Esercizi di GEOMETRIA B (Ing. Meccanica e Ingegneria dei

Esercizi di GEOMETRIA B (Ing. Meccanica e Ingegneria dei Materiali)
1. Nel piano euclideo si consideri la retta r di equazione 6x + 8y − 3 = 0
ed il punto P ≡ (2, 2). Si determinino:
(a) le coordinate della proiezione ortogonale P 0 di P su r;
(b) le coordinate del simmetrico P 00 di P rispetto a r;
(c) l’equazione della retta r0 simmetrica di r rispetto alla retta s di
equazione 4x − 3y − 12 = 0;
2. Nel piano euclideo sono date le trasformazioni
(
(
x0 = y + 1
x0 = −x + 2
.
y 0 = −x + 2
y0 = y + 1
Verificare che sono isometrie, stabilire se sono dirette e determinarne i punti
fissi.
3. Nel piano euclideo scrivere le equazioni della simmetria ortogonale
rispetto alla retta di equazione x − 2y + 5 = 0.
4. Classificare, al variare del parametro reale k, la conica del piano
euclideo di equazione
(5 − k)x2 + (5 − 4k)y 2 + 4kxy − 20x − 10y = 0
5.
Studiare le seguenti coniche di E 2 , determinandone, se possibile,
centro, asintoti, assi, vertici, fuochi ed una equazione canonica. Nel caso
dell’iperbole equilatera determinare anche l’equazione riferita agli asintoti.
√
(a) 3x2 + y 2 − 12x + 2 3y + 12 = 0;
√
(b) 3x2 − y 2 − 6x − 2 3y + 3 = 0;
(c) x2 + 4y 2 − 4xy − 6x − 12y + 9 = 0;
(d) 2xy − 2x + 6y = 0.
1
6. Scrivere l’equazione della polare del punto P ≡ (1, 0), rispetto ad
ognuna delle coniche dell’esercizio 21; nei casi (b),(c),(d) stabilire quindi la
posizione del punto P rispetto alla conica.
7. Classificare la quadrica di E 3 di equazione
−x2 − 6z 2 + 8yz + 2x + 2y − 2z + 1 = 0,
determinarne i piani principali ed una equazione canonica.
8. Classificare la quadrica di E 3 di equazione
3x2 + y 2 + z 2 + 4y − 4z + 5 = 0 ,
verificare che è di rotazione, determinarne il sottospazio di rotazione e
scriverne una equazione canonica.
9. Dato il fascio di quadriche di E 3 di equazione:
(1 − k)x2 + (1 + k)y 2 + (1 + k)z 2 + 2y − 2z + 2 − k = 0 ,
(a) classificare le quadriche non specializzate del fascio al variare di k ∈ R;
(b) determinare la quadrica Q del fascio avente come centro C ≡
(0, 12 , − 12 );
(c) scrivere l’equazione del piano diametrale di Q, che passa per i punti
P1 ≡ (1, 0, −1) e P2 ≡ (0, − 12 , 1).
10. Dati in E 3 i seguenti fasci di quadriche:
F1 : (2 − α)x2 + 3y 2 − 4yz + αx + 4y − α − 1 = 0
F2 : x2 + 2αy 2 + 2z 2 − 2xz + 2z + α = 0
F3 : 5x2 + 5y 2 − αz 2 − 6xy + 2αyz − 8x + 8y + 4 − 4α = 0
(a) classificare le quadriche non specializzate di ciascun fascio al variare
di α ∈ R;
(b) determinare gli eventuali valori di α per i quali le quadriche di F1 sono
di rotazione e determinare i relativi sottospazi di rotazione;
(c) studiare il paraboloide del fascio F1 , determinandone i piani principali
ed una equazione canonica.
2
11. Studiare in modo completo (classificazione, centro, assi, vertici, eq.
canonica, fuochi) la conica del piano euclideo di equazione:
3x2 + 3y 2 − 2xy − 6x − 14y + 19 = 0
12. Studiare in modo completo (classificazione, centro, asintoti, assi,
vertici, eq. canonica, fuochi) la conica del piano euclideo di equazione:
3x2 + 4xy − 2x − 1 = 0
13. Studiare in modo completo (classificazione, centro, asse, vertice,
eq. canonica, fuoco, direttrice) la conica del piano euclideo di equazione:
