Logaritmi ed esponenziali (Ripasso) (file pdf)

Esponenziali e logaritmi: riepilogo
FUNZIONE ESPONENZIALE
y = ax
*1) a deve essere maggiore di zero.
*2) Il dominio della funzione è tutto R.
*3) Il valore della funzione è sempre strettamente positivo.
*conseguenze di *3) :
l' equazione ax =
l' equazione ax =
la disequazione ax
la disequazione ax
0 non ha soluzioni
k , con k< 0 non ha soluzioni
> 0 ha come soluzione tutto
R.
< 0 non ha soluzioni.
Per il grafico della funzione esponenziale si devono distinguere tre casi (di cui uno banale).
1) 0 < a < 1
Si vede chiaramente che
Lim ax = 0
x → +∞
Lim ax
x → −∞
= +∞
2) a > 1
Si vede chiaramente che
Lim ax
x → +∞
= +∞
Lim ax = 0
x → −∞
3) a = 1 (banale)
Di solito si usano gli esponenziali in base e = 2.7182818... (Numero di Nepero) e, più
raramente, quelli in base 10. In entrambi i casi ricadiamo nella situazione 2).
ATTENZIONE ! Tenere ben presente il diverso comportamento dei casi 1)e 2)! L' abitudine a
utilizzare quasi sempre esponenziali con base maggiore di 1 può essere fonte di errore quelle
poche volte che si ha a che fare con esponenziali con base minore di 1.
LOGARITMI
DEFINIZIONE
y = loga
significa, per definizione, che ay
x
= x
Si vede, da questa definizione e da tutto quello che abbiamo detto sulla funzione y = ax ,
che deve essere
*) Base: a > 0 e
*) Dominio: x > 0.
a ≠ 1.
PROPRIETA' DEI LOGARITMI
P1
P2
P3
P4
loga (xy) = loga x + loga y
x
loga
= loga x - loga y
y
loga xn
loga x
= n loga x
=
logb x
logb a
Dalle proprietà sopra elencate e dalla definizione di logaritmo derivano queste altre
proprietà:
* loga a
=1
* loga 1 = 0
1
* loga
= - loga x
x
*
loga
)
n
x
1
= loga x ( in quanto, come certamente ricordate,
n
n
x
= x1/n
e , particolarmente importanti per le soluzioni delle equazioni esponenziali e
logaritmiche, queste ultime due
* a
loga x =x
* loga ax = x
che equivalgono a dire che esponenziale e logaritmo sono
funzioni tra loro inverse.
ATTENZIONE ! Queste proprietà sono vere a patto che tutti i logaritmi, sia al primo che
al secondo membro esistano, ovvero che tutti gli argomenti dei logaritmi siano positivi.
Se, ad esempio, x e y sono entrambi negativi, loga (xy) ha senso, non hanno senso
invece loga x e loga y : la P1 vale quindi, in questo caso, nella forma loga (xy) =
loga (-x) + loga (-y)
.
GRAFICI DELLA FUNZIONE LOGARITMO : in questo caso dobbiamo distinguere
due casi (non dobbiamo considerare il caso a = 1 (v. definizione di logaritmo)).
1) 0 < a < 1
Si vede dal grafico che
Lim loga x =
x → +∞
Lim
x→ 0+
2)
a>1
loga x
-∞
= +∞
Lim loga x =
x → +∞
Lim loga x
x →0 +
+∞
= -∞
ATTENZIONE! Poichè loga x non esiste per x < 0, non ha senso, anzi, è errore grave
cercare di calcolare
Lim
loga x
e
Lim
loga x
x→ - ∞
x→ 0-