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www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 2016 - QUESITI Q1 Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y=3 della regione di piano delimitata dalla curva di equazione π¦ = π₯ 3 β π₯ + 3 e dalla retta stessa. Studiamo sommariamente la curva di equazione π¦ = π₯ 3 β π₯ + 3 , definita e continua su tutto R. Essa interseca lβasse delle ordinate in y=3. Tende a ±β se x tende a ±β; la sua derivata prima è: π¦ β² = 3π₯ 2 β 1 β₯ 0 π π: π₯2 β₯ 1 3 quindi per π₯ β€ β β3 3 β3 ππ π₯ β₯ β3 3 : in tali intervalli la funzione è crescente; quindi π₯ = β β3 3 è punto di massimo relativo e π₯ = punto di minimo relativo. 3 β²β² La derivata seconda è: π¦ = 6π₯ β₯ 0 π π π₯ β₯ 0 βΆ x=0 è punto di flesso e, trattandosi di una cubica, il punto F=(0;3) è centro di simmetria per la curva stessa. Notiamo che la retta e la curva dati si intersecano quando π₯ 3 β π₯ = 0 , ππ’ππππ πππ π₯ = 0 π πππ π₯ = ±1 . Il suo grafico qualitativo, insieme alla retta di equazione π¦ = 3 è il seguente: Per trovare il volume richiesto conviene effettuare la traslazione che porta la retta y=3 a coincidere con lβasse x; tale traslazione ha vettore v=(0;-3) ed equazioni: { π=π₯ βΉ π =π¦β3 π₯=π { π¦=π+3 La retta di equazione π¦ = 3 diventa π = 0 e la funzione di equazione π¦ = π₯ 3 β π₯ + 3 diventa: π + 3 = π 3 β π + 3 ππ ππ’π π = π 3 β π = π(π) Simulazione 29-04-2016 Questionario 1/ 9 www.matefilia.it In base alla simmetria ricordata prima e alle intersezioni tra le due curve, il volume richiesto è dato da: 1 1 1 π = 2 (π β« π 2 (π)ππ) = 2π β« (π 3 β π)2 ππ = 2π β« (π 6 β 2π 4 + π 2 ) ππ = 0 0 0 1 = 2π β [ π₯7 2 5 1 3 1 2 1 8 16π 3 β π₯ + π₯ ] = 2π β [ β + ] = 2π β ( )= π’ 7 5 3 7 5 3 105 105 0 β 0.479 π’3 β π N.B Il quesito è βquasiβ uguale ad uno proposto nella prova per le Americhe del 2015 (la cubica di partenza ha equazione π¦ = π₯ 3 β 3π₯ + 3 ). Q2 Verificare che la funzione: π(π₯) = 1 1 3π₯ +1 ha una discontinuità di prima specie (βa saltoβ), mentre la funzione: π(π₯) = π₯ 1 3π₯ +1 ha una discontinuità di terza specie (βeliminabileβ). La funzione π(π₯) = 1 1 3π₯ +1 è discontinua per x=0 (dove non è definita); calcoliamo il limite destro ed il limite sinistro per x che tende a zero: limπ₯β0β 1 1 3π₯ +1 = 1; limπ₯β0+ 1 1 3π₯ +1 = 0 : i limiti sono finiti e diversi, quindi in x=0 cβè una discontinuità di prima specie, con π πππ‘π = 1 β 0 = 1. La funzione π(π₯) = Simulazione 29-04-2016 Questionario π₯ 1 3π₯ +1 è discontinua per x=0 (dove non è definita); calcoliamo il limite destro ed il limite 2/ 9 www.matefilia.it sinistro per x che tende a zero: limπ₯β0β π₯ 1 3π₯ +1 = 0; limπ₯β0+ π₯ 1 3π₯ +1 = 0 : i limiti sono finiti ed uguali, quindi in x=0 cβè una discontinuità eliminabile (terza specie). Osserviamo che il βprolungamento continuoβ della funzione è: π(π₯), π β (π₯) = { 0, π π π₯ β 0 π π π₯ = 0 N.B Il quesito è stato proposto nella prova per le Americhe del 2015. Q3 Durante il picco massimo di unβepidemia di influenza il 15% della popolazione è a casa ammalato: a) qual è la probabilità che in una classe di 20 alunni ce ne siano più di due assenti per lβinfluenza? b) descrivere le operazioni da compiere per verificare che, se lβintera scuola ha 500 alunni, la probabilità che ce ne siano più di 50 influenzati è maggiore del 99%. La probabilità di ammalarsi della popolazione in esame è π = 0.15 ; la probabilità di NON ammalarsi è π = 1 β π = 1 β 0.15 = 0.85. a) Si tratta di una distribuzione binomiale e dobbiamo calcolare la probabilità che su 20 alunni ci siano un numero di alunni ammalati maggiore di due, come dire che non devono essere ammalati zero, uno o due; indicando con π(π, π) la probabilità che ci siano k successi (k alunni ammalati) su n prove (n alunni in totale), la nostra probabilità è data da: π(ππù ππ ππ’π πππππππ‘π π π’ 20) = 1 β π(0 πππππππ‘π) β π(1 πππππππ‘π) β π(2 πππππππ‘π) = 20 20 = 1 β π(0,20) β π(1,20) β π(2,20) = 1 β ( ) 0.150 β 0.8520 β ( ) 0.151 β 0.8519 β 0 1 20 2 18 20 19 β ( ) 0.15 β 0.85 = 1 β 0.85 β 20 β 0.15 β 0.85 β 190 β 0.152 β 0.8518 β 2 β 0.595 β 59.5 % b) La probabilità di avere un numero di successi (ammalati) maggiore di 50 su una popolazione di 500 alunni equivale alla probabilità di NON avere 0,1,2,β¦,50 alunni ammalati su 500, quindi: π(ππù ππ 50 πππππππ‘π π π’ 500) = 1 β π(0,500) β π(1,500) β π(2,500) β β― β π(50,500) = 500 500 500 =1β( ) 0.150 β 0.85500 β ( ) 0.151 β 0.85499 β β― β ( ) 0.1550 β 0.85450 = 0 1 50 50 500 = 1ββ( ) β 0.15π β 0.85500βπ π π=0 Queste sono le operazioni (molto lunghe) da compiere per verificare che la probabilità che ci siano più di 50 influenzati è maggiore del 99%. Il risultato valutato al computer è pari a circa : 0.9993 = 99.93 % . Osservazione. Per la soluzione del punto b) si può approssimare la distribuzione binomiale con la distribuzione normale, essendo il numero n delle prove abbastanza grande ed i valori di p e q non troppo vicini a zero. La variabile binomiale X può essere approssimata con la variabile normale standardizzata: Simulazione 29-04-2016 Questionario 3/ 9 www.matefilia.it π= πβπ π , πππ π = ππ π π = βπππ. Nel nostro caso: π = ππ = 500 β 0.15 = 75 π π = βπππ = β75 β 0.85 = 7.98 πβπ 50β75 Se π = 50 si ha π = = β β3.13 π 7.98 Quindi: π(π > 50) si può approssimare con π(π > β3.13). Posto πΉ(π‘) = 1 β2π π‘ π‘2 β β«0 π β 2 ππ‘ osserviamo che π(π > β3.13) = Dalle tavole di Sheppard (che forniscono i valori di πΉ(π‘) = 1 β2π 1 β2π +β π‘2 β β«β3.13 π β 2 = 0.5 + πΉ(3.13). π‘ π‘2 β β«0 π β 2 ππ‘ ) si ricava πΉ(3.13) = 0.4991 quindi: π(π > 50) = π(π > β3.13) = 0.5 + 0.4991 = 0.9991 = 99.91 % che approssima bene