Alcuni esercizi proposti (con brevi richiami)

M.GUIDA, S.ROLANDO, 2014
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CONICHE / ESERCIZI PROPOSTI
L’asterisco contrassegna gli esercizi più difficili o che possono considerarsi meno basilari.
È sottinteso che si è fissato nel piano un riferimento cartesiano R = (O; x, y).
Nello svolgimento degli esercizi, si tengano presenti i seguenti richiami teorici sulla classificazione
delle coniche.
Si chiama conica ogni curva cartesiana C del tipo
C:
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0
(generica equazione di secondo grado in x, y). Alla conica C si associano le matrici simmetriche


(A è la matrice della forma quadratica
a11 a12 a13
a11 a12
costituita dai monomi di 2◦ grado
e B =  ... a22 a23 
A=
... a22
dell’equazione di C)
... ... a33
e la conica C è detta degenere se det B = 0, non degenere se det B = 0.
Classificazione di C
det A < 0
det B = 0
(non degenere)
iperbole
det B = 0
(degenere)
2 rette
incidenti
ellisse
det A > 0
reale se
tr A det B < 0
immaginaria se
tr A det B > 0
1 punto
det A = 0
parabola
2 rette parallele
(ev. coincidenti)
oppure 0 punti
Una conica degenere può sempre essere studiata (e disegnata) risolvendone l’equazione rispetto
ad una delle due variabili, oppure scomponendo il polinomio della sua equazione mediante
raccoglimento a fattor comune.
ESERCIZIO 1. Tra le seguenti coniche, riconoscere quelle non degeneri e classificarle:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
C
C
C
C
C
: 15x2 − 20xy + 15y2 − 28 = 0
: 4x2 + 6xy − 4y 2 − 25 = 0
: 4x2 − 4xy + y 2 + 8x − 4y + 3 = 0
: x2 − 4xy + 4y 2 − 12x − 6y = 0
: 4xy + 2x − 6y − 3 = 0.
ESERCIZIO 2. Classificare la conica C : x2 +4xy −2y 2 −4 = 0 e determinare la retta tangente
a C nel suo punto P0 = (−2, 0).
ESERCIZIO 3. Al variare del parametro t ∈ R, classificare la seguente conica:
Ct :
x2 + (1 − t) y2 + 2tx − 2 (1 − t) y + 2 − t = 0.
Esistono valori di t per cui Ct è una parabola? Esistono valori di t per cui Ct è una circonferenza?
ESERCIZIO* 4. Disegnare le seguenti coniche degeneri:
(i) C : 2x2 − xy − 3y 2 − 3x + 7y − 2 = 0
(ii) C : 3x2 + 3y 2 − 2xy − 2x + 6y + 3 = 0
2
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(iii) C : x2 + y2 − 2xy + x − y = 0.
ESERCIZIO* 5. Si considerino le coniche non degeneri dell’Esercizio 1. Per ciascuna di esse:
(i) indicare un riferimento cartesiano in cui C assume forma canonica, scrivere le equazioni del
cambio di riferimento e specificare la forma canonica ottenuta; (ii) disegnare C.
––––––––––
Risultati esercizio 1.
(i) C è un’ellisse reale.
(ii) C è un’iperbole.
(iii) C è degenere (risulta C : (2x − y + 3) (2x − y + 1) = 0, coppia di rette parallele).
(iv) C è una parabola.
(v) C è degenere (risulta C : (2x − 3) (2y + 1) = 0, coppia di rette incidenti).
Risultati esercizio 2. C è un’iperbole. Posto F (x, y) = x2 + 4xy − 2y 2 − 4, la retta cercata è
la retta per P0 ortogonale a ∇F (P0 ), cioè x + 2y + 2 = 0.
Risultati esercizio 3.
• Se t > 1, allora Ct è un’iperbole.
• Se t = 1, allora Ct è degenere e la sua equazione diventa (x + 1)2 = 0, quindi Ct è una
coppia di rette coincidenti (la retta x + 1 = 0 contata due volte).
• Se −1 < t < 1, allora Ct è un’ellisse immaginaria.
