Discussione di equazioni letterali fratte di primo grado

capitolo
8
Equazioni letterali e frazionarie
Discussione di equazioni letterali fratte di primo grado
sempi
1
k
+ 2 k = −1, k ∈.
x +1
La frazione algebrica a primo membro esiste per ogni x ≠ –1, quindi le eventuali soluzioni
devono appartenere all’insieme:
Discutere l’equazione
= – {–1}
Trasportando a primo membro e sommando si ha:
k
+ 2k + 1 = 0
x +1
(2 k + 1) x + 3k + 1
=0
x +1
⇒
Annullando il numeratore si ottiene l’equazione:
(2k + 1) x + 3k + 1 = 0
[1]
1
da cui, per 2k + 1 ≠ 0 cioè per k ≠ − , si ha:
2
3k + 1
x=−
2k + 1
Dovendo essere x ≠ –1 si deve scartare il valore di k per il quale risulta:
−
cioè
3k + 1
= −1
2k + 1
3k + 1 = 2k + 1
⇒
k=0
Concludendo:
3k + 1
1
;
• per k ≠ − e k ≠ 0 l’equazione è determinata e ha la soluzione x = −
2k + 1
2
1
1
• per k = − l’equazione è impossibile in quanto sostituendo nella [1] si ha: 0 ⋅ x = ;
2
2
• per k = 0 l’equazione è impossibile in quanto deve essere x ≠ –1.
Il risultato della discussione può essere così riassunto:
parametro
k=−
1
∨ k=0
2
{
1
k ∈ − − ; 0
2
1
}
equazione
soluzioni
impossibile
nessuna
determinata
una soluzione, x = −
3k + 1
2k + 1
© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista
capitolo
8
2
Equazioni letterali e frazionarie
ab
b+x b−x
=
+
a, b ∈.
2
x −a
x−a x+a
Per l’esistenza delle frazioni algebriche deve essere x ≠ ±a, pertanto:
Discutere l’equazione:
2
= – {–a; +a}
Poiché x 2 – a 2 = (x – a)(x + a), portando a primo membro e sommando si ottiene:
ab − (b + x )( x + a ) − (b − x )( x − a )
=0
x 2 − a2
Pertanto occorre risolvere l’equazione:
ab – (b + x)(x + a) – (b – x)(x – a) = 0
Sviluppando si ottiene:
2(a + b)x = ab
[2]
• Se a = b = 0 l’equazione è indeterminata in quanto si ha 0 ⋅ x = 0.
• Se a ≠ 0, b ≠ 0, a + b = 0, cioè b = – a, l’equazione è impossibile in quanto si ha:
0 ⋅ x = – a2 ≠ 0
• Se a + b ≠ 0, dalla [2] si ricava x =
ab
.
2(a + b )
In tal caso poiché deve essere x ≠ ±a, sono da scartare i valori di a e b per i quali risulta:
•
•
ab
= − a ⇒ ab + 2a(a + b) = 0 ⇒ 2a 2 + 3ab = 0 ⇒ a(2a + 3b) = 0
2(a + b )
3
quindi si scartano i valori a = 0 (ma b ≠ 0) oppure a = − b, per i quali l’equazione è
2
impossibile;
ab
= a ⇒ ab – 2a(a + b) = 0 ⇒ – 2a 2 – ab = 0 ⇒ a(2a + b) = 0
2(a + b )
1
quindi si scartano i valori a = 0 (ma b ≠ 0) oppure a = − b , per i quali l’equazione
2
è impossibile.
1
3
Pertanto l’equazione è determinata se e solo se a + b ≠ 0, a ≠ 0, a ≠ − b, a ≠ − b e in
2
2
ab
.
tal caso la soluzione è x =
2(a + b )
2
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capitolo
8
Equazioni letterali e frazionarie
Riassumendo:
parametri
equazione
soluzioni
a=0 ∧ b=0
indeterminata
infinite
a ≠ 0, b ≠ 0, a + b = 0
impossibile
nessuna
a+b≠0 ∧ a=0
impossibile
nessuna
b
2
impossibile
nessuna
b
2
impossibile
nessuna
a+b≠0 ∧ a=−
a+b≠0 ∧ a=−
3
1
a + b ≠ 0, a ≠ 0, a ≠ − b, a ≠ − b
2
2
3
determinata
una soluzione, x =
ab
2(a + b )
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