il valore trovato utilizzando la distribuzione binomiale. N.B Il quesito è stato proposto nella prova per le Americhe del 2015. Q4 Utilizzando il differenziale calcola di quanto aumenta il volume di un cono retto avente raggio di base 2 m e altezza 4 m quando il raggio di base aumenta di 2 cm. Consideriamo il volume del cono in funzione del raggio: 1 4 4 8 π = ππ 2 β = ππ 2 = π(π ), π β² (π ) = π(2π ) = ππ , 3 3 3 3 In base alla definizione di differenziale si ha: π 0 = 2, βπ = π(π 0 + βπ ) β π(π 0 ) β ππ = π β² (π 0 ) β βπ , βπ = π β² (π 0 ) β βπ = Il volume del cono aumenta di circa 0.335 π3 . Il valore esatto dellβaumento di volume è: βπ = 0.02, π β² (π 0 ) = 16 π 3 16 16 2 8 π β 0.02 = πβ = π β 0.335 3 3 100 75 4 4 βπ = π(π 0 + βπ ) β π(π 0 ) = π(2.02) β π(2) = π β 2.022 β π β 22 β 0.337 π3 3 3 Q5 Considerata la parabola di equazione π¦ = 4 β π₯ 2 , nel primo quadrante ciascuna tangente alla parabola delimita con gli assi coordinati un triangolo. Determinare il punto di tangenza in modo che lβarea di tale triangolo sia minima. La parabola ha vertice nel punto (0;4) ed interseca lβasse x nei punti di ascissa -2 e 2. Detto T il generico punto della parabola nel primo quadrante abbiamo la seguente figura: Simulazione 29-04-2016 Questionario 4/ 9 www.matefilia.it Poniamo π = (π‘; 4 β π‘ 2 ), πππ 0 < π‘ < 2 e scriviamo lβequazione della tangente in T alla parabola; risulta: π¦ β² = β2π₯, quindi il coefficiente angolare della tangente in t è: π = β2π‘. La tangente ha quindi equazione: π¦ β (4 β π‘ 2 ) = β2π‘(π₯ β π‘) , π‘2 + 4 π₯ = π΄ { 2π‘ π¦=0 π¦ = β2π‘π₯ + π‘ 2 + 4 quindi le intersezioni con glia assi sono: π₯=0 π΅ { π¦ = π‘2 + 4 ; Il triangolo formato con gli assi cartesiani ha quindi area: π΄πππ(π΄ππ΅) = (π‘ 2 + 4)2 1 π‘2 + 4 β( ) β (π‘ 2 + 4) = 2 2π‘ 4π‘ 2 Questβarea è minima se lo è la funzione: π§ = Studiamo la derivata prima: π§ β² = π‘β€β 2β3 3 2β3 ππ π‘ β₯ 3 2β3 (3π‘ 2β4)(π‘ 2+4) π‘2 (π‘ 2 +4) π‘ . β₯ 0 π π (3π‘ 2 β4) β₯ 0 , ; con le nostre limitazioni di t possiamo dire che π§ β² > 0 π π 3 < π‘ < 2 : in tale intervallo la funzione è crescente; invece è decrescente se 0<π‘< 2β3 3 : pertanto z (e quindi anche la nostra area) ha un minimo relativo (che è anche assoluto) per 2β3 π‘= . 3 Il punto di tangenza che individua il triangolo di area minima è quindi: π = (π‘; 4 β π‘ 2 ) = ( 2β3 4 2β3 8 ;4 β ) = ( ; )=π 3 3 3 3 Lβarea minima vale: 4 2 π΄πππ(ππππππ) = (π‘ 2 +4) 4π‘ = 2 (3+4) 8 β3 3 = 32β3 9 π’2 β 6.16 π’2 . N.B Il quesito è stato proposto nella prova per le Americhe del 2015. Simulazione 29-04-2016 Questionario 5/ 9 www.matefilia.it Q6 Determinare la soluzione particolare della equazione differenziale π¦ β² β π₯ = π₯π¦ , verificante la condizione iniziale π¦(0) = 2. Lβequazione può essere scritta nella forma: ππ¦ = π₯(1 + π¦) , ππ₯ Integrando membro a