x2 + y 2 + 2xy − 2x − 10y + 1 = 0
14. Studiare in modo completo (classificazione, centro, assi, vertici, eq.
canonica) la conica del piano euclideo di equazione:
17x2 + 12xy + 8y 2 − 68x − 24y − 32 = 0
15. Studiare in modo completo (classificazione, centro, asintoti, assi,
vertici, eq. canonica) la conica del piano euclideo di equazione:
4xy − 3y 2 − 8y − 5 = 0
16. Studiare in modo completo (classificazione, centro, asse, vertice) la
conica del piano euclideo di equazione:
x2 + 4xy + 4y 2 + 44x − 37y − 16 = 0
17. Studiare in modo completo (classificazione, centro, asintoti, assi,
vertici, eq. canonica, fuochi) la conica del piano euclideo di equazione:
7x2 + 50xy + 7y 2 + 32x + 32y − 16 = 0
3
Soluzioni
1. (a) P 0 ≡ ( 12 , 0); (b) P 00 ≡ (−1, −2); (c) r0 = r.
2.
Isometria diretta con punto fisso C ≡ ( 32 , 21 ) (rotazione) e isometria
inversa
( senza punti fissi.
x0 = 35 x + 54 y − 2
3.
y 0 = 45 x − 53 y + 4.
4. iperbole ∀k > 1, ellisse ∀k < 1, conica
√ degenere per
√ k = 1.
5.
(a) ellisse di centro C √
≡ (2, − 3), assi
y
+
3 = 0√e x − 2 = 0,
√
vertici V1 ≡ (2, 0), V2 ≡ (2, −2 3), V1 ≡ (1, − 3), V1 ≡ (3, − 3), equazione
√
√
√
√
2
canonica x3 + y 2 = 1 e fuochi F1 ≡ (2, 2 − 3), F2 ≡ (2, − 3 − 2);
√
√
√
√ (b) iperbole di
√ centro C ≡ (1, − 3), asintoti 3x + y = 0, √3x − y −
2 3 = 0, assi y+ 3 = 0 e x−1 = 0 (trasverso), vertici V1 ≡ (1, −2 3), V2 ≡
√
2
(1, 0), equazione canonica x3 − y 2 = 1 e fuochi F1 ≡ (1, −2 − 3), F2 ≡
√
(1, 2 − 3);
3 24
(c) parabola di asse 5x − 10y + 9 = 0, vertice V ≡ ( 25
, 25 ), equazione
√
canonica y = 5245 x2 e fuoco F ≡ ( 35 , 65 );
(d) iperbole equilatera di centro C ≡ (−3, 1), asintoti y − 1 = 0, x + 3 =
0, assi x − y + 4 = 0 e x + y + 2 = 0 (trasverso), vertici V1 ≡ (−3 −
√
√
√
√
2
2
3, 1 + 3), V2 ≡ (−3 + 3, 1 − 3), equazione canonica x6 − y6 = 1,
√
√
equazione
√ riferita
√ agli asintoti xy = 3 e fuochi F1 ≡ (−3 − 6, 1 + 6), F2 ≡
(−3 + 6, 1 − 6).
6.
(b) P appartiene al supporto della conica e la retta è tangente; (c)
punto esterno; (d) punto interno.
7.
iperboloide iperbolico; piani principali x − 1 = 0, 8y − 16z + 3 =
2
2
2
0, 4y + 2z + 1 = 0 ; X17 + Y17 − Z17 = 1.
8
4
(
y+2=0
2
2
8. ellissoide reale; asse di rotazione
;X 2 + Y3 + Z3 = 1.
z−2=0
9. (a) k < −1 iperboloidi iperbolici, −1 < k < 0 ellissoidi reali; 0 < k < 1
ellissoidi immaginari; k > 1 iperboloidi ellittici. (b) k = −3. (c) piano
diametrale 5x + 6y + 4z − 1 = 0.
10.
q
q
q
(a) F1 : α < −2 23 iperboloidi ellittici, −2 23 < α < 2 23 iperboloidi iperq
bolici, α > 2 23 , α 6= 2 iperboloidi ellittici, α = 2 paraboloide ellittico.
F2 : α < 0 iperboloidi iperbolici, 0 < α < 1 ellissoidi reali, α > 1 ellissoidi
immaginari.
4
16
16
F3 : α < − 16
5 iperboloidi ellittici, α = − 5 paraboloide ellittico, − 5 <
α < −3 ellissoidi reali, −3 < α < 0 ellissoidi immaginari, α > 0
iperboloidi iperbolici.
(
2y − z + 1 = 0
; α = 3, asse di rotazione
(b) α = −2, asse di rotazione
4x − 1 = 0
(
2x − 3 = 0
y−z+1=0
5