Testo e soluzione CA1
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Testo e soluzione CA1
Controlli Automatici 1, 25/6/2010 COGNOME...............................NOME.......................Matr. a) Si consideri il sistema dinamico descritto dalle equazioni ẋ(t) = 4u(t) + x(t) sin (x(t)) y(t) = u2 (t) − 2x(t) dove tutte le variabili sono scalari. a.1) Dopo aver spiegato cosa si intende in generale per variabile di stato, dire se per il sistema in esame è lecito considerare x come variabile di stato. R: Sı̀ è lecito. Per la definizione, si veda il libro di testo al Capitolo 2. a.2) Determinare tutti gli stati e le uscite di equilibrio corrispondenti ad un ingresso u nullo. R: Dall’equazione di stato si vede che i punti equilibrio sono la soluzione di x sin(x) = 0 ovvero tutti i punti x̄ = kπ, con k intero. a.3) Scrivere le equazioni del sistema linearizzato nell’intorno del generico stato di equilibrio. R: ż(t) = (sin(x̄) + x̄ cos(x̄))z(t) + 4v(t) q(t) = −2z(t) + (2ū)v(t) Sostituendo i valori delle coppie stato-ingresso di equilibrio trovati si ha ż(t) = (kπ(−1)k )z(t) + 4v(t) q(t) = −2z(t) a.4) Spiegando chiaramente il significato di tutti i simboli che compaiono nelle equazioni del sistema linearizzato, discutere i limiti di validità di questo modello approssimato. R: I valori x̄ e ū rappresentano le coppie di equilibrio, le variabili z(t) e v(t) rappresentano lo scostamento delle variabili x(t) e u(t) dai rispettivi valori di equilibrio e il modello riuslta valido per valori sufficientemente piccoli di v(t) e x(t). Si veda il libro di testo al paragrafo Linearizzazione e stabilità dell’equilibrio di sistemi non lineari. a.5) Studiare, quando possibile, la stabilità di tutti gli stati di equilibrio ricavati al punto a.2. R: È possibili valutare la stabilità del sistema nonlineare a partire dalla sua linearizzazione solo se tutti gli autovalori sono a parte reale negativa o se almeno un autovalore ha parte reale positiva. Nel caso in esame, dato che il sistema è scalare, l’autovalore del sistema linearizzato nei diversi punti di equilibrio è λ = kπ(−1)k e dunque • Per k = 0 non si può dire nulla riguardo al punto di equilbrio x̄ = 0; • Per k pari il punto di equilibrio corrispondente è instabile/as. stabile per k positivo/negativo; 1 • Per k dispari il punto di equilibrio corrispondente è asintoticamente stabile/instabile per k positivo/negativo. a.6) Si dica, giustificando, se qualcuna delle linearizzazioni trovate al punto a.3 può presentare modi oscillanti. R: No in quanto il sistema linearizzato è sempre del primo ordine mentre la presenza di modi oscillanti richiede almeno due autovalori complessi coniugati. b) Si consideri la funzione di trasferimento G(s) = 5 (s + 2)(s + 3) b.1). Si trovi l’espressione analitica della risposta forzata in risposta all’ingresso u(t) = δ−1 (t) R: 51 5 1 5 1 5 = − + Y (s) = s(s + 2)(s + 3) 6s 2s+2 3s+3 Antitrasformando si ottiene 5 5 5 y(t) = δ−1 (t) − e−2t + e−3t 6 2 3 b.2) Si trovi l’espressione analitica della risposta a regime corrispondente all’ingresso u(t) = 2 sin(10t + π4 ). R: Dato che il sistema è aasintoticamente stabile, la risposta a regime vale y(t) = 2|G(j10)| sin(10t + π + 6 G(j10) 4 con |G(j10)| = √ 5 √ = 0.0470 4 + 100 9 + 100 e 6 G(j10 = −atan( (2|G(j10)| = 0.0939) 10 10 ) − atan( ) = −2.65 rad = −152o 2 3 c) Si consideri un corpo puntiforme di massa m collegato al soffitto mediante una molla con costante elastica k > 0 e soggetto a una forza esterna agente F che si somma alla forza peso e alla forza di attrito Fattr linearmente proporzionale alla velocità secondo il coefficiente di attrito b > 0. c.1) Si ricavi il modello in forma di stato assumendo come ingresso la forza agente e come uscita la posizione della massa. R: Posti x1 e x2 la posizione (con verso dall’alto al basso) e la velocità del corpo, il modello in forma di stato è ẋ1 ẋ2 y = x2 k x1 − = −m = x1 2 b m x2 +g+ 1 mF c.2) Si calcoli il punto di equilibrio per F = 0 e si determini (eventualmente in forma implicita) il campo di valori dei parametri del problema per cui il sistema esibisce modi oscillanti. R: Per F = 0 il punto di equilibrio è x̄2 = 0, x̄1 = mg k Affinche il sistema in esame esibisca modi oscillanti gli autovalori della matrice di stato devono essere complessi coniugati. Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico φA (λ) = λ2 + k b λ+ m m il cui determinante vale ∆= b2 k −4 2 m m e risulta negativo quando b2 < 4km 3