membro si ha: ππ¦ = π₯ ππ₯ (πππ π¦ β β1) 1+π¦ π¦ β² = π₯ + π₯π¦ = π₯(1 + π¦), ln|1 + π¦| = π₯2 π₯2 + π , |1 + π¦| = π 2 +π , 2 π₯2 π₯2 |1 + π¦| = π π β π 2 , 1 + π¦ = ±π π β π 2 La costante π π è positiva; possiamo quindi porre ±π π = π con k positivo o negativo; quindi: π₯2 π¦ =πβπ2 β1 (1) Se π¦ = β1 lβequazione differenziale diventa: 0 = 0, quindi π¦ = β1 è soluzione. La soluzione generale dellβequazione è pertanto la (1) con k positivo, negativo o nullo. Dovendo essere π¦(0) = 2, abbiamo: 2 = π β 1 , π = 3 . La soluzione particolare dellβequazione differenziale è quindi: π₯2 π¦ = 3βπ2 β1 . Q7 Calcolare il valor medio della funzione π₯β1 π(π₯) = { π₯β3 π +1 π π 1 β€ π₯ β€ 3 π π 3 < π₯ β€ 6 nellβintervallo [1, 6] e determinare il valore della x in cui la funzione assume il valore medio. Osserviamo che la funzione è continua nellβintervallo chiuso [1;6] , infatti il limite sinistro e il limite destro nel 3 sono uguali a 2, che è anche il valore di f(3). Il valore x in cui la funzione assume il valor medio è la soluzione dellβequazione π 6 3 6 β« π(π₯)ππ₯ 1 1 π(π₯) = π = β β« π(π₯)ππ₯ = β (β« (π₯ β 1)ππ₯ + β« (π π₯β3 + 1)ππ₯ ) = πβπ 5 1 5 1 3 3 = 1 (π₯ β 1)2 1 1 π3 + 4 β {[ ] + [π π₯β3 + π₯]63 } = β [2 + π 3 + 6 β (1 + 3)] = β (2 + π 3 + 2) = = π£ππππ πππππ 5 2 5 5 5 1 Quindi: se 1 β€ π₯ β€ 3 βΆ π₯ β 1 = π 3 +4 5 se 3 < π₯ β€ 6 βΆ π π₯β3 + 1 = π₯ = 3 + ππ ( π 3 β1 5 , π₯= π 3 +4 5 π 3 +9 5 β 5.8 πππ πππππ‘π‘πππππ , π π₯β3 = π 3 β1 5 , π₯ β 3 = ππ ( π 3 β1 5 ) , ) β 4.3 accettabile. Simulazione 29-04-2016 Questionario 6/ 9 www.matefilia.it Il valore x in cui la funzione assume il valor medio è π₯ = 3 + ππ ( π 3 β1 5 ) β 4.3 N.B Il quesito è stato proposto nella prova per le Americhe del 2015. Q8 Una sfera ha il raggio che aumenta al passare del tempo secondo una data funzione r(t). Calcolare il raggio della sfera nellβistante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita del raggio sono numericamente uguali. La superficie sferica, al variare del raggio r(t), ha valore: π = 4ππ 2 (π‘) La velocità di crescita della superficie sferica è data da: ππ π = (4ππ 2 (π‘)) = 4π β 2π(π‘) β π β² (π‘) ππ‘ ππ‘ La velocita di crescita del raggio è π β² (π‘) . Le due velocità di crescita sono uguali quando: 4π β 2π(π‘) β π β² (π‘) = π β² (π‘) , ππ ππ’π: π(π‘) = 1 8π Il raggio della sfera nellβistante in cui la velocità di crescita della superficie sferica e la velocità di crescita 1 del raggio sono uguali è pari a π = π’ β 0.04 π’ . 