• Se t = −1, allora Ct è degenere e si riduce ad un solo punto.
• Se t < −1, allora Ct è un’ellisse reale.
Non esistono valori di t per cui Ct è sia una parabola. L’equazione di Ct diventa quella di una
circonferenza se e solo se 1 − t = 1, cioè t = 0 (che ricade nel caso già classificato di ellisse reale).
Risultati esercizio 4.
(i) Risolviamo l’equazione di C rispetto ad una delle sue variabili, ad esempio x. Si ha C :
2x2 − (y + 3) x − 3y 2 + 7y − 2 = 0 con
∆ = (y + 3)2 + 8 3y2 − 7y + 2 = 25y2 − 50y + 25 = 25 (y − 1)2
e quindi si ottiene
y+3±
25 (y − 1)2
2 x−
y + 3 − 5 (y − 1)
4
y + 3 ± 5 |y − 1|
y + 3 ± 5 (y − 1)
=
=
4
4
4
(dove il valore assoluto può essere tolto grazie al segno ± antistante). Dunque l’equazione
di C equivale a
x=
x−
y + 3 + 5 (y − 1)
4
= 0,
cioè
4x − y − 3 + 5 (y − 1) = 0 oppure 4x − y − 3 − 5 (y − 1) = 0,
ossia C è l’unione delle due rette incidenti x + y − 2 = 0 e 2x − 3y + 1 = 0.
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(ii) Risolviamo l’equazione di C rispetto ad una delle sue variabili, ad esempio x. Si ha C :
3x2 − 2 (y + 1) x + 3y 2 + 6y + 3 = 0 con
∆ = 4 (y + 1)2 − 12 3y2 + 6y + 3 = 4 (y + 1)2 − 36 (y + 1)2 = −32 (y + 1)2 ≤ 0
e quindi l’equazione di C ha soluzioni (reali) se e solo se y = −1 (altrimenti risulta ∆ < 0).
Dunque, dovendo essere y = −1, l’equazione di C equivale a 3x2 + 3 − 6 + 3 = 0, cioè x = 0,
e pertanto C è costituita dal solo punto (0, −1).
(iii) Poiché C : (x − y)2 + x − y = 0, è comodo raccogliere (x − y) a fattor comune: si ottiene
C : (x − y) (x − y + 1) = 0
e dunque C è l’unione delle due rette parallele x − y = 0 e x − y + 1 = 0.
Risultati esercizio 5.
(i) L’ellisse reale C assume forma canonica nel riferimento ruotato di versori fondamentali
√
√
e J = (−1,1)
(autovettori relativi agli autovalori 5 e 25 della matrice A della
I = (1,1)
2
2
conica). Tale forma canonica è 5X 2 + 25Y 2 = 28 ed è ottenuta mediante la rotazione di
equazioni
1
1 −1
X
x
.
=√
Y
y
2 1 1
Il disegno di C è in Figura 1.
(ii) L’iperbole C assume forma canonica nel riferimento ruotato di versori fondamentali I =
(3,1)
√
10
√
e J = (−1,3)
(autovettori relativi agli autovalori 5 e −5 della matrice A della conica). Tale
10
forma canonica è X 2 − Y 2 = 5 ed è ottenuta mediante la rotazione di equazioni
1
3 −1
X
x
=√
1
3
Y
y
10
Il disegno di C è in Figura 2.
(iv) La parabola C assume forma canonica nel riferimento ruotato di versori fondamentali I =
(2,1)
√
√
e J = (−1,2)
(autovettori relativi agli autovalori 0 e 5 della matrice A della conica).
5
5
√
Tale forma canonica è 5Y 2 = 6 5X ed è ottenuta mediante la rotazione di equazioni
1
2 −1
X
x
=√
1
2
Y
y
5
Il disegno di C è in Figura 3.
5
1.5
4
y1
0.5
-1.5 -1 -0.5 0 0 0.5
-0.5
4
y
2
1 1.5
x
-4
-2
00
-2
3
y
2
2
x
4
1
-1
-1.5
Figura 1
-4
Figura 2
00
-1
1
2
x
3
Figura 3
4
5