C.2 Numero di Nepero

C.2
Numero di Nepero
Pag. 74 ←− Proprietà della successione an =
1
1+
n
n
Dimostriamo separatamente le seguenti proprietà.
Proprietà C.2.1 La successione {an } è strettamente crescente.
Dimostrazione. Usando la formula del binomio di Newton (1.13) e la (1.11),
possiamo scrivere
n X
n n
X
1
n 1
1 n(n − 1) · · · (n − k + 1)
an = 1 +
=
=
n
k!
nk
k nk
k=0
k=0
n
X
1 nn−1
n−k+1
···
=
k! n n
n
k=0
n
X
1
k−1
1
=
··· 1 −
;
·1· 1−
k!
n
n
(C.2.1)
k=0
analogamente si ha
an+1 =
n+1
X
k=0
1
k−1
1
··· 1 −
.
·1· 1−
k!
n+1
n+1
Osserviamo che
1
1
1−
< 1−
,
n
n+1
···
(C.2.2)
k−1
k−1
, 1−
< 1−
n
n+1
e dunque ogni addendo della sommatoria (C.2.1) è minore del corrispondente addendo in (C.2.2). Inoltre quest’ultima sommatoria contiene un ulteriore termine
positivo corrispondente a k = n + 1. Pertanto an < an+1 , per ogni n.
2
2
C.2 Numero di Nepero
Proprietà C.2.2 La successione {an } è limitata, più precisamente
2 < an < 3 ,
∀n > 1 .
Dimostrazione. Poiché a1 = 2 e la successione è strettamente monotona per la
proprietà precedente, si ha an > 2 , ∀n > 1.
Verifichiamo ora che an < 3 , ∀n > 1. Ricordando la (C.2.1) e osservando che
k! = 1 · 2 · 3 · · · k ≥ 1 · 2 · 2 · · · 2 = 2k−1 , si ha
X
n
n
X
k−1
1
1
1
··· 1 −
<
·1· 1−
k!
n
n
k!
k=0
k=0
n
n
n−1
X
X
X 1
1
1
= 1+
≤1+
=1+
.
k!
2k−1
2k
an =
k=1
k=1
k=0
Grazie all’Esempio 5.27, otteniamo
n−1
X
k=0
1 − 21n
1
1
< 2.
=
2
1
−
=
2k
2n
1 − 21
Pertanto an < 3.
2
Proprietà C.2.3 Il numero e di Nepero è un numero irrazionale, strettamente
compreso tra 2 e 3.
Dimostrazione. Notiamo innanzitutto che, usando il primo teorema del confronto per le successioni (pag. 142, Teorema 4.), dalla proprietà precedente segue
immediatamente che
2 < e ≤ 3.
(C.2.3)
Supponiamo ora per assurdo che e sia un numero razionale, ovvero che esistano
m0
due interi m0 e n0 6= 0 tali che e =
. Ricordando la formula, valida per ogni
n0
n ≥ 0,
n
X
ex̄n
1
e=
+
,
0 < x̄n < 1
k! (n + 1)!
k=0
(si veda l’Osservazione 7.4), si ha
n
n!e = n!
X n!
ex̄n
m0
=
+
.
n0
k! n + 1
(C.2.4)
k=0
Dalla monotonia della funzione esponenziale e dalla (C.2.3), deduciamo che
1 = e0 < ex̄n < e < 3 .
C.2 Numero di Nepero
3
n
X
m0
n!
Scegliendo ora n ≥ max(3, n0 ), i numeri n!
e
risultano interi,
n0
k!
k=0
ex̄n
mentre la quantità
risulta strettamente compresa tra 0 e 1. Dunque l’identità
n+1
(C.2.4) è assurda. Pertanto e è irrazionale e nella (C.2.3) non può valere il segno
di uguaglianza.
2
Pag. 108 ←− Dimostrazione della Proprietà 4.20
Proprietà 4.20 Vale il seguente risultato
x
1
1+
= e.
lim
x→±∞
x
Dimostrazione. Consideriamo dapprima il limite per x → +∞. Indicata con
n = [x] la parte intera di x (si veda Esempi 2.1), per definizione si ha n ≤ x < n+1;
1
1
1
1
1
1
da ciò segue che
< ≤ , ossia 1 +
< 1 + ≤ 1 + . Usando note
n+1
x
n
n+1
x
n
proprietà delle potenze, si ottiene
1+
1
n+1
n
≤
1+
1
n+1
x
<
<
1+
1
x
x
≤
<
1+
1
n
x
<
1+
1
n
n+1
e dunque
1
1+
n+1
n+1 1
1+
n+1
−1
1
1+
x
x
1
1+
n
n 1
1+
n
. (C.2.5)
Osserviamo ora che quando x tende a +∞ anche n tende a +∞. Usando la (3.3),
abbiamo
n n
1
1
1
1
1+
= lim
1+
lim
1+
= e;
lim
1+
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n
n
n
n
con la sostituzione m = n + 1 otteniamo parimenti
lim
n→+∞
1+
1
n+1
n+1 1+
1
n+1
−1
= e.
Applicando il secondo Teorema del confronto 4.5 alle tre funzioni che compaiono
nella (C.2.5), otteniamo la tesi per x → +∞ . Consideriamo ora il limite per x
tendente a −∞. Se x < 0, possiamo scrivere x = −|x| e dunque
1
1+
x
x
=
1
1−
|x|
−|x|
=
|x| − 1
|x|
−|x|
=
|x|
|x| − 1
|x|
=
1
1+
|x| − 1
|x|
.
4
C.2 Numero di Nepero
Poniamo y = |x| − 1 e osserviamo che y tende a +∞ quando x tende a −∞.
Pertanto,
lim
x→−∞
1+
1
x
x
= lim
y→+∞
1+
1
y
y+1
= lim
y→+∞
Ciò termina la dimostrazione della proprietà.
1+
1
y
y
lim
y→+∞
1+
1
y
= e.
2