Logaritmi - Dip. di Matematica Roma Tre

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Università “Roma Tre” – L. Chierchia
Logaritmi
(13/11/2016)
Vogliamo definire e discutere le principali proprietà dei logaritmi.
Teorema 1 Sia a > 0 e a 6= 1. Per ogni x > 0 esiste un unico λ ∈ R tale che aλ = x;
tale numero prende il nome di logaritmo in base a di x e si denota con1 λ := loga x.
La funzione x ∈ (0, ∞) 7→ loga x ∈ R gode delle seguenti proprietà:
(i) loga a = 1, loga 1 = 0.
(ii) loga−1 x = − loga x.
(iii) loga (xy) = loga x + loga y, ∀ x, y > 0.
(iv) loga xt = t loga x, ∀ x > 0, ∀ t ∈ R. [In particolare, loga ax = x, ∀ x ∈ R].
(v) loga
x
= loga x − loga y, ∀ x, y > 0.
y
(vi) loga x = loga b logb x, ∀ x > 0, ∀ b > 0, b 6= 1. [“Cambio di base”]
(vii) Se a > 1, x → loga x è strettamente crescente.
Se a < 1, x → loga x è strettamente decrescente.
(viii) Se a > 1, allora loga x > 0 se x > 1 e loga < 0 se 0 < x < 1.
Se a < 1, allora loga x > 0 se 0 < x < 1 e loga > 0 se x > 1.
(ix) Se a > 1, allora lim loga x = +∞, lim loga x = −∞.
x→+∞
x→0
Se a < 1, allora lim loga x = −∞, lim loga x = +∞
x→+∞
x→0
Dimostrazione L’unicità è immediata: se aλ1 = x = aλ2 dall’iniettività della funzione
esponenziale y → ay segue che λ1 = λ2 .
Dimostriamo, ora, l’esistenza nel caso a > 1. Sia E := {t ∈ R| at < x}. Poiché a−n & 0,
esiste un m ∈ N tale a−m < x e quindi t = −m ∈ E 6= ∅. Poiché an % +∞, esiste m ∈ N tale
che am > x e quindi se t ∈ E, at < x < am e, poiché y → ay è strettamente crescente, deve
essere t < m, ossia E è limitato superiormente. Sia λ := sup E. Supponiamo (per assurdo)
1
1
che aλ < x. Poiché aλ+ n = aλ a n & aλ , segue (dalla definizione di limite) che esiste un m
1
1
tale che aλ+ m < x; ma allora λ + m
∈ E, il che contraddice il fatto che λ è un maggiorante.
1
Supponiamo (per assurdo) che aλ > x. Poiché aλ− n % aλ , segue che esiste un m tale che
1
1
x < aλ− m < aλ , il che implica che λ − m
è un maggiorante di E strettamente più piccolo
di λ, contraddicendo il fatto che λ è il più piccolo dei maggioranti. Abbiamo dimostrato che
aλ = x (e quindi l’esistenza del logaritmo nel caso a > 1).
Se 0 < a < 1, poniamo per definizione
λ := − loga−1 x ,
1 Dunque,
(1)
la funzione x ∈ (0, +∞) 7→ loga x è la funzione inversa della funzione esponenziale λ ∈ R 7→ aλ .
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(cosa che possiamo fare poiché a−1 > 1). Allora
aλ = a− loga−1 x =
1
= (a−1 )loga−1 x = x ,
aloga−1 x
dimostrando, anche in questo caso, l’esistenza di numero λ tale che aλ = x.
Passiamo a dimostrare le proprietà del logaritmo2 .
(i): a1 = a
=⇒
loga a = 1; a0 = 1
=⇒
loga 1 = 0.
(ii): Nel caso 0 < a < 1 la (ii) vale per definizione di loga x. Nel caso a > 1, si ha a−1 < 1
e quindi, di nuovo per definizione di logaritmo con base minore di 1, si ha che loga−1 x =
− log(a−1 )−1 x = − loga x e quindi la (ii) vale anche in questo caso.
(iii): aloga x+loga y = aloga x aloga y = xy
=⇒
loga (xy) = loga x + loga y.
t loga x
loga x t
t
t
(iv): a
= a
=x
=⇒
loga x = t loga x.
(v): Da (iii) e (iv) con t = −1 segue loga xy = loga (xy −1 ) = loga x+loga (y −1 ) = loga x−loga y.
logb x
(vi): a(loga b logb x) = aloga b
= blogb x = x
=⇒
loga x = loga b logb x.
(vii): sia a > 1 e x < y; se, per assurdo, loga x ≥ loga y si avrebbe (poiché t → at è
strettamente crescente) x = aloga x ≥ aloga y = y (contraddizione). Nel caso a < 1, da (vi)
si ha che loga x = − loga−1 x e dunque loga x è decrescente essendo l’opposto della funzione
crescente x → loga−1 x.
(viii): segue da (vii) e da (i).
(ix): segue facilmente3 dalla definizione di limite e da (vii).
2 Si noti che dall’unicità del logaritmo segue che se az = x (per un a > 0 e a 6= 1) allora log x = z e si
a
ricordino le proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali y → ay .
3 Esercizio.