =u
x =x
∂x
u =u
20
Esempio #1 di linearizzazione (4/4)
Dato il sistema (levitatore magnetico) descritto da
i
= f1(x ,u )
⎧⎪x1 = x 2
0
⎨
2 x 2 = f (x ,u )
x
=
−
g
k
M
u
(
)
i
2
⎪⎩ 2
1
f
M
= g (x ,u )
y = x1
p
Mg
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ ⎡ ki ⎤
⎞
nell’intorno del punto di equilibrio ⎜x = ⎢ Mg u ⎥ ,u ≠ 0⎟
⎜ ⎢ 0 ⎥
⎟
⎦
⎝ ⎣
⎠
Nell’equazione δ y (t ) = C δ x (t ) + D δu (t ) compaiono:
D =
∂g (x ,u )
∂u
x =x
u =u
= ⎡⎣∂g ⎤⎦
∂u
x =x
u =u
= [0]
21
Esempio #2 di linearizzazione (1/6)
Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da
= f1(x ,u )
⎧x1 = x 2
M Fo (t )
⎪
θ
⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u )
g
2
1
l
2
⎪⎩ 2
Ml
l
Ml
y = x1
= g (x ,u ) β
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ ⎡k π⎤
⎞
nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟
⎝ ⎣0⎦
⎠
Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono:
0
1 ⎤
⎡ ∂f1 ∂f1 ⎤
⎡
∂f (x ,u)
∂x1 ∂x 2 ⎥
⎢
u sinx 1
A=
= ∂f ∂f
= ⎢g
β ⎥
2⎥
− 2⎥
cos x 1−
x =x ⎢ 2
∂x
⎢
u =u ⎣∂x ∂x ⎦ x =x ⎣ l
Ml
Ml ⎦
1
2
u =u
22
Esempio #2 di linearizzazione (2/6)
Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da
= f1(x ,u )
⎧x1 = x 2
M Fo (t )
⎪
θ
⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u )
g
2
1
l
2
⎪⎩ 2
Ml
l
Ml
y = x1
= g (x ,u ) β
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ ⎡k π⎤
⎞
nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟
⎝ ⎣0⎦
⎠
Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono:
1 ⎤
1 ⎤
⎡ 0
⎡0
k pari ⇒ A = ⎢ g
β ⎥ , k dispari ⇒ A = ⎢ g
β ⎥
⎢+ l − Ml 2 ⎥
⎢− l − Ml 2 ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
23
Esempio #2 di linearizzazione (3/6)
Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da
= f1(x ,u )
⎧x1 = x 2
M Fo (t )
⎪
θ
⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u )
g
2
1
l
2
⎪⎩ 2
Ml
l
Ml
y = x1
= g (x ,u ) β
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ ⎡k π⎤
⎞
nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟
⎝ ⎣0⎦
⎠
Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono:
∂f1 ⎤
⎡ 0 ⎤
⎡
∂f (x ,u)
B=
= ⎢∂∂fu ⎥
= ⎢cos x 1 ⎥
∂u x =x ⎢ 2 ⎥
⎢
⎥
u =u ⎣∂u ⎦ x =x ⎣ Ml ⎦
u =u
24
Esempio #2 di linearizzazione (4/6)
Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da
= f1(x ,u )
⎧x1 = x 2
M Fo (t )
⎪
θ
⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u )
g
2
1
l
2
⎪⎩ 2
Ml
l
Ml
y = x1
= g (x ,u ) β
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ ⎡k π⎤
⎞
nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟
⎝ ⎣0⎦
⎠
Nell’equazione δ x (t ) = Aδ x (t ) + B δu (t ) compaiono:
⎡ 0 ⎤
⎡ 0 ⎤
k pari ⇒ B = ⎢ 1 ⎥ , k dispari ⇒ B = ⎢ 1 ⎥
⎢⎣+ Ml ⎥⎦
⎢⎣− Ml ⎥⎦
25
Esempio #2 di linearizzazione (5/6)
Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da
= f1(x ,u )
⎧x1 = x 2
M Fo (t )
⎪
θ
⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u )
g
2
1
l
2
⎪⎩ 2
Ml
l
Ml
y = x1
= g (x ,u ) β
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ ⎡k π⎤
⎞
nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟
⎝ ⎣0⎦
⎠
Nell’equazione δ y (t ) = C δ x (t ) + D δu (t ) compaiono:
∂g (x ,u )
C =
= ⎡ ∂g ∂g ⎤
= [1 0 ]
x
=
x
⎣∂x 1 ∂x 2 ⎦ u =u
x =x
∂x
u =u
26
Esempio #2 di linearizzazione (6/6)
Dato il sistema (pendolo inverso) descritto da
= f1(x ,u )
⎧x1 = x 2
M Fo (t )
⎪
θ
⎨x = u cos x1 + g sin x − βx 2 = f (x ,u )
g
2
1
l
2
⎪⎩ 2
Ml
l
Ml
y = x1
= g (x ,u ) β
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ ⎡k π⎤
⎞
nell’intorno dei punti di equilibrio ⎜x = ⎢ ⎥ ,u = 0⎟
⎝ ⎣0⎦
⎠
Nell’equazione δ y (t ) = C δ x (t ) + D δu (t ) compaiono:
D =
∂g (x ,u )
∂u
x =x
u =u
= ⎡⎣∂g ⎤⎦
∂u
x =x
u =u
= [0]
27
Esempio #3 di linearizzazione (1/6)
