esercizi 1 Scomposizione di una frazione algebrica

esercizi
capitolo
10
Sistemi lineari
Scomposizione di una frazione algebrica in frazioni semplici
esercizio risolto
Dopo aver scomposto il trinomio di secondo grado x 2 – 8x + 12 nel prodotto di binomi di
primo grado del tipo (x – m)(x – n), scomporre la frazione algebrica
3x − 5
x 2 − 8 x + 12
nella somma di due frazioni semplici
A
B
+
x−m x−n
con A e B numeri da determinare (vedi Laboratorio di informatica cap. 8).
In questo caso il trinomio di secondo grado x 2 – 8x + 12 si scompone facilmente in quanto
esistono due numeri interi m ed n il cui prodotto è 12 e la cui somma è 8; essi sono m = 2 ed
n = 6, pertanto:
x 2 – 8x + 12 = (x – 2) (x – 6)
Occorre quindi determinare due numeri A e B tali che:
3x − 5
A
B
=
+
x 2 − 8 x + 12 x − 2 x − 6
Eseguendo l’addizione a secondo membro si ha:
A( x − 6 ) + B( x − 2 ) ( A + B ) x − 6 A − 2 B
3x − 5
=
=
( x − 2 )( x − 6 )
x 2 − 8 x + 12
( x − 2 )( x − 6 )
Uguagliando i coefficienti della x e i termini noti dei polinomi a numeratore del primo e dell’ultimo membro, risulta:
⎧A + B = 3
⎨
⎩− 6 A − 2 B = − 5
da cui, operando con il metodo di sostituzione:
⎧A = − 1
⎧⎪ A = 3 − B
⎧A = 3 − B
⎪
⎧A = 3 − B
4
⇒ ⎨
⇒ ⎨
⇒ ⎨
⎨
13
13
−
6
(
3
−
B
)
−
2
B
=
−
5
−
18
+
6
B
−
2
B
=
−
5
B
=
⎩
⎩
⎪B =
⎪⎩
4
4
⎩
Pertanto risulta:
1
13
−
3x − 5
1
13
4
=
+ 4 =−
+
2
x − 8 x + 12 x − 2 x − 6
4( x − 2) 4( x − 6)
Scomporre in frazioni semplici.
1
1
2x
x −1
1
1
+
x −1 x +1
4
x +1
x2 − 9
2
1
+
3( x − 3) 3( x + 3)
2
1
x2 − 4
1
1
−
4 ( x − 2) 4 ( x + 2)
5
2x + 1
x 2 − 16
9
7
+
8( x − 4 ) 8( x + 4 )
3
x−2
4 x2 − 1
5
3
−
4 (2 x + 1) 4 (2 x − 1)
6
x−2
x2 − 5x
3
2
+
5( x − 5) 5 x
2
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esercizi
capitolo
10
Sistemi lineari
7
2
x2 − 4 x
1
1
−
2( x − 4 ) 2 x
16
x −1
x 2 − 8 x + 12
5
1
−
4 ( x − 6) 4 ( x − 2)
8
x−3
x2 − 6x
1
1
+
2( x − 6) 2 x
17
1
x 2 − 5 x − 24
1
1
−
11( x − 8 ) 11( x + 3)
9
x−3
x2 + 7x
10
3
−
7( x + 7) 7 x
18
x−2
x 2 − 9 x + 20
3
2
−
x−5 x−4
10
x −1
x2 + x
2
1
−
x +1 x
19
1
x 2 − 10 x + 24
1
1
−
2( x − 6) 2( x − 4 )
11
1
x2 + 5x + 6
1
1
−
x+2 x+3
20
2x
x 2 − 5 x − 24
16
6
+
11( x − 8 ) 11( x + 3)
12
x
x2 − 5x + 6
3
2
−
x−3 x−2
21
x−3
x 2 + 3x − 28
10
1
+
11( x + 7 ) 11( x − 4 )
13
1
x2 − 4 x + 3
1
1
−
2 ( x − 3) 2 ( x − 1)
22
2x − 5
x 2 + 16 x + 28
11
3
−
4 ( x + 14 ) 4 ( x + 2 )
14
x−4
x2 + 4 x + 3
7
5
−
2 ( x + 3) 2 ( x + 1)
23
x−5
x 2 + 11x + 30
11
10
−
x+6 x+5
15
3x − 1
x2 + 5x + 4
13
4
−
3( x + 4 ) 3( x + 1)
24
5 x − 20
4 x 2 + 12 x − 16
2
2
3
−
x + 4 4 ( x − 1)
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