8π N.B Il quesito è stato proposto nella prova per le Americhe del 2015. Q9 In un riferimento cartesiano nello spazio Oxyz, data la retta r di equazioni: π₯ = 2π‘ + 1 {π¦=π‘+1 π§ = ππ‘ e il piano π½ di equazione π₯ + 2π¦ β π§ + 2 = 0, determinare per quale valore di k la retta r e il piano Ξ² sono paralleli, e la distanza tra di essi. I parametri direttori della retta sono i coefficienti del parametro t: (2,1,k). I parametri direttori del piano sono i coefficienti di x, y e z: (1,2,-1). La condizione di parallelismo tra una retta ed un piano afferma che la somma dei prodotti dei parametri direttori deve essere nulla, quindi: (2)(1) + (1)(2) + (π)(β1) = 0 ππ ππ’π: 4 β π = 0, ππ’ππππ π = 4. La retta ed il piano sono paralleli se π = 4 . Simulazione 29-04-2016 Questionario 7/ 9 www.matefilia.it In tal caso la retta ha equazioni: π₯ = 1 + 2π‘ {π¦=1+π‘ π§ = 4π‘ La distanza di una retta da un piano ad essa parallela è uguale alla distanza di un qualsiasi punto della retta dal piano; per t=0 otteniamo il punto (1;1;0); la distanza di un punto da un piano si ottiene applicando la seguente formula: π= |ππ₯0 + ππ¦0 + ππ§0 + π| βπ2 + π2 + π2 = |1 + 2 β 0 + 2| β1 + 4 + 1 = 5 β6 = 5 β β6 6 N.B Il quesito è stato proposto nella prova per le Americhe del 2015. Q10 Scrivere lβequazione della circonferenza C che ha il centro sullβasse y ed è tangente al grafico πΊπ di π(π₯) = π₯ 3 β 3π₯ 2 nel suo punto di flesso. Il punto F di flesso della cubica (che esiste ed è unico) si ottiene annullando la derivata seconda: π β² (π₯) = 3π₯ 2 β 6π₯ ; π β²β² (π₯) = 6π₯ β 6 = 0 π π π₯ = 1 ππ ππ’π π(1) = 1 β 3 = β2 Quindi il flesso ha coordinate: πΉ = (1; β2). Calcoliamo la tangente alla cubica in F: π = π β² (1) = 3 β 6 = β3 ; quindi la tangente in F ha equazione: π¦ + 2 = β3(π₯ β 1), π¦ = β3π₯ + 1 . La circonferenza C ha quindi il centro sullβasse y ed è tangente alla retta π¦ = β3π₯ + 1 in πΉ = (1; β2). Il centro della circonferenza appartiene anche alla perpendicolare alla tangente in F, cioè alla retta di equazione: 1 1 7 7 3 3 3 3 π¦ + 2 = (π₯ β 1), π¦ = π₯ β ; ponendo π₯ = 0 abbiamo π¦ = β . 7 La circonferenza ha quindi centro nel punto di coordinate π΄ = (0; β ). 3 Il raggio della circonferenza è uguale alla distanza del centro A da punto di tangenza F: 7 2 1 10 1 π = β(1 β 0)2 + (β2 + ) = β1 + = β = β10 3 9 9 3 Notiamo che il raggio della circonferenza si può anche ottenere come distanza del centro dalla tangente, quindi, utilizzando la formula: π= |ππ₯0 +ππ¦0 +π| βπ2 +π 2 7 con (π₯0 ; π¦0 ) = π΄ = (0; β ) e la retta π¦ = β3π₯ + 1 scritta nella forma 3 3π₯ + π¦ β 1 = 0 . Risulta pertanto: Simulazione 29-04-2016 Questionario 8/ 9 www.matefilia.it π= 7 3 |β β1| β9+1 = 10 3 β10 = 10 3 β β10 10 = β10 3 (come nel modo precedente). Lβequazione della circonferenza è quindi: 7 2 β10 (π₯ β 0) + (π¦ + ) = ( ) 3 3 2 π₯ 2 + π¦2 + 14 13 π¦+ =0βΆ 3 3 2 ππ ππ’π: π₯ 2 + π¦2 + 14 39 π¦+ = 0, 3 9 3π₯ 2 + 3π¦ 2 + 14π¦ + 13 = 0 . Questa la situazione grafica (comunque non richiesta): N.B Il quesito è stato proposto nella prova per le Americhe del 2015. Con la collaborazione di Angela Santamaria Simulazione 29-04-2016 Questionario 9/ 9 www.matefilia.it