Dato il sistema descritto dal seguente modello
⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u )
⎨
2
x
(
k
1)
x
(
k
)
u
(
k
)
3
x
(k ) = f 2 (x ,u )
+
=
−
+
⎪⎩ 2
2
2
y (k ) = x1(k )x 2 (k )
= g (x ,u )
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ (a ) ⎡0⎤
⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤
⎞
in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈
⎣0⎦
⎣0.5⎦
⎝
⎠ ⎝
⎠
Nell’equazione δ x (k + 1) = Aδ x (k ) + B δu (k ) ,
⎡ ∂f1 ∂f1 ⎤
∂f (x ,u)
u +x 2
x1 ⎤
∂x1 ∂x 2 ⎥
⎡
⎢
A=
= ∂f ∂f
=
⎢⎣ 0 −u +6x 2 ⎥⎦
2⎥
x =x ⎢ 2
∂x
u =u ⎣ ∂x ∂x ⎦ x =x
1
2
u =u
28
Esempio #3 di linearizzazione (2/6)
Dato il sistema descritto dal seguente modello
⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u )
⎨
2
x
(
k
1)
x
(
k
)
u
(
k
)
3
x
(k ) = f 2 (x ,u )
+
=
−
+
⎪⎩ 2
2
2
= g (x ,u )
y (k ) = x1(k )x 2 (k )
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ (a ) ⎡0⎤
⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤
⎞
in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈
⎣0⎦
⎣0.5⎦
⎝
⎠ ⎝
⎠
Nell’equazione δ x (k + 1) = Aδ x (k ) + B δu (k ) ,
⎧se x = x (a ) ⇒ A = A(a ) = ⎡0.5 0 ⎤
⎢⎣ 0 −0.5⎥⎦
⎪
u +x 2
x1 ⎤
⎡
A=
⇒ ⎨
⎢⎣ 0 −u +6x 2 ⎥⎦
⎪se x = x (b ) ⇒ A = A (b ) = ⎡ 1 c ⎤
⎩
⎣⎢ 0 2.5⎦⎥
29
Esempio #3 di linearizzazione (3/6)
Dato il sistema descritto dal seguente modello
⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u )
⎨
2
x
(
k
1)
x
(
k
)
u
(
k
)
3
x
(k ) = f 2 (x ,u )
+
=
−
+
⎪⎩ 2
2
2
= g (x ,u )
y (k ) = x1(k )x 2 (k )
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ (a ) ⎡0⎤
⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤
⎞
in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈
⎣0⎦
⎣0.5⎦
⎝
⎠ ⎝
⎠
Nell’equazione δ x (k + 1) = Aδ x (k ) + B δu (k ) ,
∂f1 ⎤
⎡
∂f (x ,u)
⎡ x1 ⎤
u
∂
B=
=⎢ ⎥
=⎢ ⎥
f
∂
x =x
2
∂u
−x 2 ⎦
⎣
⎢
⎥
x
=
x
u =u ⎣ ∂u ⎦
u =u
30
Esempio #3 di linearizzazione (4/6)
Dato il sistema descritto dal seguente modello
⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u )
⎨
2
x
(
k
1)
x
(
k
)
u
(
k
)
3
x
(k ) = f 2 (x ,u )
+
=
−
+
⎪⎩ 2
2
2
= g (x ,u )
y (k ) = x1(k )x 2 (k )
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ (a ) ⎡0⎤
⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤
⎞
in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈
⎣0⎦
⎣0.5⎦
⎝
⎠ ⎝
⎠
Nell’equazione δ x (k + 1) = Aδ x (k ) + B δu (k ) ,
⎧se x = x (a ) ⇒B = B (a ) = ⎡0⎤
⎢⎣0⎥⎦
⎪
⎡ x1 ⎤
B =⎢ ⎥ ⇒ ⎨
⎣−x 2 ⎦
⎪se x = x (b ) ⇒B = B (b ) = ⎡ c ⎤
⎩
⎣⎢−0.5⎦⎥
31
Esempio #3 di linearizzazione (5/6)
Dato il sistema descritto dal seguente modello
⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u )
⎨
2
x
(
k
1)
x
(
k
)
u
(
k
)
3
x
(k ) = f 2 (x ,u )
+
=
−
+
⎪⎩ 2
2
2
= g (x ,u )
y (k ) = x1(k )x 2 (k )
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ (a ) ⎡0⎤
⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤
⎞
in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈
⎣0⎦
⎣0.5⎦
⎝
⎠ ⎝
⎠
Nell’equazione δ y (k ) = C δ x (k ) + D δu (k ) ,
∂g (x ,u )
C =
= ⎡ ∂g ∂g ⎤
= [ x 2 x1 ] ⇒
⎣∂x 1 ∂x 2 ⎦ ux ==ux
x =x
∂x
se x = x
(a )
u =u
⇒C =C
(a )
= [0 0] , se x = x
(b )
⇒C =C
(b )
= [0.5 c ]
32
Esempio #3 di linearizzazione (6/6)
Dato il sistema descritto dal seguente modello
⎧⎪x1(k + 1) = x1(k )u (k ) + x1(k )x 2 (k ) = f1(x ,u )
⎨
2
x
(
k
1)
x
(
k
)
u
(
k
)
3
x
(k ) = f 2 (x ,u )
+
=
−
+
⎪⎩ 2
2
2
= g (x ,u )
y (k ) = x1(k )x 2 (k )
calcolare le matrici del sistema dinamico linearizzato
⎛ (a ) ⎡0⎤
⎞ ⎛ (b ) ⎡ c ⎤
⎞
in ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ e ⎜ x = ⎢ ⎥ ,u = 0.5⎟ , c ∈
⎣0⎦
⎣0.5⎦
⎝
⎠ ⎝
⎠
Nell’equazione δ y (k ) = C δ x (k ) + D δu (k ) ,
D =
∂g (x ,u )
∂u
x =x
u =u
= ⎡⎣∂g ⎤⎦
∂u
x =x
u =u
= [0]
33